四川省绵阳南山中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题（解析）

绵阳南山中学2021级高一新生入学考试

数 学（参考解析）

第卷（选择题,共36分）

一、选择题：

1. 【答案】C【解析】因为a+b=0，所以a，b两个实数一定是相反数．

2. 【答案】B【解析】绝对值等于它本身的数有0和正数，①错误；0的绝对值是0，②错误；4的相反数是-4，-4的绝对值是4，③正确；任何有理数的绝对值都不是负数，④正确.

3.【答案】D【解析】A、如果a=-3，b=5，那么a+b=2＞0，但是a＜0，故本选项错误；

B、如果a=3，b=-5，那么a+b=-2＜0，但是a＞0，故本选项错误；C、如果a=-3，b=5，那么a+b=2＞-3=a，但是a+b=2＜5=b，故本选项错误；D、若|a|=|b|，则a=b或a+b=0，故本选项正确．

4.【答案】A【解析】时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3+=份，时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是30°×=115°，故选A．

5.【答案】A【解析】根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x+4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x+1），故3（x+4）=4（x+1）.故选A.

6.【答案】B【解析】设A港到B港的路程为1，则顺水速度为，逆水速度为，水流速度为．设帽子漂流到B港需要的时间是x小时，由题意得解得：x=32．故选B．

7.【答案】B【解答】解：∵sin∠CAB＝＝，∴∠CAB＝45°．

∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．

8. 【答案】D【解析】设每辆中巴车载客x人，每辆小客车载客y人，

由题意，得解得3×18＋6×7＝96(名)，故选D.

9.【答案】C【解答】解：L＝＝4π（cm）；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2（cm），

∴这个圆锥形筒的高为＝4（cm）

10.【答案】D【解析】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝－＞0，

∴b＜0，∵当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，∴y＝bx＋a的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，反比例函数y＝图象在第二、四象限，只有D选项图象符合．故选D.

11. 【答案】C　【解析】若假设M1＝{－1，1}，M2＝{－1，2}，M3＝{－1，4}，M4＝{1，2}，M5＝{1，4}，M6＝{2，4}，∵－1＋1＝0，－1＋2＝1，－1＋4＝3，1＋2＝3，1＋4＝5，2＋4＝6，可得M3＝M4，∴M3和M4不符合题意，可得S的最大值为5.

12.【答案】D【解析】如图，连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，

∵∠AEB＝∠D＋∠DBE，∴∠AEB＞∠D，∴∠C＞∠D，根据锐角三角形函数的增减性，可得，sin ∠C＞sin  ∠D，故①正确；cos ∠C＜cos  ∠D，故②错误；tan ∠C＞tan  ∠D，故③正确，故选D.

第卷（非选择题，共114分）

二、填空题：

13. 【答案】2或－6【解析】＝±4，＝－2，－4＋(－2)＝－6，4＋(－2)＝2.

14. 【答案】(－2,4)【解析】因为点P(2a,1－3a)是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为6，所以－2a＋1－3a＝6，解得a＝－1，所以2a＝2×(－1)＝－2，1－3a＝1－3×(－1)＝1＋3＝4，所以，点P的坐标为(－2,4)．

15.【答案】30%【解析】总人数是5＋10＋20＋15＝50(人)，优秀的人数是：15人，

则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是×100%＝30%.

16.【答案】　【解析】设点P(m，n)，∵P是反比例函数y＝(x＞0)图象上的点，∴n＝，∴点P(m，)．∵PB∥x轴，∴B点的纵坐标为，将点B的纵坐标代入反比例函数的解析式y＝(x＞0)得，x＝，∴B(，)，同理可得：A(m，)．∴PB＝m－＝，PA＝－＝，∴S△PAB＝PA·PB＝××＝.

17.【答案】2或4【解析】设每户居民每月用水不超过5 m3时，收费为x元/m3，超过5 m3时，收费为y元/m3.由题意，得解得答：每户居民每月用水不超过6 m3时，收费为2元/m3，超过6 m3时，收费为4元/m3.故答案为2；4.

