初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似同步达标检测题

这是一份初中数学北师大版九年级上册8 图形的位似同步达标检测题，共15页。试卷主要包含了位似图形都相似，两个等边三角形不一定是位似图形，位似图形一定有位似中心等内容，欢迎下载使用。

(打“√”或“×”)
1．位似图形都相似．( √ )
2．两个等边三角形不一定是位似图形．( × )
3．两个相似多边形的面积比为5∶9，则周长的比为5∶9.( × )
4．位似图形一定有位似中心．( √ )
5．如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形．( √ )
6．位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．( × )
知识点1 位似及其性质与画法
1．(概念应用题)下列图形中不是位似图形的为( B )
【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A，C，D三个选项中的两个图形都是位似图形；
B选项中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．
2．(2021·重庆期中)如图，若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标为( A )
A．(1，－1) B．(1，1)
C．(2，0) D．(0，－1)
【解析】延长A′A，B′B交于点P，
则点P(1，－1)为位似中心．
3．(2021·深圳期中)如图，以点O为位似中心，画一个四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为 eq \f(3,2) ，则下列说法错误的是( D )
A.四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′
B．点C，O，C′三点在同一直线上
C． eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(2,3)
D．OB＝ eq \f(3,5) OB′
【解析】∵四边形A′B′C′D′与四边形ABCD位似，
∴四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，A选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A′B′C′D′与四边形ABCD位似，
∴点C，O，C′三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A′B′C′D′与四边形ABCD位似，相似比为 eq \f(3,2) ，∴ eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(2,3) ，C选项说法正确，不符合题意；
∵四边形A′B′C′D′与四边形ABCD位似，相似比为 eq \f(3,2) ，
∴AB∥A′B′，
∴ eq \f(OB,O′B′) ＝ eq \f(AB,A′B′) ＝ eq \f(2,3) ，
∴OB＝ eq \f(2,3) O′B′，D选项说法错误，符合题意．
4.(2021·葫芦岛质检)利用位似图形的方法把四边形ABCD放大2倍成四边形AB1C1D1.
【解析】如图：
四边形AB1C1D1即为所求作．
知识点2 平面直角坐标系中的位似变换
5．(2021·南阳期中)如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(4，4)，D(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为原来的一半后得到线段AB，则端点A的坐标为( A )
A．(2，2) B．(3，3) C．(3，1) D．(4，1)
【解析】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD缩小为原来的一半后得到线段AB，点C的坐标为(4，4)，
∴点A的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×\f(1,2)，4×\f(1,2))) ，即(2，2).
6．(2021·菏泽质检)已知，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A(4，6)，B(6，2)的对应点分别为A′(2，3)，B′(3，1)，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为( C )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，n)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(n,2)))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2))) D．(m，n)
【解析】∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A(4，6)，B(6，2)的对应点分别为A′(2，3)，B′(3，1)，
∴△A′B′O与△ABO的相似比为 eq \f(1,2) ，
∴当线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)，\f(n,2))) .
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DOE是位似图形．若A(0，3)，
B(－2，0)，C(1，0)，E(6，0)，△ABC与△DOE的位似中心是点M，则M点的坐标为__(－4，0)__．
【解析】过点D作DH⊥OE于点H，
由题意可得：BC＝3，OE＝6，△ABC∽△DOE，
则相似比为3∶6＝1∶2，
故OH＝2OB＝4，DH＝2OA＝6，
则D点的坐标为(4，6)，
由MO∶MH＝1∶2，
MH＝MO＋4，
故MO∶(MO＋4)＝1∶2，
解得：MO＝4，
则M点坐标为(－4，0).
8．(2021·泉州期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
(1)以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1∶2.
(2)以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，若点M(a，b)在线段AC上，请直接写出点M经过(1)的位似变换后的对应点M′的坐标．
【解析】(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)M′(－2a，－2b).
