精品解析：重庆市第八中学校2023届高三上学期入学考试数学试题

重庆八中2022-2023学年度（上）入学考试高三年级

数学试题

一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简集合，然后根据交集运算即可得到答案

【详解】解：因为，且，

所以，

故选：D

2. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第50百分位数分别是（    ）

A. 8，8.5 B. 8，8 C. 9，8 D. 8，9

【答案】D

【解析】

【分析】众数是出现次数最多的，百分位数根据从小到大排列后，根据计算即可求解

【详解】解：党员人数一共有，学习党史事件为8小时的人数最多，故学习党史时间的众数为8，

，那么第50百分位数是第20和21个数的平均数，第20，21个数分别为9，9，所以第50百分位数是，

故选：D

3. 经研究发现，某昆虫释放信息素后，在距释放处的地方测得信息素浓度y满足，其中A，K为非零常数.已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（    ）

A  B.  C. 2m D. 4m

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，根据和时的表达式，结合对数运算，即可求解.

【详解】根据题意，由，，，得

当，时，，

即，

因此，故.

故选：D.

4. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用时，值为正即可判断作答.

【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，A，B不满足；

当时，即，则，而，因此，D不满足，C满足.

故选：C

5. 用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（    ）

A 6 B. 10 C. 16 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果

【详解】解：依题意，第一个格子必须为黑色，则出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：

①全染黑色，有 1 种方法；

②第一个格子染黑色，另外四个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法；

③第一个格子染黑色，另外四个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有种方法；

所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有种，

故选：B

6. 若，且，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角差的正弦公式可得，由诱导公式及的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.

【详解】解：∵，∴.

由，可得，

即.

∴，∴.

∵，∴，且.

由于函数在上单调递增，∴，即.

故选:C.

7. 已知，，，其中，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先令函数，求导判断函数的单调性，并作出函数的图像，由函数的单调性判断，再由对称性可得.

【详解】由，则，同理，，

令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，
 

由图的对称性可知，.

故选：C

8. 已知函数，且，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要构造，分析出函数为上的奇函数，并且单调递增，将题中不等式构造成，利用单调性求解的取值范围．

【详解】令，则，

因，，

为奇函数，

又因为，由函数单调性可知为的增函数，

，则，

，，，

，．

故选A．

【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性解不等式问题，属于一般题．

二、多选题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列有关命题的说法正确的有（    ）

A. 的增区间为

B. “”是“”的充分不必要条件

C. 若集合中只有两个子集，则

D. 对于命题: 存， 使得， 则: 任意， 均有

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出函数的增区间判断A；由充分条件、必要条件的定义判断B；由方程只有1个根求出k判断C；由存在量词命题的否定判断D作答.

【详解】对于A，函数中，由得，

又函数在上递增，而在上递增，因此在上递增，A正确；

对于B，当时，成立，而当时，或，

即“”是“”的充分不必要条件，B正确；

对于C，因集合中只有两个子集，则集合A含有1个元素，

即方程只有1个根，则或，解得，C不正确；

对于D，命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，则: 任意， 均有，D正确.

故选：ABD

10. 在中，已知， 则（    ）

A. 的最大值为

B. 的最小值为 1

C. 的取值范围为

D. 为定值

【答案】ACD

【解析】

【分析】首先原式变形得到，，再根据的互余关系，代入选项，变形求解，即可判断选项.

【详解】，，即，

，即，，，，

A：，当时，取得最大值，故A正确；

B：，

当时，取得最大值，故B错误；

C：，

因为，，所以，所以，

所以的取值范围是，故C正确；

D：

（定值），故D正确.

故选：ACD

11. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（    ）

A. 与共轭的双曲线是

B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同

C. 互为共轭的双曲线的离心率为、则

D. 互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上

【答案】CD

【解析】

【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错；

对于B选项，双曲线的渐近线方程为，

双曲线的渐近线方程为，B错；

对于C选项，设，双曲线的离心率为，

双曲线的离心率为，

所以，，当且仅当时，等号成立，C对；

对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，

双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对.

故选：CD.

12. 已知函数， 则下列说法正确的有（    ）

A. 在单调递增

B. 为的一个极小值点

C. 无最大值

D. 有唯一零点

【答案】ABC

【解析】

【分析】求出函数的导数，借助导数分析、推理判断选项A，B，C；举例说明判断D作答.

