高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案，共6页。

课程标准
会用两点间距离公式推导出两角差的余弦公式；(2)掌握两角差的余弦公式及其应用．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点 两角差的余弦公式
助 学 批 注
批注❶ 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．
基 础 自 测
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cs (60°－30°)＝cs 60°－cs 30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cs (α－β)＝cs α－cs β都不成立. ( )
(3)对任意α，β∈R，cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β都成立．( )
(4)cs 30°cs 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )
2．cs 20°＝( )
A．cs 30°cs 10°－sin 30°sin 10°
B．cs 30°cs 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cs 10°－sin 10°cs 30°
D．cs 30°cs 10°－sin 30°cs 10°
3．已知sin θ＝35，cs θ＝45，则cs (θ－π4)＝( )
A．210 B．7210 C．25 D．725
4．已知cs αcs β＝15，sin αsin β＝25，则cs (β－α)的值为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型 1 给角求值
例1 求下列各式的值：
(1)cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°；
(2)cs7°-sin15°sin8°cs8°.
方法归纳
利用两角差的余弦公式求值的2个策略
巩固训练1 (1)cs (－π12)的值是( )
A．6-22 B．6+22
C．6-24 D．6+24
(2)cs 15°cs 105°＋sin 15°sin 105°＝________．
题型 2 给值求值
例2 已知cs α＝13，cs (α－β)＝33且0＜β＜α＜π2，求cs β.
方法归纳
给值求值问题的解题策略
巩固训练2 已知α∈(0，π2)，cs (α＋π4)＝1010，则cs α的值为________．
题型 3 给值求角
例3 已知cs α＝17，cs (α＋β)＝－1114，且α，β∈(0，π2)，求β的值．
方法归纳
给值求角的解题步骤
巩固训练3 已知α，β均为锐角，且cs α＝255，cs β＝1010，求α－β的值．
第1课时 两角差的余弦公式
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．解析：cs 20°＝cs (30°－10°)＝cs 30°cs 10°＋sin 30°sin 10°.
答案：B
3．解析：∵sin θ＝35，cs θ＝45，
∴cs (θ－π4)＝cs θcs π4＋sin θsin π4＝22cs θ＋22sin θ＝22×45+22×35＝7210.
答案：B
4．解析：∵cs αcs β＝15，sin αsin β＝25，∴cs (β－α)＝cs αcs β＋sin αsin β＝35.
答案：35
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)cs 75°cs 15°－sin 75°sin 195°
＝cs 75°cs 15°＋sin 75°sin 15°
＝cs (75°－15°)＝cs 60°＝12.
(2)原式＝cs15°-8°-sin15°sin8°cs8°
＝cs15°cs8°+sin15°sin8°-sin15°sin8°cs8°
＝cs15°cs8°cs8°＝cs 15°＝cs (60°－45°)＝6+24.
巩固训练1 解析：(1)cs (－π12)＝cs (π6-π4)＝cs π6cs π4＋sin π6sin π4＝32×22+12×22＝6+24.
(2)原式＝cs (15°－105°)＝cs (－90°)＝cs 90°＝0.
答案：(1)D (2)0
例2 解析：因为0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，因为cs α＝13，所以sin α＝1-cs2α＝223，
又cs(α－β)＝33，所以sin (α－β)＝1-cs2α-β＝63，
所以csβ＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs (α－β)＋sin αsin (α－β)＝13×33+223×63＝539.
巩固训练2 解析：因α∈(0，π2)，即π4＜α＋π4＜3π4，又cs (α＋π4)＝1010，则sin (α＋π4)＝1-cs2α+π4＝31010，
所以csα＝cs [(α＋π4)－π4]＝cs (α＋π4)cs π4＋sin (α＋π4)sin π4＝22(1010+31010)＝255.
答案：255
例3 解析：∵α，β∈(0，π2)且cs α＝17，cs (α＋β)＝－1114，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝1-cs2α＝437，
sin(α＋β)＝1-cs2α+β＝5314.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)cs α＋sin (α＋β)sin α
＝(－1114)×17+5314×437＝12.
又∵β∈(0，π2)，∴β＝π3.
巩固训练3 解析：∵α，β均为锐角，
∴sin α＝55，sin β＝31010，
∴cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝255×1010+55×31010＝22.
又sin α＜sin β，
∴0<α<β<π2，∴－π2＜α－β＜0，
故α－β＝－π4.
名称
简单符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)
cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β ❶
α，β为任意角