初中数学北师大版九年级上册1 成比例线段第2课时课后测评

这是一份初中数学北师大版九年级上册1 成比例线段第2课时课后测评，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

4.1成比例线段（第2课时）

一、单选题
1．已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝2，则PB＝（　　）
A． B． C．3﹣ D．﹣1
【答案】C
【解析】
根据黄金分割点的定义，根据AP＞BP情况，AP＝AB叫做黄金比进行计算，代入数据即可得出PB的长．
解：当AP＞BP时，
AP＝×2＝﹣1，
PB＝2﹣（）＝3﹣，
故选：C．
【点睛】
本题考查了黄金分割的知识点，熟记较长的线段=原线段的倍是解题的关键．
2．线段MN长为1cm，点P是MN的黄金分割点，则MP的长是( )
A． B．
C．或 D．不能确定
【答案】C
【分析】
根据黄金分割点的概念，结合题目要求，列出方程求解即可．
【解析】
解：设MP＝x，则PN＝1﹣x，根据题意得，
解得，x＝＞1（不合题意，舍去），
又因为题中没强调MP是长的一段还是短的一段，所以MP的长也可以为1﹣＝．
故选C．
【点睛】
本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割点的概念.
3．下列说法正确的是（　　）
A．每一条线段有且只有一个黄金分割点
B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍
C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项
D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.618
【答案】D
【分析】
根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.
【解析】
解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；
B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；
C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；
D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；
故选D．
【点睛】
此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键．
4．已知P是线段的黄金分割点，且，那么下列比例式成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项．
【解析】
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
5．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（）

A．1.12米 B．1.24米 C．1.42米 D．1.62米
【答案】B
【分析】
根据黄金分割的定义即可列出，即可选择．
【解析】
根据题意可知，且，
∴米．
故选B．
【点睛】
本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
6．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.
【解析】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．
7．如图，是线段的黄金分割点，四边形、四边形都是正方形，且面积分别为、，四边形、四边形都是矩形，且面积分别为、，下列说法正确的是（）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设AB=1，根据黄金分割的定义可得：PA=，PB=，结合正方形、矩形的性质分别求得S1、S 2、S 3、S4的值，比较即可解答.
【解析】
设AB=1，根据黄金分割的定义可得：PA=，PB=，
∴S1 =1 ，S 2 =（）2=，S 3 =1×=，S4 =×=.
由此可得，选项A、C、D错误；，选项B正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了线段的黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形、矩形的面积进行分析计算即可解答．
8．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）

A．（40﹣40）cm B．（80﹣40）cm
C．（120﹣40）cm D．（80﹣160）cm
【答案】D
【分析】
根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案．
【解析】
解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝804040，
∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，
故选：D．
【点睛】
此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
9．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB．BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．
其中正确的判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据成比例的线段、黄金分割的定义，结合各项进行判断即可．
【解析】
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有，说法正确；
②如果点C是线段AB的中点，≠，故AC不是AB．BC的比例中项，说法错误；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项，说法正确；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=×2=-1，说法正确；
综上可得：①③④正确，共3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了成比例的线段，以及黄金分割的知识，解答本题的关键是掌握黄金分割的定义，注意黄金分割分得的较长边的长=×原线段长度．
10．如图，线段，点是线段的黄金分割点(且)，点是线段的黄金分割点（），点是线段的黄金分割点依此类推，则线段的长度是（）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比进行解答即可．
【解析】
解：根据黄金比的比值，，
则，
…
依此类推，则线段，
故选C．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．


二、填空题
11．已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段＝ ___；＝______．
【答案】cm cm
【分析】
根据黄金分割的概念得到较长线段PA=AB，则PB=AB-PA=AB，然后把AB=2cm代入计算即可．
【解析】
解：∵P是AB的黄金分割点，
∴较长线段PA=AB，
∴PB=AB-PA=AB，
而AB=2cm，
∴PA=cm，PB=cm．
故答案为：cm；cm．
【点睛】
本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
12．点是线段上的一点，如果，那么的值是________．
【答案】
【分析】
设AB=1，AP=x，则BP=1-x，代入AP2=BP·AB求出x的值，最后代入即可．
【解析】
解：设AB=1，AP=x，则BP=1-x，
∵AP2=BP·AB
∴x2=（1-x）·1，即x2+x-1=0，解得x=或x=（舍）
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答本题的关键．
13．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，头顶至咽喉的长度为27cm，则其身高大约是_____cm．（结果保留整数）

【答案】185．
【分析】
根据黄金分割的概念、黄金比值为0.618分别求出咽喉至肚脐的长度，肚脐至足底的长度，计算即可．
【解析】
解：设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，
由题意得，≈0.618，
解得，x≈43.7，
∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，
∴≈0.618，
解得，y≈114.4，
其身高＝114.4+70.7≈185（cm），
故答案为：185．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值约为0.618是解题的关键．
14．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形内，点E是的黄金分割点，，若，则长为_________．