18.【答案】解：当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CH⊥x轴于H，PM⊥x轴于M，DN⊥PM于N，

∵AC为切线，∴OC⊥AC，

在△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴∠OAC=30°，∠AOC=60°，

在Rt△AOD中，∵∠DAO=30°，∴OD=OA=，

在Rt△BDP中，∵∠BDP=∠ADO=60°，∴DP=BD=（2﹣）=1﹣，

在Rt△DPN中，∵∠PDN=30°，∴PN=DP=﹣，

而MN=OD=，∴PM=PN+MN=1﹣+=，

即P点纵坐标的最大值为．故答案为．

∴BE＝PE，∴AH＝PE＝BG＝BE＝CF＝PG，同理AE＝HP＝DF＝PF＝CG，

∴四边形AEPH的周长＝四边形GPFC的周长，∴④正确；

三、解答题

19.（1）原式====．

（2）解：原式=

===．

20. 【解析】(1)画树状图如下:

如果是列表法,列表如下:

由此可见:该顾客最少可得20元购物券,最多可得80元购物券.

(2)树状图中可以看出,一共有16种等可能的结果,该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况,

所以该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为=.

21. 【答案】解：（1）y1=（6-a）x-20，（0＜x≤200）y2=10x-40-0.05x2=-0.05x2+10x-40．（0＜x≤80）．（2）对于y1=（6-a）x-20，∵6-a＞0，∴x=200时，y1的值最大=（1180-200a）万元．对于y2=-0.05（x-100）2+460，∵0＜x≤80，∴x=80时，y2最大值=440万元．（3）①（1180-200a）=440，解得a=3.7，②（1180-200a）＞440，解得a＜3.7，③（1180-200a）＜440，解得a＞3.7，∵3≤a≤5，∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润较高．

22． 【答案】(1)证明：∵AD＝BC，∴＝.∴＝，∴AB＝CD.

(2)解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.

则AF＝FD，BG＝CG.∵AD＝BC，∴AF＝CG.

在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG(HL)，∴OF＝OG.

又AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形．∴OF＝EF.设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x＋1，

在Rt△OAF中．由勾股定理得到x2＋(x＋1)2＝52，解得x＝3.则AF＝3＋1＝4，即AE＝AF＋EF＝4＋3＝7.

23．【答案】解　(1)电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，

∵图象经过(9,4)，∴4＝，解得k＝4×9＝36，∴I＝；

(2)蓄电池的电压是4×9＝36；

(3)填表如下：

(4)∵I≤10，I＝，∴≤10，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．

24．【答案】解：（1）由已知可得AD=＝，则S=1×＝m2，（2）设AB=xm，则AD=3-xm，∵3−x＞0，∴0＜x＜，设窗户面积为S，由已知得S＝AB•AD＝x(3−x)＝−x2+3x＝−(x−)2+，当x=m时，且x=m在0＜x＜的范围内，

S最大值＝m2＞1.05m2，∴与例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．

25．【答案】解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），

∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OA•OB＝OC2，∴OB＝，∴m＝4，

将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得 ，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．

（2）D（1，n）代入y＝x2﹣x﹣2，得n＝﹣3，

可得 （不合题意舍去），，∴E（6，7）．

过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），∴AH＝EH＝7，∴∠EAH＝45°．

过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），∴BF＝DF＝3，∴∠DBF＝45°，∴∠EAH＝∠DBF＝45°，

∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°．

则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若△DBP1∽△EAB，则 ，∴BP1＝＝＝，

∴OP1＝4﹣＝，∴P1（ ，0）．

②若△DBP2∽△BAE，则 ，∴BP2＝＝＝，

∴OP2＝﹣4＝，∴P2（﹣，0）．

综合①、②，得点P的坐标为：P1（ ，0）或P2（﹣，0）．

（3）∵HQ∥AB∴△CHQ∽△CAB∴HQ：AB＝CR：CO，即：设HG＝x，则＝

解得：HQ＝﹣x+5，∴矩形的面积S＝HG•HQ＝﹣x2+5x

当x＝﹣＝1时，面积取得最大值．则H，R，Q的纵坐标是﹣1．则HQ＝﹣×1+5＝

设直线AC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：

则AC的解析式是：y＝﹣2x﹣2，在解析式中，令x＝﹣1，解得：y＝0

则H的坐标是（﹣，﹣1）．F的坐标是（2，0）．则HF＝．

设直线FH的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：，

则直线FH的解析式是y＝x﹣．解方程组：，解得：x＝．

当直线与抛物线相交时，k＝＝＝或＝．

则k的范围是：k＞0且k≠且k≠