江苏省南京市第一中学2023届高三上学期入学考试数学试题

这是一份江苏省南京市第一中学2023届高三上学期入学考试数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高2020级高三上期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．2．己知复数，则（为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知，且则不正确的是（       ）A． B．C． D．4．若，，则（       ）A． B． C． D．5．在△ABC中，若（       ）A． B． C． D．6．正方体的棱长为，为棱上的动点，点分别是棱的中点，则下列结论正确的是（       ）A．存在点，使得B．存在点，使得为等腰三角形C．三棱锥的体积为定值D．存在点，使得平面7．已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（       ）A．2 B． C． D．48．已知，，，则的大小关系为（       ）A． B． C． D．二、多选题9．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（       ）A． B． C． D．10．对于函数和，则下列结论中正确的为（       ）A．设的定义域为，的定义域为，则．B．函数的图像在处的切线斜率为0．C．函数的单调减区间是，．D．函数的图像关于点对称．11．已知函数，下列结论正确的是（       ）A．是周期函数B．的图象关于原点对称C．的值域为D．的单调递减区间为，12．已知椭圆C：（）的离心率为，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足.动点Q满足，则下列结论正确的是（       ）A．B．动点Q的轨迹方程为C．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为D．线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为三、填空题13．的展开式中，的系数为___________.14．某校抽调志愿者下沉社区，已知有名教师志愿者和名学生志愿者，要分配到个不同的社区参加服务.每个社区分配名志愿者，若要求两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有___________种.15．如图，在正方体中，点为线段上异于的动点，则下列四个命题：①是等边三角形；②平面平面；③设，则三棱锥的体积随着增大先减少后增大；④连接，总有平面.其中正确的命题是___________.16．已知二次函数，满足为偶函数，且方程有两个相等的实数根，若存在区间使得的值域为，则___________．四、解答题17．已知集合，．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．18．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，满足条件，．(1)求的面积；(2)若，求的值．19．为了迎接2022年成都第31届世界大学生夏季运动会，普及大运知识，某校开展了“大运”知识答题活动，现从参加活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为四组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示，将成绩在[80，100]内定义为“优秀”，成绩低于80分为“非优秀” 男生女生合计优秀30  非优秀 10 合计    (1)求a的值：并根据答题成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这100名学生中抽取5名，再从这5名学生中随机抽取2名，求抽取的2名学生的成绩中恰有一名优秀的概率；(2)请将列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关？参考公式及数据: .0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 20．已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，点E在AD上，且，，为AB的中点，，．(1)证明：；(2)求点到平面的距离．21．已知双曲线，(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.22．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若有三个极值点，求的取值范围．