【答案】
【分析】
直接根据黄金分割的定义求解．
【解析】
∵点E是的黄金分割点，，且，
∴BE==,
故答案为：．

【点睛】
本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的数量关系式是解题的关键．
15．如果点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，若线段长为，那么线段的长为__________．
【答案】
【分析】
因为AB与 PB差4，要求AB，设AB=x，PB也就表示出来了，由AP是AB与PB的比例中项，构造方程，求出即可．
【解析】
设AB长为x，则PB=x-4，
∵AP是AB与PB的比例中项，
∴42=x(x-4)，
∴x2-4x=16，
∴(x-2)2=20，
x-2=2,舍去，
x=2+2．
故答案为：2+2．
【点睛】
本题考查比例中项中的原长问题，会根据原长与短线段差定值，构造方程，掌握方程的解法，能根据线段非负取舍．
16．如图，线段AB长为10，C，D是线段AB的黄金分割点，则CD的长度为______．

【答案】
【分析】
根据黄金分割点的定义可求出AD、BC的长，根据线段的和差关系即可求出CD的长．
【解析】
∵线段AB长为10，C，D是线段AB的黄金分割点，
∴，，
∴AD=BC=AB=5（），
∴CD=2AD-AB=10（）-10=，
故答案为：
【点睛】
此题主要是考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
17．如图，对于一条给定的线段，找出它的黄金分割点的作法如下：
（1）过点作，并在垂线上取；
（2）连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点；
（3）以点为圆心，长为半径画弧交于点．则点为线段的黄金分割点，的长为____．

【答案】
【分析】
设，根据题意表示出BD、DE，根据勾股定理求出AD、，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可．
【解析】
解：，则，
由勾股定理得，，
则，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
18．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，已知黄金比为，且AB＝2，则图中五边形CDEFG的周长为________．

【答案】
【分析】
根据点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根据CD=BD-BC求出CD的长度，然后乘以5即可求解．
【解析】
∵点C，D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，
∴AC=BD=AB=，BC=AB，
∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，
∴五边形CDEFG的周长=5（2﹣4）=10﹣20．
故答案为：10﹣20．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
19．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是_____．

【答案】﹣2
【分析】
过A作AH⊥BC于H，先由黄金分割点的定义得BE=CD=BC，然后表示出BD、DE的长，再由三角形面积公式求解即可．
【解析】
解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割”点，
∴BE＝CD＝BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣BC＝BC，
∴DE＝BE﹣BD＝BC﹣BC＝(﹣2)AB，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．

【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
20．如图，线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，则线段AP1的长度为_____；线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，依次以此类推，APn的长度为_____．

【答案】（）n
【分析】
根据图形的变化寻找规律，利用黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB．即可得结论．
【解析】
∵线段AB的长为1，线段AB上取点P1满足关系式AP12＝BP1•AB，
则线段AP1的长度为：；
线段AP1上取点P2满足关系式AP22＝P1P2•AP1，
则线段AP2的长度为：（）2；
线段AP2上的点P3满足关系式AP32＝P2P3•AP2，
则线段AP3的长度为：（）3；
依次以此类推，
APn的长度为：（）n．
故答案为：；（）n．
【点睛】
本题考查了黄金分割、规律型-图形的变化类，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
三、解答题
21．已知线段AB=10cm，点C是AB上的黄金分割点，求AC的长是多少厘米？
【答案】（）cm或（15−）cm
【分析】
根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段；则AC＝或AC＝10−（）＝15−．
【解析】
解：根据黄金分割点的概念，应有两种情况，
当AC是较长线段时，AC＝；
当AC是较短线段时，则AC＝10−（）＝15−．
故答案为：（）cm或（15−）cm．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．
22．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求MA,DM的长;
(2)求证:AM2=AD·DM.
(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?
【答案】(1) -1,3-; (2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理求得PD的长，然后根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM，求解即可；
（2）由（1）的计算数据，根据比例中项的性质进行证明；
（3）根据（2）的结论得，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点.
试题解析：(1)解:如图,∵P为边AB的中点,

∴AP=AB=1,∴DP===.∴PF=PD=.∴FA=PF-AP=-1.∴AM=FA=-1,DM=AD-MA=3-.
(2)证明:∵AM2=(-1)2=6-2,AD·DM=2(3-)=6-2,∴AM2=AD·DM.
(3)解:图中的点M为线段AD的黄金分割点.
23．一般地，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比．请计算黄金比．

【答案】
【分析】
设AB=1，AC=x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
【解析】
解：设，，则，
由，得，
则，
整理得；，
解得：，（不合题意，舍去）．
故黄金比为：．
【点睛】
本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，注意方程思想的正确运用．
24．某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部 (肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到)米． (，结果精确到)．

【答案】
【分析】
设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可．
【解析】
解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．
依题意，得
解得（不合题意，舍去）．
经检验，是原方程的根．
雕像下部设计的高度应该为：1.236m
故答案为：1.236m
【点睛】
本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
25．如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．

