2020-2021学年4 探索三角形相似的条件第2课时同步练习题

二十四　探索三角形相似的条件(第2课时)

　三边成比例判定两个三角形相似

1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)

A．一定相似      B．一定不相似

C．不一定相似      D．无法判断

2．(2020·玉林中考)一个三角形木架三边长分别是75 cm，100 cm，120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(B)

A．一种    B．两种    C．三种    D．四种

3. (2021·太原质检)如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(B)

4．如图，点O是△ABC内一点，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.

【证明】∵D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，

∴DE，EF，DF分别为△AOB，△BOC，△AOC的中位线，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，

∴＝＝＝，∴△DEF∽△ABC.

5．(2021·鄂州质检)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

(1)试证明△ABC是直角三角形；

(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点，并且与△ABC相似．

【解析】(1)根据勾股定理，得

AB＝2，AC＝，BC＝5，

∴AB2＋AC2＝BC2.

∴△ABC为直角三角形；

(2)△ABC和△DEF相似．理由：

根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.

∵＝＝＝，

∴△ABC∽△DEF；

(3)如图，△P2P4P5即为所求．

　黄金分割

6．(2021·襄阳质检)如果点P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，线段AB＝6，则较短线段PB为__9－3__．

7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为____．

8. (2021·朔州质检)如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．

【解析】∵四边形AEFD是正方形，

∴AE＝AD＝2，

∵矩形ABCD为黄金矩形，

∴AD＝AB，即2＝AB，

解得：AB＝＋1，

∴BE＝AB－AE＝＋1－2＝－1.

1．(2021·宁夏质检)如图，已知点C是线段AB的黄金分割点(其中AC＞BC)，则下列结论正确的是(A)

A．＝    B．＝

C．AB2＝AC2＋BC2    D．BC2＝AC·BA

2.如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点)，要使△DEF与△ABC相似(其中AB与DE是一组对应边)，则点F应是G，H，M，N四点中的(C)

A．H或N    B．G或H

C．M或N    D．G或M

3．已知点C为线段AB的黄金分割点且AB＝10，则AC≈__6.2或3.8__(精确到0.1).

4.如图，四边形ABCD为矩形，＝＝，则∠MAN的度数为__90__度．

5．(2021·德阳质检)同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，4阶黄金分割点”时，k4＝ ____．

6．(2021·黄石质检)已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝4，AC＝2，BD＝，求证：AD∥BC.

【证明】在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2，

∴BC＝＝2，

在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝，

∴AD＝＝，∴＝＝，

同理得＝，＝，

∴＝＝，

∴Rt△ABC∽Rt△DAB，

∴∠ABC＝∠DAB，

∴AD∥BC.

7. (2021·泸州质检)如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示以AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3∶S2的值．

【解析】如图，设AB＝1，

∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF＝，

∴BE＝FH＝AB－AE＝，

∴S3∶S2＝(GF·FH)∶(BC·BE)

＝∶＝.

8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝6，AB＝7，BC＝8，点P是AB上一个动点．

(1)当AP＝3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．

(2)求PD＋PC的最小值．

【解析】(1)相似．理由如下：∵∠ABC＝90°，AD∥BC，

∴∠BAD＝90°.∴∠A＝∠B＝90°.

∵AP＝3，AB＝7，∴PB＝4.

∴＝＝，＝＝.

∴＝.∴△DAP∽△CBP.

(2)如图所示，点D关于AB的对称点为D′，连接D′C交BA于点P，过点D′作D′E⊥BC，垂足为点E.

∵点D与点D′关于AB对称，∴PD＝D′P.

∴PD＋PC＝D′P＋PC＝D′C.

在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C＝＝＝7.

∴PD＋PC的最小值为7.

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