初中数学北师大版九年级上册6 利用相似三角形测高课时训练

这是一份初中数学北师大版九年级上册6 利用相似三角形测高课时训练，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
4.6利用相似三角形测高一、单选题1．小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起的手臂超出头顶（　　）A．0.5m B．0.55m C．0.6m D．2.2m【答案】A【解析】根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，设小刚举起的手臂超出头顶是xm，则有，解得：x=0.5．故选：A2．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（）A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米【答案】C【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【解析】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，∵同一时刻物高与影长成正比例，∴AE：ED=1：0.4，即AE：4.6=1：0.4，∴AE=11.5米，∴AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，∴树的高度是11.8米，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.3．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米【答案】A【解析】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此，∵，即，∴楼高=10米．故选A．4．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（　　）A．1.5米 B．2.3米 C．3.2米 D．7.8米【答案】C【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，据此进行求解即可.【解析】设树高为x米，由题意得，解得：x=3.2，故选C.【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．5．数学兴趣小组的小明想测量教学楼前的一棵树的高度．下午课外活动时他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m．但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图）．他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高（    ）m．A．3.04 B．4.45 C．4.75 D．3.8【答案】B【解析】试题解析：∵留在墙壁上的树影高为1.2m，
∴这段影子在地面上的长为：1.2×0.8=0.96m，
∴这棵树全落在地面上时的影子的长为：2.6+0.96=3.56m，
∴这棵树的高度为：3.56÷0.8=4.45m.
故选B．6．如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像的长是物AB长的（    ）A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．【答案】C【解析】由题意知，,=，所以选C.7．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（    ）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m【答案】D【解析】试题解析：作AN⊥EF于N，交BC于M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF==6m．
故选D．8．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（）A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米【答案】B【解析】【分析】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．【解析】由题意知，可得，∴，∵（米），米，∴，∴米，故选B.【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．9．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度(      )A．增大1.5米        B．减小1.5米     C．增大3.5米  D．减小3.5米【答案】D【解析】试题分析：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5；，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，故变短了3.5米．故选D．考点：中心投影．10．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶边缘的小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为，木棒上沾油部分的长为，桶高为，那么桶内油面的高度是（）A．32 cm B．30 cm C．50 cm D．48 cm【答案】D【解析】【分析】将实际图形抽象为直角三角形，并根据相似三角形的性质来解答．【解析】如图：AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴CD：CA=DE：AB，∴60：100=DE：80，∴DE=48cm，故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意正确画出图形并熟练应用相似三角形的判定与性质是解题的关键.  二、填空题11．如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______【答案】8m【分析】由题意证△ABO∽△CDO，可得，即，解之可得．【解析】如图，

由题意知∠BAO=∠C=90°，
∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
∴，即，
解得：CD=8，
故答案为：8m．【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．【答案】100【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【解析】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，即，解得：AB= =100（米）．故答案为100．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．13．在同一时刻太阳光下，身高的小华在地面上形成的影长是米，此时测得一棵大树在地面上的影长是米，则大树的实际高度是________．【答案】米【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解析】设树高为x米，因为人的高度：人的影长=树的高度：树的影长，所以1.6：0.8=x：4.8，所以x=4.8×2=9.6，故答案为：9.6米．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似的三角形，根据对应边成比例列出方程是解题的关键.14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m【答案】4【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【解析】如图：过点C作CD⊥EF，由题意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=;即DC2=EDFD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚距离墙脚，梯上点距墙，长，则梯子的长为________．【答案】3.5【解析】【分析】根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．【解析】因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，即△ABC∽△ADE，则，设梯子长为x米，则，解得，x=3.5，故答案为：3.5．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．16．我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.【答案】20【解析】【分析】由题意知△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对边的比与对应高的比相等列式求解即可.【解析】解：∵40cm=0.4m，8cm=0.08m∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．∴△ABC∽△ADE，∴BC：DE=AG：AF，∴0.08：DE=0.4：100，∴DE=20m．故答案为：20．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求解即可．