【答案】原矩形ABCD是黄金矩形．理由见解析
【分析】
根据黄金分割设出矩形BCFE的长和宽，然后表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
【解析】
解：原矩形ABCD是为黄金矩形．
理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，
∵四边形BCFE为黄金矩形，
∴宽FC为x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AB=x+x=x，
则= ，
∴原矩形ABCD是为黄金矩形．
【点睛】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比．
26．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为　　（填一个实数）：
（2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E．
求证：点E是线段AB的黄金分割点．

【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（2）设BC=a，根据题意用a表示出AB、AC，结合图形、根据黄金分割的定义判断即可．
【解析】
解：（1）设AB长为1，P为线段AB上符合题意的一点，AP=x，则BP=1﹣x，
根据题意得，，
解得，（舍去），
故，
故答案为：；
（2）设BC=a，则AB=2a，
则AC=a，
由题意得，CD=BC=a，
∴AE=AD=a﹣a，
BE=AB﹣AE=3a﹣a，
∴=，=，
∴=，即点E是线段AB的黄金分割点．
【点评】
本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割是解题的关键．
27．如图，点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，表示为边长的正方形面积，表示以为长，为宽的矩形面积，表示正方形除去和剩余的面积，求：的值．

【答案】．
【分析】
根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段AC和（＞），且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，由定义可得：设求解，从而可得答案．
【解析】
解：如图，设，

点是正方形的边边上的黄金分割点，且＞，



＞
，
正方形,正方形


，
：：
：
．
【点睛】
本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，一元二次方程的解法，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
28．阅读理解：
如图①，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，从而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图②，在△ABC中，已知D是AB的黄金分割点．
(1)研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

【答案】(1)对．理由见解析；（2）三角形的中线不是该三角形的黄金分割线．（3）直线EF也是△ABC的黄金分割线．
【分析】
（1）根据黄金分割的定义得，再根据三角形面积公式得到，，所以，然后根据黄金直线的定义得直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）根据三角形中线的性质和三角形面积公式得到，而＜1，由此可根据黄金直线的定义判断三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）根据两平行线之间的距离定值，得到S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，则S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，然后由得到，则可根据黄金直线的定义判断直线EF也是△ABC的黄金分割线．
【解析】
解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵点D是AB的黄金分割点，
∴，
∵，，
∴，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD=BD，
∴，，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）∵DF∥CE，
∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC，
∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC，
∵，
∴，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
29．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：
“如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，＝叫做黄金比.”根据定义不难发现，在线段AB另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，满足＝，所以点D也是线段AB的黄金分割点．
材料二：对于实数：a1＜a2＜a3＜a4，如果满足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称a3为a1，a4的黄金数，a2为a1，a4的白银数．
请根据以上材料，回答下列问题
（1）如图，若AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，则AC＝　　　　　　，CD＝　　　　　　．
（2）实数0＜a＜b＜1，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求b﹣a的值．
（3）实数k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值．
【答案】（1）2﹣2，4﹣8；（2）b﹣a＝﹣2；（3）的值是或
【分析】
（1）根据黄金分割的定义分别计算AC和BD的长，可得CD的长；
（2）根据黄金数和白银数的定义分别列式，得关于a和b的一元二次方程，解出代入b﹣a可得结论；
（3）对于t＝2|2k|分两种情况讨论：对于m，n分别为k，t的黄金数和白银数，根据定义列两个等式，将t＝2k和t＝﹣2k代入分别解方程可得结论．
【解析】
解：（1）∵AB＝4，点C和点D是线段AB的黄金分割点，
∴AC＝BD＝AB＝×4＝2﹣2，
∴DC＝AC+BD﹣AB＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8；
故答案为：2﹣2，4﹣8；
（2）∵b为0，1的黄金数，且实数0＜b＜1，
∴（b﹣0）2＝（1﹣b）（1﹣0），
b2+b﹣1＝0，
b1＝＜0（舍），b2＝＞0，
∵a为0，1的白银数，且实数0＜a＜1，
∴（1﹣a）2＝（a﹣0）（1﹣0），
a2﹣3a+1＝0，
a1＝＞1（舍），a2＝＜1，
∴b﹣a＝﹣＝﹣2；
（3）∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数k＜n＜m＜t，
∴
分两种情况：
i）当k≥0时，t＝2k，
由①得：（m﹣k）2＝（2k﹣m）（2k﹣k），
m2﹣km﹣k2＝0，
m＝k；
由②得：（2k﹣n）2＝（n﹣k）（2k﹣k），
n2﹣5kn+5k2＝0，
n＝k，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＝k，n＝k
∴＝＝＝；
ii）当k＜0时，t＝﹣2k，
由①得：（m﹣k）2＝（﹣2k﹣m）（﹣2k﹣k），
m2﹣5km﹣5k2＝0，
m＝k；
由②得：（﹣2k﹣n）2＝（n﹣k）（﹣2k﹣k），
n2+7kn+k2＝0，
n＝k＞0，
∵k＜n＜m＜t，
∴m＞0，
∴m＝k，n＝k，
∴ ＝＝＝；
综上，的值是或．
【点睛】
本题考查了新定义的理解和掌握：黄金分割、黄金数，白银数，分类讨论的思想；把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB，并且线段AB的黄金分割点有两个，第三问与方程相结合解决问题．