高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案设计，共6页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
注意：公式a·b＝|a||b|cs〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式
1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝ .
2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝ .
3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ .
注意：由三角函数值cs θ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
【小试牛刀】
思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cs θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．( )
(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．( )
【经典例题】
题型一 数量积的坐标运算
点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
例1 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b)．
【跟踪训练】1已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝( )
A．－1 B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,2) D．1
题型二 平面向量的模
点拨：求向量的模的两种方法：
1.字母表示下的运算，利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ eq \r(x2＋y2).
例2 已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4eq \r(2) B．2eq \r(5)
C．8 D．8eq \r(2)
【跟踪训练】2 已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，则|eq \(BC,\s\up6(→))|＝________．
题型三 平面向量的夹角和垂直问题
点拨：解决向量夹角问题的方法
1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a·b以及|a|，|b|，再由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，求出cs θ，也可由cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1) )\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ.由三角函数值cs θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
2.由于0≤θ≤π，所以利用cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)来判断角θ时，要注意cs θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cs θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
【跟踪训练】3已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．
【当堂达标】
1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( C )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|＝( )
A．eq \r(5) B．eq \r(10) C．5 D．25
3.已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．0 D．－eq \r(3)
4.已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
6.已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
【课堂小结】
3个公式
1.数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
2.模长：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2).
3.夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cs θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ.由三角函数值csθ 求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
【参考答案】
【自主学习】
对应坐标的乘积之和 x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 eq \r(x2＋y2) x1-x22+y1-y22
eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))· \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
【小试牛刀】
(1) × (2) × (3) × (4) ×(5) √
【经典例题】
例1 解 a·b＝1×2＋3×5＝17.
∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.
【跟踪训练】1 D 解析：(1)a·b＝2－x＝1，解得x＝1.故选D.
例2 D 解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝82+-82＝8eq \r(2).
【跟踪训练】2 eq \r(13) 解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y－1＝－1，))解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13).
例3解 (1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝eq \r(42＋32)＝5，|b|＝eq \r(（－1）2＋22)＝eq \r(5)，设a与b的夹角为θ，所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,5\r(5))＝eq \f(2\r(5),25).
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝eq \f(52,9).
【跟踪训练】3 解 ∵a与b的夹角为钝角，∴a·b<0，即(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－eq \f(1,2).又当a与b反向时，夹角为180°，即a·b＝－|a|·|b|，则2λ＋1＝eq \r(5)·eq \r(λ2＋1)，解得λ＝2.由于a与b的夹角为钝角，故应排除a与b反向共线的情况，即排除λ＝2，则实数λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．
【当堂达标】
1.C解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
2.C 解析：∵|a＋b|＝5eq \r(2)，∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5eq \r(2))2，∴|b|＝5，故选C．
3.B 解析：因为a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．所以|a|＝2，|b|＝eq \r(9＋m2)，a·b＝3＋eq \r(3)m，
又a，b的夹角为eq \f(π,6)，所以eq \f(a·b,|a|·|b|)＝cs eq \f(π,6)，即eq \f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq \f(\r(3),2)，所以eq \r(3)＋m＝eq \r(9＋m2)，解得m＝eq \r(3).
4.A 解析：选A.由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(8，－4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－6，8)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝2×8＋(－4)×4＝0，即eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→)).所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
5. 7 解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
6.解 (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a·c)b＝0·b＝0.素 养 目 标
学 科 素 养
1. 掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积。（重点）
2. 能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直。（重点）
1.数学运算;
2.逻辑推理
数量积
两个向量的数量积等于它们 ，即a·b＝
向量垂直
a⊥b⇔