江苏省百校联考2022-2023学年高三上学期第一次考试数学试题（含答案）

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江苏省百校联考高三年级第一次考试数学试卷09.02第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是（    ）A.  B.  C.  D. 4. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（    ）A. 38680千米 B. 39375千米 C. 41200千米 D. 42192千米5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）A. －4 B. 4 C. 5 D. 86. 在平面直角坐标系中，设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过点作，交准线于点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（    ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 7. 若将整个样本空间想象成一个的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示（    ）A. 事件发生的概率  B. 事件发生的概率C. 事件不发生条件下事件发生的概率 D. 事件，同时发生的概率8. 已知，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的有（    ）A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8B. 已知一组数据，，，…，的方差为2，则，，，…，的方差为2C. 具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则D. 若随机变量服从正态分布，，则10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（    ）A. 的图象关于点对称B. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称C. 在上的值域为D. 在上单调递增11. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ）A. 异面直线与所成角的余弦值为B. C. 四面体的外接球体积为D. 平面截正方体所得的截面是四边形12. 已知是数列的前项和，，则（    ）A. B. C. 当时，D. 当数列单调递增时，的取值范围是第Ⅱ卷（非选择题  共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 展开式中的系数为_________.14. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点逆时针旋转后，经过点，则_________.15. 已知函数，.若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是_________.16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平而的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形如图所示.若将图形被直线所截得的两条线段绕轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_________；若将图形绕轴旋转一周，则形成的旋转体的体积_________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.已知数列满足，_________.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.注：若选两个条件分别作答，则按第一个解答计分.18.（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.（1）若的周长为，求，的值；（2）若的面积为，求的值.19.（12分）近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人） 首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性2535男性525（1）根据表中数据.能否有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？（2）用样本估计总体，用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率，从2022年全国文科考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为，求的分布列、数学期望和方差.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.（12分）设为椭圆：的右焦点，过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点.（1）当时，求；（2）在轴上是否存在异于的定点，使为定值（其中，分别为直线，的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，求实数的取值范围. 江苏省百校联考高三年级第一次考试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题  共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】A【解析】，，选A.2.【答案】D【解析】位于第四象限，选D.3.【答案】C【解析】，是相互垂直的单位向量，由是与垂直的单位向量，选C.4.【答案】B【解析】设地球半径为，则，∴，选B.5.【答案】C【解析】的解集为，则，且，是方程的两根，，∴，，，∴，选C.6.【答案】A【解析】设准线与轴交于点，则，，∴，∴，∴，选A.7.【答案】B【解析】图中阴影既有发生的情况，又有不发生的情况，排除ACD，选B.8.【答案】D【解析】且，，∴最大构造，，∴，∴在上，∴，即，∴，选D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.【答案】BD【解析】5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，A错.，，…，方差为2，则，，…，方差为2，B正确.，则，C错，选BD.10.【答案】ABD【解析】相邻两对称轴间距离为，则，∴，∴，，，关于对称，A对.关于轴对称，B对.，则，则，，∴，C错误.，∴，的一个单调增区间为，而，∴在，D对.11.【答案】BC【解析】建系，，，，，A错.，，，∴，B正确；外接球半径，，∴，C正确；截面为五边形，D错误.12.【答案】ACD【解析】方法一：，①时，，②①－②，，A正确；时，，即；时，，∴，时，不满足条件，B错误；时，为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项；为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项，所以，C正确；是单调递增数列，∴，即，即；，即，即；，即，即，即，，即依次类推可知，D正确.方法二：，①当时，，②，∴时①－②，即，A正确；，∴，由于未知，B错误.，，∴，C正确；对于D，∵，分别递增，要使，只需，而，，，∴，D正确；选ACD.对于D，法三：由，，要使，则必有且，∴且，D正确，选ACD.第Ⅱ卷（非选择题  共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】26【解析】展开式第项，，，，，∴展开式中系数26.14.【答案】15.【答案】【解析】直线过定点，过四个象限与在正负半轴都有两个交点，过作的切线，切点设为，，，切线过，时，时，斜率为1.∴与轴交于，，∴.16.【答案】；【解析】如图所示，双曲线，，，，.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【解析】（1）选①，由及，可知，所以，当时，有.当时，，故.选②，由，得，所以为等差数列，由，，得该数列的公差，所以.（2），∴，∴.18.【解析】（1）因为，，所以①在中，由余弦定理得，即②由①②得③.由①③得.（2）由，得，由正弦定理，得，，所以，即.19.【解析】（1），∴有95%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关.（2）某个考生首选志愿为师范专业的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123∴，.或由的二项分布知，.20.【解析】（1）取中点，连接，，∵为的中点，∴，又∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，取中点，连接，∴，平面，∴，，∴，∴，，如图建系，∴，，，∴，，设平面的一个法向量，∴，平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，∴.21.【解析】解析一：（1）设直线的方程为，，，，，，∴，∴，或设，，∴，即.（2）假设存在符合题意，则易知当轴时，，此时，这个定值一定为－1.当时，，∴，∴存在符合题意.解析二：（1）设，.由，得，即，因为，在椭圆上，所以，解得，所以.（2）假设在轴上存在异于点的定点，使得为定值.设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得，由韦达定理，得，，所以.所以.要使为定值，则，解得或（舍去），此时.故在轴上存在异于的定点，使得为定值.22.【解析】解析一：（1）时，，，，切点，切线方程为.（2）法一：，，，∴，∴.法二：必要性探路（端点效应）由，，，，，若，即时，则存在，使得当时，，此时在上，∴，这与矛盾，舍去.若，即时，，在上∴，∴在上，∴符合题意，综上：.法三：由，得，.构造函数，，则恒成立.构造函数，，则，所以在上单调递增，得，即当时，恒成立，所以，为单调递增函数，所以，，故.法四：由题意得，，令，，则.①当时，，所以在上单调递增，得，即，所以在上单调递增，得.故当时，.②当时，在上单调递增.因为，当时，，，所以存在唯一，使得.当时，，即在上单调递减，又，所以，即，所以在上单调递减，又，所以当时，，不符合题意.故的取值范围为.