高考数学一轮复习第3章3.2第1课时利用导数研究函数的单调性课件

这是一份高考数学一轮复习第3章3.2第1课时利用导数研究函数的单调性课件，共55页。PPT课件主要包含了内容索引，必备知识预案自诊，知识梳理，单调递增，单调递减，常用结论，考点自诊，答案AC，答案D，关键能力学案突破等内容，欢迎下载使用。

案例探究4 在抽象函数中构造辅助函数
函数的单调性与导数的关系(1)已知函数f(x)在某个区间内可导,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间上　　　　　　 　　; ②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间上　　　　　　　　; ③如果f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.(2)可导函数f(x)在[a,b]上单调递增,则有f'(x)≥0在[a,b]上恒成立.(3)可导函数f(x)在[a,b]上单调递减,则有f'(x)≤0在[a,b]上恒成立.(4)若函数y=f(x)在区间(a,b)上具有单调性,则f'(x)在该区间上不变号.
可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在(a,b)上f'(x)≤0,且f'(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)上单调递减.(　　)(2)若函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上一定单调递减.(　　)(3)已知函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f'(x)>0恒成立.(　　)(4)在某区间上f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.(　　)(5)函数f(x)=sin x-2x在(0,π)上单调递减.(　　)
2.(多选)(2021年1月8省适应测试)已知函数f(x)=xln(1+x),则(　　)A.f(x)在区间(0,+∞)上单调递增B.f(x)有两个零点D.f(x)是偶函数
3.函数f(x)=ex-ex,x∈R的单调递增区间是(　　)A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,1)D.(1,+∞)
答案 D　解析 由题意知,f'(x)=ex-e,令f'(x)>0,解得x>1.故选D.
4.(2020天津河北区线上测试,6)已知函数f(x)=3x+2cs x,若a= ,b=f(2),c=f(lg27),则a,b,c的大小关系是(　　)A.a解析 由题意,得f'(x)=3-2sin x,所以f'(x)在R上恒为正,所以f(x)是R上的增函数.又因为2=lg24【例1】已知函数f(x)=ln x-2x2+3,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　. 
解题心得1.利用导数求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0.2.求f(x)的单调区间,需知f'(x)的正负,若f'(x)不含参数,但又不好判断正负,将f'(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g'(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的单调性及最值,进而得出f'(x)的正负.
(1)求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间.
【例2】 设a>0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.
(2)当a≠1时,g(x)是二次函数,首先讨论f'(x)=0是否有实数根,方程g(x)=0对应的Δ=4(a-1)(3a-1).
由f'(x)>0,可得0x2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增;
由f'(x)<0,可得x11时,有x1+x2>0且x1x2<0,此时x2<00,可得0x1,所以f(x)在(x1,+∞)上单调递减.
解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个:分类讨论点1:求导后,考虑f'(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;分类讨论点2:求导后,f'(x)=0有实数根,但不清楚f'(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;分类讨论点3:求导后,f'(x)=0有实数根,f'(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.
对点训练2(2020全国2,文21)已知函数f(x)=2ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求实数c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数
解 设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2ln x-2x+1-c,(1)当00;当x>1时,h'(x)<0.所以h(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.从而当x=1时,h(x)取得最大值,最大值为h(1)=-1-c.故当且仅当-1-c≤0,即c≥-1时,f(x)≤2x+c.所以c的取值范围为[-1,+∞).
考向1　比较大小或解不等式
(2)(2020河北保定二模,文12)设函数f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x),若f(x)+f'(x)>1,f(0)=2 020,则不等式exf(x)>ex+2 019的解集为(　　)A.(-∞,0) B.(-∞,0)∪(2 019,+∞) C.(2 019,+∞) D.(0,+∞)
答案 (1)B　(2)D　
(2)设g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)-1].∵f(x)+f'(x)>1,ex>0,∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)-1]>0,∴g(x)是R上的增函数.又g(0)=f(0)-1=2 019,∴g(x)>2 019的解集为(0,+∞),即不等式exf(x)>ex+2 019的解集为(0,+∞).故选D.
解题心得利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式的问题.
