浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题

浙江省名校协作体2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题

选择题部分

一、单项选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.设, 则
A.               B.
C.               D.

2.已知为虚数单位, 则 在复平面上对应的点在
A. 第一象限   B. 第二象限   C. 第三象限    D. 第四象限

3.设命题 , 则的否定为
A.
B.
C.
D.

4.已知数列为递增数列, 前项和, 则实数的取值范围是
A.       B.       C.      D.

5.已知, 则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件
C. 充要条件                   D. 既不充分也不必要条件

6.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型: , 其中为时间 (单位: 为环境温度, 为物体初始温度, 为冷却后温度. 假设在室内温度为 的情况下, 一杯饮料由降低到需要, 则此饮料从降低到 需要
A.       B.       C.        D.

7.已知分别为椭圆 的左、右焦点, 过的直线与交于两 点, 若, 则的离心率是
A.          B.         C.            D.

8.若不等式 (其中 为自然对数的底数, 约为 对一切正实数都成立, 则实数的取值范围是
A.       B.      C.       D.
二、选择题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 选对但不全的得 2 分, 有选错的或不选的得 0 分.

9.已知函数, 则
A. 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位
B. 在 上递减
C. 的图象关于直线对称
D. 当 时, 的取值范围是

10.甲袋中有 4 个红球, 4 个白球和 2 个黑球; 乙袋中有 3 个红球, 3 个白球和 4 个黑球. 先从甲袋中随机取出一球放入乙袋, 分别以 表示事件 “取出的是红球”、“取出的是白球” 、“取出的是黑球” ; 再从乙袋中随机取出一球, 以表示事件 “取出的是红球”, 则下列的结论中正确的是
A. 事件是两两互斥的事件          B. 事件与事件相互独立
C.                          D.

11.已知是定义在上的奇函数, 当时, 恒成立, 则
A. 在 上单调递增
B. 在 上单调递减
C.
D.

12.如图, 矩形中, , 将沿直线翻折成 , 若为线段的点, 满足, 则在翻折过程中 (点 不在平面内), 下面四个选项中正确的是
A. 平面
B. 点在某个圆上运动
C. 存在某个位置, 使
D. 线段的长的取值范围是

非选择题部分

三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上.

13.的展开式的二项式系数的和是_______________. (用数字作答)

14.在中, , 若, 则_______________.

15.如图, 拋物线 的焦点为的准线与轴 交于点,过点斜率为的直线与交于点 在 轴上方), 则 _______________.

16.已知实数满足, 则的最小值是_______________.
四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证 明过程或演算步秝.

17.(本题满分 10 分)
已知的内角 所对的边分别为, 且满足.
(I) 求;
(II) 若为边的中点, 求的长.

18.(本题满分 12 分)
已知数列的前项和为, 且, 数列为等差数列, 且 .
(I) 求与的通项公式;
(II) 记, 求的前项和为.

19.(本小题满分 12 分)
为调查某小学学生的视力情况, 随机抽取了该校150名学生(男生100人, 女生50人), 统计了他们的视力情况, 结果如下: 男生中有 60 人视力正常, 女生中有 40 人视力正常.
(I) 是否有 的把握认为视力正常与否与性别有关?

(II) 如果用这 150 名学生中, 男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概率, 且每位学生视力正常与否相互独立. 现从该校学生中随机抽取3人 ( 2男1女), 设随机变量表示 “ 3人视力正常” 的人数, 试求的分布列和数学期望.
附: .

20.(本小题满分 12 分)
如图, 在三棱柱中, , 点为的中点.
(I) 求的长;
(II) 求直线与平面所成角的正弦值.

21.(本小题满分 12 分)
如图, 已知双曲线, 经过点且斜率为的直线与交于两点, 与的渐近线交于两点 (从左至右的顺序依次为), 其中.
(I) 若点是的中点, 求的值;
(II) 求面积的最小值.
 

22. (本小题满分 12 分)
已知函数, 其中为自然对数的底数, 约为 .
(I) 求函数的极小值;
(II) 若实数满足 且, 证明: .