此题是实际应用题，解题时首先要理解题意，将实际问题转化为三角形相似问题求解；相似三角形的对应边成比例．17．为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，E、C、A三点共线，则旗杆AB的高度为________ 米．【答案】13.5．【解析】试题分析：利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出=，把相关条件代入即可求得AH=11.9m，得出AB的长即可．解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴=即：=，∴=，解得：AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）．故答案为13.5．考点：相似三角形的应用．18．小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是，幻灯片到屏幕的距离是，幻灯片上小树的高度是，则屏幕上小树的高度是________．【答案】【解析】设小树的高度为xcm，1.5m=150cm，根据题意得,，解得x=60故答案为60.19．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的P点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．【答案】22.5【解析】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示设河宽为x米．∵AB∥CD，∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，∴△PDC∽△PBA，∴，∴，依题意CD=20米，AB=50米，∴，解得：x=22.5（米）．答：河的宽度为22.5米．20．△ABC中，∠A=90°，AB=AC  ， BC=63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是从下往上数第________张．【答案】10【解析】由题意知，,,,,正方形是第10张. 三、解答题21．如图，雨后初晴，小明在运动场上玩，当他在E点时发现前面2米处有一处积水C，从积水中看到旗杆顶端的倒影，若旗杆底部B距积水处40米，此时眼睛距地面1.5米.求旗杆的高度.【答案】旗杆的高度为30米【分析】根据题意，可得直角△ABE与直角△CDE，根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【解析】∵，，∴，又∵，∴，∴，即，∴米，∴旗杆的高度为30米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．22．某中学平整的操场上有一根旗杆（如图），一数学兴趣小组欲测量其高度，现在测量工具有皮尺、标杆，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案.（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量的数据.（长度用a，b，c…表示）【答案】（1）如图，见解析，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合；（2）旗杆的高度为cm.【解析】【分析】（1）根据题意画图即可；（2）根据，列出比例式，整理即可得到旗杆的高度.【解析】（1）如图，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合；（2）用皮尺测量旗杆的影长m，标杆CD的影长m，标杆高cm.∵，∴，即，∴cm，所以旗杆的高度为cm.【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．23．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度.【答案】2.3米【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长,再根据此影长列出比例式即可【解析】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，∴△ABC∽△QDN，.∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，=1.5（米），∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）.答：木杆PQ的长度为2.3米.【点睛】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握运算法则24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高．【答案】树高为 5.5 米【解析】【分析】根据两角相等的两个三角形相似，可得 △DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得，代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高.【解析】∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB ∴  ，∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，∴，∴CB＝4（m），∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）答：树高为 5.5 米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．25．如图，光明中学九年级（2）班的同学用自己制作的侧倾器测量该校旗杆的高度，已知测倾器CD的高度为1.54米，测点D到旗杆的水平距离BD=20米，测得旗杆顶A的仰角α=35°，求旗杆AB的高度（精确到0.01米）.【答案】15.54米【解析】【分析】在Rt△ACE中，已知角的邻边求对边，可以用正切求AE，再加上BE即可．【解析】解：在Rt△ACE中，∠ACE=α=35°，CE=BD=20，
∴tan∠ACE=，
∴AE=CE•tan∠ACE=20•tan35°，
∴AB=AE+BE= 14.004+1.54≈15.54（米）．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26．如图，小山上有一座铁塔AB，在山脚D处测得点A的仰角为60°，测得点B的仰角为45°，在E处测得点A的仰角为30°（C、D、E在同一条直线上），并测得DE = 90 m，求小山BC和铁塔AB的高（精确到0.1 m）.【答案】小山BC高45 m，铁塔AB高约32.9米【解析】【分析】在△ADE中根据三角形的外角性质，可证得∠E、∠DAE都是30°，由此可得出AD、DE的长；在Rt△ACD中，根据仰角∠ADC的度数及斜边AD的长，即可求出AC、CD的值，同理可在Rt△BCD中求出BC的长，由此得解．【解析】解：在△ADE中，∠E=30°，∠ADC=60°，
∴∠E=∠DAE=30°，
∴AD=DE=90米；
在Rt△ACD中，∠DAC=30°，则CD=AD=45米，AC=AD•sin∠ADC=AD•sin60°=45米；
在Rt△BCD中，∠BDC=45°，则△BCD是等腰直角三角形．
∴BC=CD=45米，
∴AB=AC-BC=45-45≈32.9米；
答：小山高BC为45米，铁塔高AB约为32.9米．【点睛】本题主要考查仰角的定义，能够根据题意将实际问题转化为解直角三角形问题是解决此类题的关键．27．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．如图，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为________．不改变图中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？有个边长为的正方形按图摆放，测得横向影子，的长度和为，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含，，的代数式表示）【答案】（1）180cm；（2）；（3）．【分析】（1）设灯泡的位置为点P，易得△PAD∽△PA′D′，设出所求的未知数，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；（2）同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和；（3）按照相应的三角形相似，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，用字母表示出其他线段，即可得到灯泡离地面的距离．【解析】设灯泡离地面的高度为，∵，∴，．∴．根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，∴，解得，故答案为180cm；设横向影子，的长度和为，同理可得∴，解得；记灯泡为点，如图：∵，∴，，∴，根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，设灯泡离地面距离为，由题意，得，，，，∴，，．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，涉及相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比这个性质是解题的关键.