高2020级高三入学考试数学试题参考答案选择题：BCBABCCB   BD   ACD    AC    ABD1．B【解析】【分析】求出集合、，再由交集的定义求解即可【详解】集合，，则.故选：B.2．C【解析】【分析】先将已知化为的表达式，用复数的除法运算计算出结果，然后判断所处象限即可.【详解】由得：所以所以在复平面内对应的点为，位于第三象限故选：C.3．B【解析】【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】对A，根据指数函数的性质，故A正确；对B，，故B错误；对C，因为，当且仅当取等号，所以，故C正确；对D，因为，且，故，，所以；故D正确.故选：B4．A【解析】【分析】由商数关系及二倍角正余弦公式得，结合已知列方程求得，再根据平方关系求.【详解】因为，且，所以，得，所以.故选：A5．B【解析】【分析】根据，可得，则，从而可求得，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，所以，所以，所以，即，又，故，所以.故选：B.6．C【解析】【分析】取的中点，连接、，再取的中点，连接，即可证明，从而说明A，再证明平面，即可说明C，由平面说明D，最后利用勾股定理说明B.【详解】解：对于A：取的中点，连接、，再取的中点，连接，又正方体的性质可知四边形为平行四边形，所以，则，显然当在上时，不存在，故不存在点，使得，故A错误；显然，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，设为，则，又，故三棱锥的体积为定值，故C正确；因为平面，显然平面与平面不平行，故不存在点，使得平面，故D错误；设，则，所以，，，显然，， ，则不能为等腰三角形，故B错误；故选：C7．B【解析】【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及，联立可得，进而可用对勾函数的性质求的最值，进而可求.【详解】解法1：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，则∵，由抛物线定义可知，∴，又因为，所以即，由①②可得：所以.∵，当时，，当时，，∴，则弦AB的中点到C的准线的距离，d最大值是.∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是，故选：B.解法2：弦AB的中点到C的准线的距离，根据结论，，，故选：B.8．B【解析】【分析】设，，利用导数可求得和在上的单调性，由单调性得，，由此可得的大小关系.【详解】由题意知：，，；设，则，当时，，在上单调递增，，即，又，，即；设，则；令，则，当时，，在上单调递增，当时，，，在上单调递减，，即，，即；综上所述：.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将变形后，转化为函数的不同函数值大小关系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.9．BD【解析】【分析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，可判断B选项；的取值为，计算的概率和期望值，又，可计算，可判断AC选项；的取值为，且，计算可判断D选项.【详解】解：由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；的取值为，，，，，，可知A错；的取值为，且，，，，，则，，所以，故C错；的取值为，且，，，，，所以，故D正确；故选：BD.10．ACD【解析】【分析】利用导数来研究函数的切线斜率以及单调性问题，利用函数的概念以及性质来研究定义域与对称性问题.【详解】因为，所以，即，解得，因为，所以，解得.所以.故A正确；因为，所以，所以，所以的图像在处的切线斜率为-1，故B错误；因为，定义域为：，所以，由有：，所以函数的单调递减区间是，，故C正确；当时，.所以函数的图像关于点对称，故D正确.故选：ACD.11．AC【解析】【分析】利用函数周期的定义可判断A选项；利用函数的奇偶性可判断B选项；考查函数在上的值域，可判断C选项；求出函数的单调递减区间，可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，故函数为周期函数，A对；对于B选项，，为偶函数，B错；对于C选项，由A选项可知，函数是周期函数，且周期为，不妨考虑函数在上的值域即可，当时，则，，因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，因此，函数的值域为，C对；对于D选项，考虑函数在上单调递减区间，当时，，且，由可得，由可得，由可得，所以，函数在上的递减区间为，递增区间为、，由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为、、，因此，函数的单调递减区间为、、，D错.故选：AC.12．ABD【解析】【分析】对于A：利用离心率直接求出；对于B：设进行向量坐标化，整理化简得到，即可判断出动点的轨迹方程为直线，故正确；对于C、D：求出线段长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】对于A：由椭圆的离心率为，得，所以，故正确；对于B：设，由，得两式相乘得，同理可得，由题意知且，否则与矛盾，动点的轨迹方程为，即直线，故正确；对于C、D：所以线段长度的最小值即为原点到直线的距离，min，故C错误，D正确.故选：ABD.13．【解析】【分析】先将乘积展开为，再分别利用二项展开式计算和中含的项，即求得的展开式含的项，即得结果.【详解】，其中的展开式通项为，，故时，得含的项为；的展开式通项为，，故时，得含的项为.因此，式子的展开式中，含的项为，即系数为 .故答案为：14．72【解析】【分析】利用分组分配的方法及间接法即得.【详解】有名教师志愿者和名学生志愿者，要分配到个不同的社区参加服务，每个社区分配名志愿者，共有种分配方案，若两名学生分在同一社区，则有种分配方案，所以两名学生不分在同一社区，则不同的分配方案有种.故答案为：72.15．