人教A版 (2019)5.1 任意角和弧度制学案及答案

5.1.2　弧度制

课程标准

(1)理解弧度制的概念．(2)能进行角度与弧度的互化．(3)会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　弧度制

1．度量角的两种单位制

2.弧度数的计算

(1)正角：正角的弧度数是一个________．

(2)负角：负角的弧度数是一个________．

(3)零角：零角的弧度数是________．

(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝❸.

3．角度制与弧度制的换算

要点二　扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，❹，则

(1)弧长公式：l＝____________．

(2)扇形面积公式：S＝__________＝__________．

助 学 批 注

批注❶　角度制是以“度”为单位，单位不能省略．

批注❷　弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略．

批注❸　不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值．

批注❹　要注意α的单位是“弧度”．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)1 rad的角和1°的角大小相等．(　　)

(2)用弧度来表示的角都是正角．(　　)

(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　)

(4)若扇形的半径变为原来的2倍，弧长也变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．(　　)

2．把60°化为弧度是(　　)

A．    B．    C．    D．

3.弧度等于(　　)

A．120°    B．150°    C．210°    D．240°

4．已知一个扇形圆心角的弧度数为2，该扇形所在圆的半径为2，则该扇形的弧长是____________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　角度与弧度的互化

例1　将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°　 (2)－15°　(3)－

方法归纳

角度制与弧度制的互化的方法

度数×＝弧度数；弧度数×（）°＝度数．

巩固训练1　(1)－660°＝(　　)

A．－π rad    B．－π rad

C．－π rad    D．－π rad

(2)π＝____________(化为角度)

题型 2　用弧度制表示终边相同的角

例2　在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角．

(1)最大的负角；

(2)最小的正角；

(3)在区间[－720°，－360°)内的角．

方法归纳

用弧度制表示终边相同的角的2个关注点

巩固训练2　用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．

题型 3　弧长公式与扇形面积公式的应用

例3　(1)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．

(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．

(3)已知一扇形的周长为40 cm，求它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

方法归纳

扇形的弧长和面积的求解策略

巩固训练3　(1)已知扇形的圆心角为，面积为3π，则该扇形的弧长为(　　)

A．π    B．2π    C．3    D．6

(2)已知弧长为30 cm的弧所对的圆心角为150°，则这段弧所在圆的半径为________cm.

5.1.2　弧度制

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1．度　　弧度　半径长

2．(1)正数　(2)负数　(3)0

3．2π rad　360°　π rad　180°　

要点二

αR　lR　αR2

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．解析：∵1°＝，

∴60°＝60×＝.

答案：A

3．解析：＝×180°＝210°.

答案：C

4．解析：l＝αR＝2×2＝4.

答案：4

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)20°＝20×＝；

(2)－15°＝－15×＝－；

(3)－＝－＝－396°.

巩固训练1　解析：(1)－660°＝－660× rad＝－π rad.

故选C.

(2)因为1 rad＝°，所以π＝π×°＝×180°＝105°.

答案：(1)C　(2)105°

例2　解析：(1)∵495°＝，∴与495°角终边相同的角为2kπ＋π，k∈Z.

由－2π<2kπ＋<0且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－；

(2)由0<2kπ＋<2π且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角为；

(3)由－4π≤2kπ＋<－2π且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－.

巩固训练2　解析：对于题图①，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.

对于题图②，同理可得，所求集合为

＝.

例3　解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为r cm，

依题意有

将①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r＝1或r＝4.

当r＝1时，l＝8，此时θ＝8 rad>2π rad，舍去；

当r＝4时，l＝2，此时θ＝＝(rad)．∴θ＝ rad.

(2)设扇形的圆心角为α，弧长为l cm，半径为R cm，面积为S cm2.

∵72°＝72×＝(rad)，∴l＝αR＝×20＝8π(cm)．

∴S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．

(3)设扇形的圆心角为θ，半径为r cm，弧长为l cm，面积为S cm2，

则l＋2r＝40，∴l＝40－2r，

∴S＝lr＝×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.

∴当r＝10时，扇形的面积最大．

这个最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad.

巩固训练3　解析：(1)设扇形的弧长为l，半径为r，根据已知的扇形的圆心角α＝，面积S＝3π，

由扇形的面积公式S＝αr2，得3π＝×r2，解得r＝3，

由弧长公式l＝αr＝×3＝2π.

(2)由弧长公式l＝αr，其中l为圆心角为α，半径为r的圆弧长，

因为圆心角为150°，即α＝，

30＝r，所以r＝cm.

答案：(1)B　(2)