高中5.4 三角函数的图象与性质学案及答案

第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

课程标准

(1)掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间．(2)掌握y＝sin x，y＝cos x最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点　正、余弦函数的单调性与最值

助 学 批 注

批注❶　从正、余弦曲线可以看出，正、余弦曲线分布在两条平行线y＝1和y＝－1之间，所以|sin x|≤1，即－1≤sin x≤1；所以|cos x|≤1，即－1≤cos x≤1.

批注❷　结合正、余弦曲线的上升、下降熟记单调区间．

基 础 自 测

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．(　　)

(2)存在实数x，使得sin x＝.(　　)

(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sin x有三个零点．(　　)

(4)余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].(　　)

2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　)

A．[0，π]    B．

C.    D．[π，2π]

3．函数y＝－2cos x的最小值为(　　)

A.1    B．－1

C.2    D．－2

4．比较大小：sin ________sin (填“＞”或“＜”)

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　利用单调性比较大小

例1　[2022·湖南永州高一期末]设a＝sin 1，b＝sin 2，c＝sin 3，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c    B．b＜a＜c

C．c＜b＜a    D．c＜a＜b

方法归纳

利用单调性比较三角函数值大小的步骤

巩固训练1　若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为(　　)

A．a＞b＞c    B．b＞c＞a

C．b＞a＞c    D．c＞b＞a

题型2　求单调区间

例2　(1)y＝cos (x－)在[0，π]上的单调递减区间为(　　)

A．    B．

C．    D．

(2)求函数y＝sin (－2x)的单调区间．

方法归纳

求与正、余弦函数有关的单调区间的策略

巩固训练2　函数y＝sin (2x＋)的单调递减区间为(　　)

A．(k∈Z)

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

题型 3　正、余弦函数的最值(或值域)

例3　已知函数f(x)＝sin (2x－)＋.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值；

(2)求f(x)在区间上的值域．

方法归纳

求与正、余弦函数有关的最值(或值域)的方法

巩固训练3　(1)函数f(x)＝sin (x＋)在上的最大值与最小值之和是(　　)

A．    B．－    C．1    D．－1

(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sinx(0≤x≤)，当x＝________时，f(x)取得最大值．

第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

(k∈Z)　(k∈Z)　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)　＋2kπ(k∈Z)　－＋2kπ(k∈Z)　2kπ(k∈Z)　2kπ＋π(k∈Z)

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：由正弦曲线知y＝sin x在上是增函数．

答案：C

3．解析：因为y＝cos x的最大值是1

所以函数y＝－2 cos x的最小值是－2.

答案：D

4．解析：0＜＜＜，由于函数y＝sin x在上为增函数，则sin ＜sin .

答案：<

题型探究·课堂解透

例1　解析：因为0＜π－3＜1＜π－2＜，函数y＝sin x在(0，)上单调递增，所以sin (π－3)＜sin 1＜sin (π－2)，即sin 3＜sin 1＜sin 2，所以c＜a＜b.

答案：D

巩固训练1　解析：由题意得sin 47°＝sin (90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在上单调递减，所以b＞a＞c.

答案：C

例2　解析：(1)由cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，可得2kπ≤x－≤π＋2kπ，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，

又∵x∈[0，π]，∴k＝0时，≤x≤π.

(2)∵y＝sin (－2x)＝－sin (2x－)，

∴由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)，

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以函数y＝sin (－2x)的单调增区间为(k∈Z)，

由2kπ－≤2x－＋2kπ，(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数y＝sin (－2x)的单调减区间为(k∈Z)．

答案：(1)D　(2)见解析

巩固训练2　解析：函数y＝sin (2x＋)，由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数y＝sin (2x＋)的单调递减区间为(k∈Z)．

答案：A

例3　解析：(1)∵函数f(x)＝sin (2x－)＋，

∴f(x)最小正周期T＝＝π，

∵sin (2x－)≤1，sin (2x－)＋，∴当sin (2x－)＝1时，f(x)max＝.

(2)当0≤x≤时，－≤2x－π，

∴当2x－＝时，即x＝时，f(x)max＝，

当2x－＝－时，即x＝0时，f(x)min＝0，

∴f(x)在区间上的值域为.

巩固训练3　解析：(1)∵－≤x≤，

∴－≤x＋，

∴－≤sin (x＋)≤1，

∴最大值与最小值之和为－＋1＝.

(2)令t＝sin x，则y＝1－t2＋t(0≤t≤1)，

对称轴为t＝，所以当t＝时，函数取得最大值，

即sin x＝，得x＝.

答案：(1)A　(2)