①②④【解析】【分析】对①：由正方体的面对角线相等即可判断；对②：由线面垂直的判断定理证明平面，即可得证平面平面；对③：由平面,可得点M到平面的距离为定值，从而可得三棱锥的体积为定值；对④：由面面平行的判断定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断.【详解】解：对①：在正方体中，设边长为1，则，所以是等边三角形，故①正确；对②：在正方体中，，又平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面，故②正确；对③：在正方体中，因为平面平面, 平面,所以平面,所以点M到平面的距离为定值，所以为定值，故③错误；对④：在正方体中，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面，故④正确.故答案为：①②④.16．-4【解析】【分析】由为偶函数可以得到函数的对称轴为，可以结合题意得到在上单调递增，利用构造二次方程，利用根与系数关系即可.【详解】为偶函数     的对称轴是   又有两个相等的实数根，即，得，，在上单调递增，  ，为方程的两根，故答案为：-417．(1)(2)【解析】【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义即可求出.（2）由题可得，讨论和两种情况可求出.(1)由，解得，所以，当时，，所以；(2)由，得，当时，，解得．当时，，解得．综上实数的取值范围为．18．(1)(2)【解析】【分析】（1）由余弦定理结合题目条件可求出，再由三角函数的商数关系和平方关系可求出，即可求出三角形的面积.（2）由正弦定理结合（1）可求出，即可求出答案.(1)由，结合余弦定理得：，由，知，，所以，所以．(2)由正弦定理得：．所以．19．(1)​；(2)列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1可求出，求出成绩非优秀的频率，再乘以总人数可得成绩非优秀的人数，然后根据分层抽样的定义求出抽取的5名学生成绩优秀的人数和成绩非优秀的人数，再利用列举法求所求概率，（2）根据题意完成列联表，然后根据公式求出，再与临界值表比较可得结论(1)由题可得 ​，解得 ​，由题可得， 这 100 名学生中成绩非优秀的有 ​名，所以抽取的 5 名学生中成绩非优秀的有 ​名， 成绩优秀的有​名， 记成绩优秀的 3 名学生为​， 成绩非优秀的 2 名学生为​，从这 5 名学生中随机抽取 2 名， 有 ​， 共 10 种情况，其中这 2 名学生的成绩恰有一名优秀共有 6 种情况，所以这 2 名学生的成绩恰有一名优秀的概率为 ​；(2)补充完整的 ​列联表如下表所示： 男生女生合计优秀303060非优秀301040合计6040100 则 ​的观测值​，所以没有 ​的把握认为答题成绩是否优秀与性别有关.20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接，由平面平面，证得平面，得到，再由，得到，结合线面垂直的判定定理证得平面，即可证得；（2）设，点到平面的距离为，结合，列出方程，即可求解.(1)证明：如图所示，连接，因为平面平面，且，为AB的中点，所以，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为矩形，，所以，，且，所以，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以.(2)解：设，点到平面的距离为，由（1）知平面，所以，所以 ，因为，即，所以，解得，即点到平面的距离为.21．(1)(2)不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设，利用点差法求得直线AB的斜率，根据直线的点斜式方程结合验证，即可求得答案；（2）同（1）利用点差法求得直线方程，把直线方程和双曲线方程联立，整理得到一元二次方程，其判别式小于0，说明符合题意的直线不存在.(1)设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组得，其 ，说明所求直线存在，故直线的方程为.(2)假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，设该直线与双曲线交于C,D两点，设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组 ,得 ，根据 ，说明所求直线不存在,故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.22．(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）将问题转化为恰有3个互不相等的实根，由得方程有2个异于-1的实根．令，则．分，讨论，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．(1)解：当时，，则．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以，即．当时，；当时，．故的单调递增区间为，单调递减区间为．(2)解：．若有3个极值点，则恰有3个互不相等的实根，分别记为，，．因为，所以为的一个根．所以方程有2个异于-1的实根．令，则．①当时，，在上单调递增，所以至多有1个根，不符合题意．②当时，令，即，解得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．，．当，即时，，至多有1个零点，不符合题意．当时，，，，因为，且，所以存在，，使得，，所以当时，若，则，，则，，则，，则，所以有3个极值点，，．所以的取值范围为．