数学5.1 任意角和弧度制学案

5.1.1　任意角

课程标准

(1)了解任意角的概念，区分正角、负角与零角．(2)理解象限角的概念．(3)理解并掌握终边相同的角的概念，能熟练写出终边相同的角所组成的集合．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　任意角

1．角的概念：角可以看成平面内一条 __________绕着它的端点旋转所成的图形．

2．角的表示：

如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：________，终边：__________ ，顶点O.

3. 角的分类❶：

要点二　角的加法与减法

(1)如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.

(2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是____________．

(3)相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，于是有α－β＝____________．

要点三　象限角❸

把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与________________重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几________；如果角的终边在____________，就认为这个角不属于任何一个象限．

要点四　终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________❹，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

助 学 批 注

批注❶　要注意由旋转方向来确定角的符号．

批注❷　正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的．

批注❸　象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小．

批注❹　(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略．

(2)k ·360 °与α中间要用“＋”连接，k ·360 °－α可理解成k ·360 °＋(－α).

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)第一象限角都是锐角．(　　)

(2)第二象限角是钝角．(　　)

(3)终边与始边重合的角为零角．(　　)

(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(　　)

2．手表时针走1小时转过的角度是(　　)

A．60°　　　B．－60°    C．30°　　　D．－30°

3．与53°角终边相同的角是(　　)

A．127°      B．233°

C．－307°    D．－127°

4．2 022°是第________象限角．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　任意角的概念

例1　(1)(多选)下列说法，不正确的是(　　)

A．三角形的内角必是第一、二象限角

B．始边相同而终边不同的角一定不相等

C．钝角比第三象限角小

D．小于180°的角是钝角、直角或锐角

(2)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(　　)

A．10°　　B．15°　　C．30°　　D．－30°

方法归纳

解决与角的概念有关问题的策略

巩固训练1　经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(　　)

A．60°，720°        B．－60°，－720°

C．－30°，－360°    D．－60°，720°

题型 2　终边相同角的表示

例2　(1)与－2 022°终边相同的最小正角是(　　)

A．138°    B．132°    C．58°    D．42°

(2)写出与60°终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．

方法归纳

在某个范围内找与已知角终边相同的角的步骤

巩固训练2　(1)与－460°角终边相同的角可以表示成(　　)

A．460°＋k·360°，k∈Z

B．100°＋k·360°，k∈Z

C．260°＋k·360°，k∈Z

D．－260°＋k·360°，k∈Z

(2)终边落在x轴上的角的集合为____________．

题型 3　象限角及区域角的表示

例3　(1)(多选)若α是第一象限角，则角在(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

(2)写出终边在下列各图所示阴影部分内的角α的集合．

方法归纳

1．确定角nα或所在象限的2种方法

2．表示区域角的一般步骤

巩固训练3　(1)已知α是锐角，那么2α是(　　)

A．第一象限角

B．第二象限角

C．小于180°的正角

D．第一或第二象限角

(2)写出角α的终边在下列位置时的集合S.

ⅰ.角α的终边在如图①所示的阴影中(包括边界)；

ⅱ.角α的终边在如图②示的阴影中(包括边界).

5.1.1　任意角

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1．射线

2．OA　OB

3．逆时针　顺时针　没有

要点二

α＋β　α＋(－β)

要点三

x轴的非负半轴　象限角　坐标轴上

要点四

{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．解析：－×360°＝－30°.故选D.

答案：D

3．解析：与53°角终边相同的角是53°＋k·360°，k∈Z，当k＝－1时，角为－307°.故选C.

答案：C

4．解析：∵2 022°＝360°×5＋222°，180°<222°<270°.

∴2 022°是第三象限角．

答案：三

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)A中90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A不正确；

B中始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；

C中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故C不正确；

D中零角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D不正确．

故选ACD.

(2)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°.

答案：(1)ACD　(2)B

巩固训练1　解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.

答案：B

例2　解析：(1)由－2 022°＝－360°×6＋138°，

所以与－2022°终边相同的最小正角是138°.

(2)60°终边所在的集合S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．

k＝－1时，β＝－300°；k＝0时，β＝60°；k＝1时，β＝420°；

S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β为－300°，60°，420°.

答案：(1)A　(2)见解析

巩固训练2　解析：(1)因为－460°＝260°＋(－2)×360°，

所以－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z.

(2)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．

答案：(1)C　(2){β|β＝k·180°，k∈Z}

例3　解析：(1)(法一)∵α是第一象限角，

∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)．

∴k·180°<<k·180°＋45°(k∈Z)．

①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，

得n·360°<<n·360°＋45°(n∈Z)，这表明是第一象限角．

②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，

得n·360°＋180°<<n·360°＋225°(n∈Z)，这表明是第三象限角．

综合①②知，是第一或第三象限角．

(法二)如图

，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即的终边所在的区域，故是第一或第三象限角．

(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得

①{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．

②{α|－210°＋k·360°<α<30°＋k·360°，k∈Z}．

巩固训练3　解析：(1)因为α是锐角，所以α∈，所以2α∈(0，π)，满足小于180°的正角．

其中D选项不包括90°，故错误．

故选C.

(2)ⅰ.角的终边在如图(1)所示的阴影中(包括边界)，

角α的集合为：S＝{α|k·360°＋90°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}

＝{α|k·180°＋90°≤α≤k·180°＋120°，k∈Z}；

ⅱ.角的终边在如图(2)所示的阴影中(包括边界)．

角α的集合为S＝{α|－60°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}．

答案：(1)C　(2)见解析