高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案

4.5.1　函数的零点与方程的解

课程标准

(1)理解零点的概念．(2)了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数．(3)能够利用零点的存在解决含参问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　函数的零点

1．零点的定义

对于函数y＝f(x)，把________________，叫做函数y＝f(x)的零点❶.

2．方程的根与函数零点的关系

要点二　函数的零点存在定理❷

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条__________的曲线，且有________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内____________________，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

助 学 批 注

批注❶　函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

批注❷　函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)所有的函数都有零点．(　　)

(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)<0.(　　)

(3)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．(　　)

(4)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　)

2.

函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的零点为(　　)

A．1        B．2

C．(0，1)    D．(2，0)

3．函数f(x)＝x＋1零点所在的区间是(　　)

A．(－3，0)　B．(0，2)　　C．(1，3)　　D．(2，4)

4．f(x)＝x2－3x－4的零点是________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　求函数的零点(方程的根)

例1　求下列函数的零点：

(1)f(x)＝x3＋8；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝

方法归纳

求函数零点的2种方法

巩固训练1　(1)如果函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)

A．0，2     B．0，

C．0，－    D．2，－

(2)函数y＝log2x－1的零点是________．

题型 2　判断零点所在的区间

例2　(1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的区间为(　　)

A．(0，)    B．()

C．()    D．(，1)

(2)f(x)＝x＋3x的零点所在区间为(a，a＋1)，(a∈Z)则a＝________．

方法归纳

判断函数零点所在区间的一般步骤

巩固训练2　函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点所在区间为(　　)

A．(0，)    B．(，1)

C．(1，)    D．(，2)

题型 3　函数零点个数的判断

例3　(1)函数f(x)＝x3－()x的零点个数为(　　)

A．0　　　B．1    C．2　　　D．3

(2)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．

方法归纳

1．判断函数零点的个数的3种方法

2．根据函数零点个数求参数范围的方法

将函数零点问题转化为图象交点问题，画出函数的图象，从而确定参数的范围．

巩固训练3　(1)函数y＝的零点个数为________．

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．

4.5.1　函数的零点与方程的解

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1．使f(x)＝0的实数x　2.交点的横坐标　零点

要点二

连续不断　f(a)f(b)<0　至少有一个零点　f(c)＝0

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．解析：根据函数f(x)的图象，可知f(x)与x轴的交点为(2，0)，所以函数f(x)的零点为2.

答案：B

3．解析：令f(x)＝x＋1＝0可得x＝－2，

因为－2∈(－3，0)，

所以函数f(x)＝x＋1零点所在的区间是(－3，0)．

答案：A

4．解析：由f(x)＝x2－3x－4＝0，即(x－4)(x＋1)＝0，

解得x1＝4，x2＝－1.

答案：4，－1

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)令x3＋8＝0，得x＝－2，所以函数f(x)＝x3＋8的零点为－2.

(2)函数f(x)＝的定义域为(0，3)令＝0，得x＋2＝0或ln x＝0，

所以x＝－2(舍去)或x＝1，

所以函数f(x)＝的零点为1.

(3)当x≤0时，令2－x－4＝0，得x＝－2，满足要求；当x＞0时，令lg x＝0，得x＝1，满足要求．

所以函数f(x)的零点是－2，1.

巩固训练1　解析：(1)由题意知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．由g(x)＝0得x＝0或－，故函数g(x)的零点是0，－.

(2)令y＝log2x－1＝0，log2x＝1即log2x＝log22，解得x＝2，即函数零点为2.

答案：(1)C　(2)2

例2　解析：(1)函数f(x)＝ex＋2x－3的定义域为R.

因为函数y＝ex，y＝2x－3均为增函数，所以f(x)＝ex＋2x－3为R上的增函数．

又f(0)＝e0＋2×0－3＝－2<0，

f()＝＝<0，

f()＝＋2×－3＝－2<0，f()＝＋2×－3＝>>0.

由零点存在定理可得：f(x)的零点所在的区间为()．

(2)因为f(x)是定义域为R的连续函数，且y＝x与y＝3x在R上均为增函数，

所以f(x)在R上为增函数，

又f(－1)<0，f(0)>0，

所以f(－1)·f(0)<0，

即零点在区间(－1，0)内，

所以a＝－1.

答案：(1)C　(2)－1

巩固训练2　解析：函数f(x)＝log2x＋2x－1可看成两个函数y＝log2x(x>0)和y＝2x－1组成，

两函数在(0，＋∞)上，都是增函数，

故函数f(x)＝log2x＋2x－1在(0，＋∞)上也是单调递增的，

所以f()＝log2＋2×－1＝－1＋1－1＝－1<0，

而f(1)＝log21＋2×1－1＝0＋2－1＝1>0，

由零点存在性定理可得，函数f(x)＝log2x＋2x－1零点所在区间为(，1)．

答案：B

例3　解析：(1)根据题意，x3－()x＝0，故x3＝()x，

故函数y＝x3与y＝()x的图象如图，

由于函数y＝x3与y＝()x的图象只有一个交点，

所以方程x3＝()x有且只有一个实数根，

所以函数f(x)＝x3－()x的零点个数为1个．

(2)问题可以转化为函数f(x)＝的图象与直线y＝m有3个交点，如图所示：

所以m∈(－1，0]时满足题意．

答案：(1)B　(2)(－1，0]

巩固训练3　解析：(1)当x≤0时，x2＋2x－1＝0⇒x1＝－－1，x2＝－1，

∵x2>0，故此时零点为x1＝－－1；

当x＞0时，y＝lg x＋2x－3在(0，＋∞)上单调递增，

当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1，2)之间有唯一零点；

综上，函数y在R上共有2个零点．

(2)令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个交点，结合函数图象(如图所示)可知，0<b<2.

答案：(1)2　(2)(0，2)