2023河南青桐鸣名校联盟高三上学期9月联考试题数学（理）含解析

2023届普通高等学校招生全国统一考试

9月联考

数学(理科)

全卷满分150分,考试时间120 分钟。

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合, 则

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数, 且, 则

A. 1     B. -1     C. 0     D. -2

3.若的边上两点满足, 则

A.      B.

C.        D.

4.已知函数 如图是给定的值, 求其对应的函数值的程序框图, 则

A. ①处填否,②处填是

B. ①处填是,②处填否

C. ①处填是,②处填是

D. ①处填否,②处填否

5. 若满足约束条件则的最小值为

A. 2     B. -2      C. -4     D. -6

6.已知甲、乙两班各 50 人, 下表为某次数学考试的成绩情况:

各分数段成绩视为均匀分布, 有以下结论:①甲班平均成绩低于乙班;②甲班成绩的中位数与乙班相同;③甲班成绩的方差比乙班成绩的方差小.其中正确的序号是

A.①     B.①③     C.②③    D.①②③

7. 已知等差数列满足, 则

A.     B.     C.     D.

8.下列四个选项中的函数, 其图象可能是下图的是

A.    B.    C.    D.

9. 已知抛物线上有三点的垂心在轴上,两点的纵坐标分别为 2,4 ,则点的纵坐标为

A. -2     B. -4     C. -6     D. -8

10. 在四棱锥中, 平面平面，，为的中点, 则下列选项中不正确的是

A. 平面       B. 平面

C. 平面平面      D. 点到平面的距离为 1

11. 已知四点, 四边形有内切圆, 则点的轨迹是

A. 圆的一部分    B. 椭圆的一部分    C. 双曲线的一部分  D.抛物线的一部分

12. 已知曲线与 的两条公切线所成角的正切值为, 则

A. 2     B.      C.      D.

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分。

13. 已知数列为等比数列, , 则_____.

14.从2名医生、4名护士中选取1名医生、2名护士支援一线抗疫, 护士甲恰被选中的概率为_____.

15. 已知函数, 则的解集为_____.

16. 已知球的半径为, 球面上有不共面的四个点, 且, 则四面体体积的最大值为_____.

三、解答题: 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (10 分)

已知数列满足为等差数列.

(1) 求的通项公式;

(2) 求满足不等式的最大正整数.

18. (12 分)

每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构调查参加体育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的人员中,常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中, 各抽取了100人, 通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位:小时), 并绘制出如下频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图,求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间(同一组的数据用该组区间的中点值代替);

(2)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”,请根据已知条件完成下列列联表,并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.

附: , 其中.

19. (12 分)

在平面四边形中,.

(1) 若, 求;

(2) 若的中点为, 求.

20 .(12 分)

在三棱柱中, 平面平面, 三角形是等边三角形, .

(1) 证明: 平面平面;

(2) 求二面角的正弦值.

21. (12 分)

已知椭圆的左焦点为,上、下顶点分别为,.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 若椭圆上有三点满足, 证明: 四边形的面积为定值.

22. (12 分)

已知函数.

(1) 当时, 证明:时,;

(2) 当时, 证明: 在上有 3 个零点.