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高考数学一轮复习第3章3.1导数的概念意义及运算课件
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这是一份高考数学一轮复习第3章3.1导数的概念意义及运算课件，共34页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，fx0+Δx，yu·ux，y对u，u对x，常用结论，考点自诊，答案D等内容，欢迎下载使用。
1.函数的平均变化率
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
3.函数f(x)的导函数从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
4.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0;(2)若f(x)=xa(a∈Q,且a≠0),则f'(x)=axa-1;(3)若f(x)=sin x,则f'(x)=cs x;(4)若f(x)=cs x,则f'(x)=-sin x;(5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f'(x)=axln a;特别地,若f(x)=ex,则f'(x)=ex;
5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= ; (2)[f(x)·g(x)]'= ;
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )(2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0).( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.( )
2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为 ,那么速度为零的时刻是( )A.0 sB.1 s末C.2 s末D.1 s末和2 s末
3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1
答案 B 解析 对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
答案 2x+y-3=0
【例1】分别求下列函数的导数:(1)y=ex·cs x;
解题心得 函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;
考向1 过函数图象上一点求切线方程【例2】 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
解 (1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1,又f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
对点训练2已知函数f(x)=xln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0
答案 B 解析 f'(x)=ln x+1,x>0,设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象的切点为(x0,y0),
考向2 已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】 (1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是 .
答案 (1)(0,2) (2)ln 2
解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .
答案 (1,1)
考向3 已知切线方程(或斜率)求参数的值【例4】 若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.
解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f'(x)=1+ln x,点P(n,n)处的切线斜率为1+ln n=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m,解得m= .(2)f(x)=xln x+1.设切点为(u,v),则切线的斜率为f'(u)=1+ln u,即有切线的方程为y-uln u-1=(1+ln u)(x-u).代入点Q(1,t),即有t-uln u-1=(1+ln u)(1-u).即为t-2=ln u-u,在(0,+∞)上有两实数解,记g(u)=ln u-u,导数为g'(u)= -1.当u>1时,g(u)单调递减,当0
对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为 , .
1.函数的平均变化率
2.函数y=f(x)在x=x0处的导数
3.函数f(x)的导函数从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即
4.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c为常数),则f'(x)=0;(2)若f(x)=xa(a∈Q,且a≠0),则f'(x)=axa-1;(3)若f(x)=sin x,则f'(x)=cs x;(4)若f(x)=cs x,则f'(x)=-sin x;(5)若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f'(x)=axln a;特别地,若f(x)=ex,则f'(x)=ex;
5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= ; (2)[f(x)·g(x)]'= ;
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x= ,即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积.
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( )(2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0).( )(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.( )
2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为 ,那么速度为零的时刻是( )A.0 sB.1 s末C.2 s末D.1 s末和2 s末
3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1
答案 B 解析 对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
答案 2x+y-3=0
【例1】分别求下列函数的导数:(1)y=ex·cs x;
解题心得 函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;
考向1 过函数图象上一点求切线方程【例2】 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
解 (1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1,又f(2)=-2,∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.
解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.
对点训练2已知函数f(x)=xln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0
答案 B 解析 f'(x)=ln x+1,x>0,设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象的切点为(x0,y0),
考向2 已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】 (1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是 .
答案 (1)(0,2) (2)ln 2
解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为 .
答案 (1,1)
考向3 已知切线方程(或斜率)求参数的值【例4】 若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.
解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f'(x)=1+ln x,点P(n,n)处的切线斜率为1+ln n=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m,解得m= .(2)f(x)=xln x+1.设切点为(u,v),则切线的斜率为f'(u)=1+ln u,即有切线的方程为y-uln u-1=(1+ln u)(x-u).代入点Q(1,t),即有t-uln u-1=(1+ln u)(1-u).即为t-2=ln u-u,在(0,+∞)上有两实数解,记g(u)=ln u-u,导数为g'(u)= -1.当u>1时,g(u)单调递减,当0
对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为 , .
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