人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示达标测试，共38页。

 6.3.5平面向量数量积的坐标表示
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.会用坐标表示平面向量的数量积.
2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.
3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.
【自主学习】
知识点1 面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点2 平面向量长度(模)的坐标表示
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
知识点3 两向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
知识点3 向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝.

【合作探究】
探究一 平面向量数量积的坐标运算
【例1】已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．

归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.

【练习1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.

答案　(－16，－8)　(－8，－12)
解析　∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．
∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．


探究二 向量的模的问题
【例2】向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，||＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为(　　)
A．(－7,8)　　　 　 　 　B．(9，－4)
C．(－5,10) D．(7，－6)
[解析]　(1)∵向量与向量a＝(－3,4)的夹角为π，
∴设＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．
由此可得||＝＝10，
解之得k＝－2(k＝2舍去)．
∴＝(6，－8)，
设B(m，n)，得＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，
则有解得m＝7，n＝－6，
∴B(7，－6)，故选D.

归纳总结：
(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．
(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．

【练习2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
解　设点D的坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.②
由①②可得
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)．
∴||＝＝，
即||＝，D(1,1)．

探究三 向量的夹角与垂直问题
【例3-1】已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2)∪(－2，)
B．(，＋∞)
C．(－2，)∪(，＋∞)
D．(－∞，)
[答案]　A
[解析]　∵a与b的夹角θ为锐角，
∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，
解得λ∈(－∞，－2)∪(－2，)．故选A.
【例3-2】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
[答案]　7
[解析]　因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，
所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
【例3-3】已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]．
∴a与b的夹角为.

归纳总结：根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夹角的余弦值，从而确定θ.


【练习3-1】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
解　设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．

【练习3-2】设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，cosθ＝________.
[答案] 1
[解析]　b＝a＋(－1，－1)＝(1,1)，
a·b＝6.又|a|＝3，
所以cosθ＝＝＝1.

课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.若单位向量满足，向量满足，且向量的夹角为60°，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案及解析】：B

【分析】
由向量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得，再由数量积的定义可得模．
【详解】因为，所以，因为，所以，所以，
故选：B.
2.已知向量，若向量在向量方向上的投影为－2，则向量与向量的夹角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案及解析】：C
【分析】
由已知结合向量数量积的定义可求，然后根据向量夹角公式即可求解．
【详解】解：由数量积的定义知向量在向量方向上的投影为，所以，
所以，所以夹角.
故选：C.
3.已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）
A. B. C. 1 D. 13
【答案及解析】：C

【分析】
根据求解即可.
【详解】解析：.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积与模长的运算等，属于基础题.
4.已知，则在方向上的射影为（ ）
A. B. C. D.
【答案及解析】：B

【分析】
由于在方向上的射影为，代入值直接求解即可.
【详解】解：因为，
所以在方向上的射影为，
故选：B

5.已知向量，，若，则实数m= ( )
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
【答案及解析】：B

【分析】
根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.
【详解】因为向量，
所以，
因为，
所以
所以
解得.
故选：B.
6.已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案及解析】：D

【分析】
先求，进而可求，再求，即可求，利用结合，即可求解.
【详解】，
，
，
设向量与的夹角为，
，
因为，
所以，
所以与的夹角为.
故选：D
7.若，，且，则向量的夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案及解析】：B

【分析】
由向量垂直则数量积为零，求得，再根据夹角公式求得结果.
【详解】根据题意，由于向量，，且，
，，
故，又向量夹角的范围为，
故可知向量的夹角为.
故选：B．
8.已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案及解析】：C

【分析】
由，可得.根据数量积的运算律和定义，可求与的夹角.
【详解】是非零向量，且，
，
设与的夹角为，则.
，
.
故选：C
9.设非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案及解析】：C
【分析】
根据可得，由也可得，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可.
【详解】因为，
所以，
因为，
两边平方可得：
即，
由充分条件和必要条件可判断出是的充分必要条件
故选：C

二、填空题
10.已知单位向量，满足，则与的夹角是_________.
【答案及解析】：
【分析】
将两边平方，代值计算即可.
【详解】设与的夹角是，由题意两边平方后，得：，
因为，为单位向量，，.
，.
故答案为：.
11.若向量，，则与的夹角等于______.
【答案及解析】：
【分析】
求出与的坐标，由两垂直向量的数量积关系即可判断.
【详解】，，
，，与的夹角等于.
故答案为：
12. 向量，，若，则_________.
【答案及解析】：1

【分析】
利用向量垂直的表示列方程，解方程求得的值.
【详解】因为，且，故，解得.
故答案为：
13.已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数________.
【答案及解析】：
【分析】
根据题设知，又单位向量，的夹角是，即可得方程求值
【详解】由向量，，知：
∴，而单位向量，的夹角是
∴，解得
故答案为：


三、解答题
14.已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求
【答案及解析】：（1）；（2）
【分析】
（1）对进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；
（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.
【详解】（1）由得，
已知向量与向量的夹角为，且，
所以化简得；；
解得或（舍去）
∴；

（2）由得


15.已知平面向量，，，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离是．
（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间上的最值．
【答案及解析】：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为，最大值为.
【分析】
（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简表达式，结合图象的两条相邻的对称轴之间的距离求得，利用整体代入法求得的单调减区间.
（Ⅱ）利用三角函数最值的求法，求得函数在区间上的最值．
【详解】（Ⅰ）
.
由于图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，即，
由于，所以.
所以
由，
解得，
所以的单调递减区间为.
（Ⅱ）因为，所以，
所以，，
.
所以在区间上的最小值为，最大值为.