【详解】依题意，，令，求导得，

当时，令，则，即在上递增，

，则在上递增，，因此在上递增，A正确；

当时，，求导得，显然函数在上递增，

而，，则存在，使得，

当时，，函数在上单调递增，当时，，

即当时，，则，因此为的一个极小值点，B正确；

当时，令，求导得，函数在上递增，当时，，

而在上递增，值域为，因此当时，，所以无最大值，C正确；

因，即和是函数的零点，D不正确.

故选：ABC

【点睛】结论点睛：可导函数y=f(x)在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，若，则_____.

【答案】##

【解析】

【分析】令，解出，代入求即可．

【详解】令，解得，则

故答案为：

14. 若 则 __.

【答案】

【解析】

【分析】由已知结合同角平方关系可求，进而可求，然后结合同角商的关系对所求式子进行化简即可求解.

【详解】

解可得， 或 （舍）

所以 ,

则 ,

故答案为: .

15. 已知为上的奇函数，且，当时，，则_____.

【答案】##

【解析】

【分析】首先判断函数的周期，再利用对数运算，以及周期公式，化简，最后代入求值.

【详解】因为函数是奇函数，所以，

所以，即，

所以函数是周期的函数，

因为，所以，

所以.

故答案为：

16. _____.

【答案】

【解析】

【分析】通分利用辅助角公式及二倍角公式计算可得；

【详解】解：

故答案为：

四、解答题: 本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据及两角差的正弦公式计算可得；

（2）首先求出，再根据及两角和的余弦公式计算可得.

【小问1详解】

解：因为，均为锐角，所以.

又，

所以，.

所以

.

【小问2详解】

解：根据第（1）问可知 ，

所以

.

18. 已知函数，若在点处的切线方程为．

（1）求的解析式；

（2）求函数在上的值域．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切线方程，列式，即可求解函数的解析式；

（2）首先由导数判断函数的单调性，再比较函数的极值和端点值的大小，求函数的值域.

【小问1详解】

因为，所以，

由题意得，所以，；

故的解析式为

【小问2详解】

由（1）得，，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，

故当时，函数取得极小值

又，，

因为

故函数在上的最大值为，最小值为，

所以在上的值域为

19. 如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.

【小问1详解】

证明：连接交于点，连接，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

因为，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，因此，平面.

【小问2详解】

解：因为为等边三角形，为的中点，则，

又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

.

因为，平面与平面夹角的余弦值为.

20. 某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p（0＜p＜1），，且各局比赛互不影响.

（1）若，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X，求X的分布列和数学期望；

（2）设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为，试问当p为何值时，取得最大值.

【答案】（1）分布列见解析，   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据随机变量的取值，求对应事件的概率，进而可得分布列和期望.（2）列出的表达式，利用导数研究单调性，进而可得最值.

【小问1详解】

由题可知，X的可能取值为2，3，4，5.

因，所以，，，

.

故X的分布列为

.

【小问2详解】

设一天得分不低于4分为事件A，

则，

则，

则.

当时，；当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值.

21. 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.

（1）求点的轨迹的方程.

（2）已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）是，证明见解析

【解析】

【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可知的轨迹是以、为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），从而求出椭圆方程；

（2）设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到，再求出直线、的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程.

【小问1详解】

解：因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，

所以，

故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），

且，所以，

所以的轨迹的方程为；

【小问2详解】

解：设直线的方程为：，，，

联立方程得：，

则，，

所以，

又直线的方程为：，

又直线的方程为：，

联立方程，解得，

把代入上式得：，

所以当点运动时，点恒在定直线上

22. 已知函数．

（1）若的最小值为，求的值；

（2）证明：当时，有两个不同的零点，，且．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而求出的值；

（2）由（1）及零点存在性定理得到在和上各有一个零点，不妨设，则，，对其两边取对数，即可得到，则要证，即证，再令，，即证，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证；

【小问1详解】

解：因为定义域为，所以，

①当时恒成立，此时在定义域上单调递增，函数无最小值，不符合题意；

②当时，令，解得，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得；

【小问2详解】

证明：由（1）可知，当时，

又，，所以在和上各有一个零点，

即有两个不同的零点，，不妨设，

即，，

即，，

两边取对数可得，，

所以，即，

要证，即证，

即证，

令，，即证，

令，，

所以，

所以在上单调递增，又，所以，即，

所以，得证.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化不等关系为，再构造函数即可得证.