初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第1课时习题

4　探索三角形相似的条件

第1课时

1.相似三角形的定义:三角分别　相等　,三边　成比例　的两个三角形相似. 

2.相似三角形的判定方法

定理一:　两　角分别　相等　的两个三角形相似. 

定理二:两边　成比例　且　夹角　相等的两个三角形相似. 

1.判断三角形相似时,经常利用图形中隐藏的条件公共角、对顶角得到一组角.

2.条件中易得一组角相等时,其他是边的条件,经常利用第二个定理判断三角形相似.

1.(2021·青海玉树期中)下列说法中正确的是 (C)

A.两个直角三角形相似   B.两个等腰三角形相似

C.两个等边三角形相似   D.两个锐角三角形相似

2.(2021·新疆乌鲁木齐模拟)如图,△ACD和△ABC相似需具备的条件是 (C)

A.=   B.=   C.AC2=AD·AB   D.CD2=AD·BD

3.(2021·宁夏银川质检)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在AC,AB上,且=,AE=BE,则有              (D)

A.△AED∽△ABC B.△ADB∽△BED C.△BCD∽△ABC D.△AED∽△CBD

4.如图,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中相似的三角形　△AFD∽△EFC,△AFD∽△EAB,△EFC∽

△EAB　. 

5.(2021·甘肃酒泉模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为　5　. 

6.(2021·甘肃兰州期中)如图,点C是线段AB上一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,连接AE,BD,设AE交CD于点F.

(1)求证:△ACE≌△DCB;

(2)求证:△ADF∽△BAD.

【证明】(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,

∴AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,

∴∠ACE=∠DCB=120°.∴△ACE≌△DCB(SAS);

(2)∵△ACE≌△DCB,∴∠CAE=∠CDB.

∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°,∴DC∥BE,

∴∠CDB=∠DBE,∴∠CAE=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∴△ADF∽△BAD.

1.(2021·甘肃白银期末)如图小明在作业纸上画出①、②两组三角形,每组各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,对于图①、②中的两个三角形而言,下列说法正确的是              (A)

A.都相似  B.都不相似  C.只有①相似  D.只有②相似

2.(2021·内蒙古赤峰模拟)已知:如图在四边形ABCD中,∠B=∠ACD,AB=6,BC=4, AC=5,CD=7.5,则AD= 　. 

3.如图,已知直线y=-x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,在x轴上有一点C,使B,O,C三点构成的三角形与△AOB相似,则点C的坐标为　(-4,0)或(4,0)或(-1,0)或(1,0)　. 

4.(2021·甘肃天水期中)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.

(1)求证:△ADE∽△ABC;

(2)若AD=3,AB=5,求的值.

【解析】(1)∵AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFE=∠AGC=90°,

∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB,

∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC.

(2)由(1)可知:△ADE∽△ABC,∴==,∵∠AFE=∠AGC=90°,∠EAF=∠GAC,∴△EAF∽△CAG,∴=,∴=.

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