B组 能力提升
一、选择题
1.非零向量满足：，则与夹角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案及解析】：.A

【分析】
由得向量垂直，，作图表示向量和，由向量减法法则得，从而可得夹角．
【详解】因为，所以，
如图，则，
又，所以，
所以与夹角，即的夹角为．
故选：A．

【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量垂直与数量积的关系，本题采取几何作图法得出向量的夹角，方法简便．
2.已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案及解析】：B

【分析】
由，根据向量模的方法求得，再根据在方向上的投影为-4，求得，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数的值.
【详解】解：由题可知，则，
∵在方向上的投影为，
∴，则，
又，∴，
即，即，
则，解得：.
故选：B.
3.已知向量，，若与的夹角为，则（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案及解析】：B
【分析】
求出、，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，即可得解.
【详解】，，则，同理，
，
因此，.
故选：B.
4.如图所示，在中，设为的外心，向量，，，若，，则等于（ ）

A. 6 B. 5 C. 3 D. 1
【答案及解析】：A

【分析】
取中点，根据平面向量线性运算将所求数量积化为，根据数量积的运算律可求得结果.
【详解】取中点，连接，

为的外心，为的垂直平分线，
，
，，又，，
.
故选：.

5.已知、、是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值是（ ）
A. B. －2 C. D.
【答案及解析】：D
【分析】
计算出的值，设向量与的夹角为，利用平面向量数量积运算律和定义可求得的最大值.
【详解】单位向量与的夹角为，则，
，则，
所以，.
故选：D.

二、填空题
6.如图，在平面四边形ABCD中，，，，E、F分别为边BC、CD的中点，则______．

【答案及解析】：

【分析】
以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，计算出、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出的值.
【详解】以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、，，，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.
7.在△ABC中，若，，，，则______.
【答案及解析】：

【分析】
利用余弦定理可求得,建立平面直角坐标系,根据求出的坐标,进而求得即可.
【详解】由余弦定理可得,即,因为,故解得.
过作垂直的延长线于,再以为坐标原点,为轴, 为轴建立平面直角坐标系.则,,.
设,因为,故,
故,解得,即.
故

故答案为：
8.在锐角△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，若，，且，，则实数的值为_______．
【答案及解析】：3
【分析】
将表示为，由题意得知与不垂直，由可得出，进而可求得实数的值.
【详解】如下图所示：

，，，，
，
是锐角三角形，则与不垂直，即，
，，
则，
即，
，，因此，.
故答案为：.

9.已知，，,若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于________.
【答案及解析】：13
【分析】
建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化为，再利用基本不等式求得它的最大值.
【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得,,,



,
，
,
当且仅当，即时，取等号
的最大值为,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.


三、解答题

10.已知向量，（，），令（）.
（1）化简，并求当时方程的解集；
（2）已知集合，D是函数与定义域的交集且D不是空集，判断元素f(x)与集合P的关系，说明理由.
【答案及解析】：（1），或，；
（2）时，，时，

【分析】
（1）直接将向量，代入中化简，可求出的解析式，再解方程即可；
（2）由化简变形可得结果.
【详解】解：（1）因为，，
所以

，
当时，，
由得，
解得或，
所以方程的解集为或
（2）当时，，
化简得，
解得，
所以当时，，当时，
【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.

C组 挑战压轴题
一、选择题
1.设，，为非零不共线向量，若则（ ）
A. B.
C. D.
【答案及解析】：D
【分析】
，化简得到，故，得到答案.
【详解】，故，化简整理得到：，
即，
，故，故.
故选：D.

2.已知△ABC中，，，，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是（ ）
A. B. 4 C. D. 23
【答案及解析】：C

【分析】
由题意，，故，展开可得关于的一元二次函数，配方，即可求得的最大值.
【详解】△ABC中，，，，
.
由题意，



,
当时， 取得最大值，最大值为.
故选：C.


二、填空题
3.已知平面向量满足，，，，则的最小值为_____
【答案及解析】：－4
【分析】
设，，，由，可求，再代入，可得，由此表示出，从而可求出最小值.
【详解】设，，，由，得：，
又，则，解得：，
，
故的最小值为-4.
故答案为：-4.
4.已知平面向量、、满足、，，则的取值范围是______.
【答案及解析】：
【分析】
可根据得出，然后根据解得，最后通过即可得出结果.
【详解】，
因为，
所以，，
因为，
所以，解得，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
5. △ABC是等腰直角三角形，，，点D满足，点E是所在直线上一点.如果，则__________；在上的投影的取值范围是__________.
【答案及解析】：2 ;
【分析】
首先由条件确定出点的位置，然后由三点共线可得，根据条件分别计算出和，然后可得，然后消元变形、分类讨论可求出其范围.
【详解】由知，在边的延长线上，且为的中点，
因为点是所在直线上一点，且，
所以即.
因为，由题意，所以，
由得，
所以.
令，由于，所，
令，则且
当时，；
当时，，由于，
当且仅当时等式成立，可得.
当时，，则，所以可得
综上可得，
故答案为：2，

6.在面积为1的平行四边形ABCD中，，则___________；点P是直线AD上的动点，则的最小值为___________.
【答案及解析】： ；
【分析】
由平行四边形的面积为1可得，根据向量数量积的定义即可得出的值；由于，取BC的中点Q，连接PQ，则，，再利用基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】∵平行四边形的面积为1，即，
∴，
故.
，
取BC的中点Q，连接PQ，
则，，
∴
，
此时，，
故答案为：，.