人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习，共13页。

编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”
2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．
【自主学习】
知识点1 向量方法在几何中的应用
对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a∥b(b≠0)⇔ ⇔ .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：
非零向量a，b，a⊥b⇔ ⇔ .
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝ 或 ＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
知识点2 平面几何中的向量方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题；
(2)通过 运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把 “翻译”成几何关系．
知识点3 直线的方向向量和法向量
(1)直线y＝kx＋b的方向向量为 ，法向量为 .
(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为 ，法向量为 .

【合作探究】
探究一 利用向量证明平行或垂直问题
【例1】如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.
求证：MN∥AD.
归纳总结：
【练习1】如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
探究二 利用向量解决长度和夹角问题
【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝eq \f(1,2)DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
归纳总结：
【练习2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
探究三 利用向量解决直线问题
【例3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程．
归纳总结：
【练习3】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形为( )
A．平行四边形B．矩形
C．等腰梯形D．菱形
2．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2eq \r(5) B.eq \f(5,2)eq \r(5)
C．3eq \r(5) D.eq \f(7,2)eq \r(5)
3．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
4．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是( )
A．30° B．45° C．135° D．150°
5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
二、填空题
7．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．
8．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝ .
9．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝ .
三、解答题
10.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cs∠DOE的值．
11．已知直线l1：3x＋y－2＝0与直线l2：mx－y＋1＝0的夹角为45°，求实数m的值．
12．已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相互平分，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：设对角线AC、BD交于点O，则有eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))，
B组 能力提升
一、选择题
1.已知非零向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，则△ABC的形状是( )

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
2．在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．5 D．10
3．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是( )
A．－2B．－eq \f(3,2)
C．－eq \f(4,3)D．－1
二、填空题
4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为________．
5．已知曲线C：x＝－eq \r(4－y2)，直线l：x＝6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝0，则m的取值范围为________．
三、解答题
6.点O是平行四边形ABCD的中点，E，F分别在边CD，AB上，且eq \f(CE,ED)＝eq \f(AF,FB)＝eq \f(1,2).
求证：点E，O，F在同一直线上．
7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF.求证：∠ADB＝∠FDC.
8.如图所示，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点A、点B，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.