对点训练3(1)设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)>g'(x),则当ag(x)B.f(x)g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)(2)(2021年1月8省适应测试)已知a<5,且ae5=5ea,b<4,且be4=4eb,c<3,且ce3=3ec,则(　　)A.cf(x),则不等式ex-1f(x)答案 (1)C　(2)D　(3)(1,+∞)　解析(1)∵f'(x)>g'(x),∴[f(x)-g(x)]'>0.∴f(x)-g(x)在[a,b]上单调递增.∴f(a)-g(a)g(x)+f(a).∵f'(x)>f(x),∴F'(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.∴x<2x-1,即x>1,∴不等式ex-1f(x)考向2　已知函数单调性求参数取值范围【例4】 已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x.若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,则实数a的取值范围为　　　　. 
解题心得利用函数单调性求参数取值范围的两类热点问题的处理方法(1)函数f(x)在区间D上存在单调递增(减)区间.方法一:转化为“f'(x)>0(<0)在区间D上有解”;方法二:转化为“存在区间D的一个子区间使f'(x)>0(或f'(x)<0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上单调递增(减).方法一:转化为“f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”;方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.
答案 (1)C　(2)C　
变式发散1将例4中的“在[1,4]上单调递减”改为“存在单调递减区间”,其他不变.
答案 (-1,+∞)　
变式发散2例4中的已知条件不变,把后面的问题改为:讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的单调性.
案例探究(四) 在抽象函数中构造辅助函数
在抽象函数中如何构造辅助函数阅读下列四个在抽象函数中构造辅助函数,利用辅助函数解决问题的案例,思考如何构造辅助函数?你能不能从具体的实例中抽象出构造辅助函数的数学结论.
【例1】已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=0,当x<0时, f(x)+xf'(x) <0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)答案B解析构造函数F(x)=xf(x).当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0,F(x)单调递减.又因为f(-1)=0,所以F(-1)=0,所以当-10.因为f(x)为奇函数,所以F(x)=xf(x)为偶函数,所以当x>1时,F(x)>0,所以当x>1时,f(x)>0.综上可知,f(x)>0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选B.
【例2】已知函数f(x)满足:f(x)+2f'(x)>0,则下列不等式成立的是(　　)答案A
【例3】已知f(x)为定义在R上的可导函数,且f(x)ef(0)B.f(1)=ef(0)C.f(1)数学抽象的思维过程仔细观察和思考例1、例2的解法,它们有一个共同特点:采用导数的积运算法则,即[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).例3和例4的解法,它们也有一个共同点:采用导数的商运算法则,即 (g(x)≠0).由此可见,对于含有f(x)和f'(x)的不等式,将不等式的右边化为0,若左边是u(x)f(x)+v(x)f'(x)的形式,其中u(x)和v(x)为常见的变量或常量,则此时用导数的积运算法则;若左边是u(x)f(x)-v(x)f'(x)的形式,则此时用导数的商运算法则.
在例1中,f(x)+xf'(x)<0,根据导数的积运算法则(箭头指向方向为函数的导函数,后面不再说明),可以看出f(x)的导数为f'(x),x的导数为1,从而构造出函数F(x)=xf(x).
y=ex,但这里还要考虑系数1和2,进一步猜想到复合函数y= ,给上述不等式两边同乘 ,则从而构造出函数F(x)=2 f(x).
在例2中,f(x)+2f'(x)>0,根据导数的积运算法则可以看出f(x)的导数为f'(x),2的导数为1显然不成立,则不等式两边一定约去了一个不为0的变量,则猜想到
在例3中,由f(x)在例4中,由f(x)>f'(x)tan x,得f(x)cs x-f'(x)sin x>0,且sin x>0,根据导数的商运算法则可以看出f(x)的导数为f'(x),sin x的导数为cs x,从而构造出函数F(x)= .
数学抽象的结论根据题设条件,并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则,相应地构造函数如下.(1)对于不等式f'(x)>k(k≠0),构造函数g(x)=f(x)-kx+b.(2)对于不等式xf'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=xf(x).(6)对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数g(x)=exf(x).
(8)对于不等式f'(x)+kf(x)>0,构造函数g(x)=ekxf(x).(9)对于不等式f'(x)+2xf(x)>0,构造函数g(x)= f(x).(10)对于不等式f'(x)+ln af(x)>0(a>0),构造函数g(x)=axf(x).(11)对于不等式f(x)+f'(x)tan x>0,构造函数g(x)=f(x)sin x.(12)对于不等式f'(x)-f(x)tan x>0,构造函数g(x)=f(x)cs x.