2021学年7.1 条件概率与全概率公式教学设计

第七章随机变量及其分布

7.1　条件概率与全概率公式

7.1.1　条件概率　7.1.2　全概率公式

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于 (　　)

A. B. C. D.

解析P(AB)=P(B|A)·P(A)=.

答案C

2.市场上供应的灯泡中,甲厂灯泡占70%,乙厂灯泡占30%,甲厂灯泡的合格率是95%,乙厂灯泡的合格率是80%,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是              (　　)

A.0.665 B.0.564

C.0.245 D.0.285

解析记事件A为“买到一个甲厂灯泡”,事件B为“买到一个合格灯泡”,则P(A)=0.7,P(B|A)=0.95,

故P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.7×0.95=0.665.

答案A

3.(2020北京临川学校高三月考)将三枚骰子各掷一次,设事件A为“三个点数都不相同”,事件B为“至少出现一个6点”,则P(A|B)的值为(　　)

A. B. 

C. D.

解析依题意,P(AB)=,

P(B)=1-P()=1-=1-,

故P(A|B)=.

答案A

4.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知某学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是(　　)

A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6

解析记“数学不及格”为事件A,“语文不及格”为事件B,则P(AB)=0.03,P(A)=0.15,故P(B|A)==0.2.

答案A

5.(多选)(2019广东高二期末)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球,先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐,分别以事件A1,A2,A3表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一个球,以事件B表示由乙罐取出的球是红球,下列结论正确的是(　　)

A.事件B与事件A1不相互独立

B.A1,A2,A3是两两互斥的事件

C.P(B)=

D.P(B|A1)=

解析对于A,由题意可知,事件A1发生与否影响事件B的发生,故事件B与事件A1不相互独立,故A正确;

对于B,A1,A2,A3两两不可能同时发生,故B正确;

对于C,P(B)=,故C不正确;

对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐,这时乙罐中有11个球,其中红球有7个,因此,在事件A1发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A1)=,故D正确.故选ABD.

答案ABD

6.(2020湖南衡阳高二月考)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为,两次闭合后都出现红灯的概率为,则在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为　　　　. 

解析记“第一次闭合后出现红灯”为事件A,“第二次闭合后出现红灯”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,故在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为P(B|A)=.

答案

7.某种元件用满6 000小时未坏的概率是,用满10 000小时未坏的概率是,现有一个此种元件,已经用过6 000小时未坏,则它能用到10 000小时的概率为　　　　. 

解析设“用满6 000小时未坏”为事件A,“用满10 000小时未坏”为事件B,则P(A)=,P(AB)=P(B)=,故P(B|A)=.

答案

8.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　. 

解析设事件A为“其中一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥.又P(A)=,P(AB)=,

P(AC)=,故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=.

答案

9.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.

解记事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题”,事件C为“该考生答对了其中4道题”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由题意可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

=,

P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),

故P(E|D)=P(A|D)+P(B|D)=

=.

故获得优秀成绩的概率为.

10.坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:

(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率;

(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率;

(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.

解设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A,“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B,则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.

(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋包含的样本点的个数为n(Ω)==20.

又n(A)==12,

于是P(A)=.

(2)因为n(AB)=3×2=6,

所以P(AB)=.

(3)由(1)(2),可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)=.

能力提升练

1.某班有6名班干部,其中4名男生、2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

解析记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B.则P(A)=,P(AB)=,

故P(B|A)=.

答案B

2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,有一枚出现6点的概率是(　　)

A. B. 

C. D.

解析设“有一枚出现6点”为事件A,“两枚骰子的点数不同”为事件B,则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,

所以P(A|B)=.

答案A

3.7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是(　　)

A. B.

C. D.

解析记“甲站在中间”为事件A,“乙站在末尾”为事件B,则n(A)=,n(AB)=,故P(B|A)=.

答案C

4.(2020山东潍坊检测)甲袋中有5个白球、7个红球,乙袋中有4个白球、2个红球,从两个袋中任选一袋,从中任取一球,则取到的球是白球的概率为(　　)

A. B. 

C. D.

解析设事件A表示“选中甲袋”,B表示“选中乙袋”,C表示“取到的球是白球”,则P(A)=,P(B)=,P(C|A)=,P(C|B)=,故P(C)=P(C|A)·P(A)+P(C|B)·P(B)=.

答案D

5.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为　　　　　. 

解析∵P(B|A)=,P(AB)=,

P(B|A)=,∴,解得P(A)=.

答案

6.先后掷两次骰子(骰子的六个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,记事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,则概率P(B|A)=　　　　. 

解析由题意可知P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=.

答案

7.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.

(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;

(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.

解(1)从甲箱中任取2个产品包含的样本点数为=28,这2个产品都是次品包含的样本点数为=3,所以这2个产品都是次品的概率为.

(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”,事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B1,B2,B3彼此互斥.

P(B1)=,

P(B2)=,

P(B3)=,

P(A|B1)=,

P(A|B2)=,

P(A|B3)=.

所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=.

素养培优练

某电子设备厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件厂提供的.根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.

(1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率.

(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,则此次品来自哪个厂家的可能性大?

解设A=“取到的元件是次品”,B=“取到的元件来自甲厂”,B2=“取到的元件来自乙厂”,B3=“取到的元件来自丙厂”,则

P(B1)=0.15,P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.

(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03

=0.012 5.

(2)P(B1|A)==0.24,

P(B2|A)==0.64,

P(B3|A)==0.12.

故此次品来自乙厂的可能性大.