关键能力·综合练
1．(2021·眉山质检)按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的 eq \f(1,2) ，如图，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法错误的是( A )
A．点O为位似中心且相似比为1∶2
B．△ABC与△DEF是位似图形
C．△ABC与△DEF是相似图形
D．△ABC与△DEF的面积之比为4∶1
【解析】∵任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得
△DEF，
∴将△ABC的三边缩小到原来的 eq \f(1,2) ，此时点O为位似中心且△DEF与△ABC的相似比为1∶2，故选项A说法不正确，符合题意；
△ABC与△DEF是位似图形，故选项B说法正确，不合题意；
△ABC与△DEF是相似图形，故选项C说法正确，不合题意；
△ABC与△DEF的面积之比为4∶1，故选项D说法正确，不合题意．
2．(2021·重庆期中)如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与四边形DECB的面积之比为( C )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶8 D．1∶9
【解析】∵△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，∴△ADE∽△ABC，
∵AD∶AB＝1∶3，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∴S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8.
3．(2021·长春期中)如图．在平面直角坐标系中，点A，B，C，D的坐标分别为(－2，5)，(0，5)，(0，－1)，(4，－1).若线段AB和CD是位似图形，位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为( D )
A．(0，1) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3))) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))) D．(0，3)
【解析】连接AD交BC于点E，
则点E为位似中心，
∵点A，B，C，D的坐标分别为(－2，5)，(0，5)，(0，－1)，(4，－1)，
∴AB＝2，CD＝4，BC＝6，
∵线段AB和CD是位似图形，
∴AB∥CD，
∴ eq \f(BE,EC) ＝ eq \f(AB,CD) ，即 eq \f(BE,6－BE) ＝ eq \f(2,4) ，
解得BE＝2，
∴OE＝OB－BE＝3，
∴位似中心点E的坐标为(0，3).
4．如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，位似中心是点O，已知 eq \f(OF,OB) ＝ eq \f(2,5) ，则 eq \f(FG,BC) ＝__ eq \f(2,5) __．
【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，∴FG∥BC，∴△OFG∽△OBC，∴ eq \f(OF,OB) ＝ eq \f(FG,BC) ，
∵ eq \f(OF,OB) ＝ eq \f(2,5) ，∴ eq \f(FG,BC) ＝ eq \f(2,5) .
5．(2021·成都期中)在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标为( C )
A．(－4，8) B．(4，－8)
C．(－4，8)或(4，－8) D．(－1，2)或(1，－2)
【解析】∵△ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)，以原点为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，得到△CDO，
∴点A的对应点C的坐标为(－4，8)或(4，－8).
6.如图，正六边形OABCDE与正六边形OA′B′C′D′E′是关于原点O的位似图形，相似比为2∶1，且点A′，E′分别在OA，OE上，点C，C′在x轴正半轴上．已知AB＝4，则点C′的坐标为__(4，0)__．
【解析】∵正六边形OABCDE的边AB＝4，∴OC＝8，
∴C(8，0)，∵正六边形OABCDE与正六边形OA′B′C′D′E′是关于原点O的位似图形，相似比为2∶1，
∴点C′的坐标为(4，0).
7．(2021·济南期中)如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC(顶点均在正方形网格的格点上)，已知点A的坐标为(－4，3).
(1)以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1位似，并且点A1的坐标为(8，－6).
(2)△ABC与△A1B1C1的相似比是________．
(3)△A1B1C1的面积是________．
【解析】(1)如图，△A1B1C1为所作．
(2)△ABC与△A1B1C1的相似比是1∶2.
(3)△A1B1C1的面积＝ eq \f(1,2) ×4×4＝8.
答案：(2)1∶2 (3)8
8．(素养提升题)如图，在△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P′Q′M′N′是正方形，点Q′，M′在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q.
(1)求证：四边形PQMN为正方形；
(2)若∠A＝90°，AC＝1.5 m，△ABC的面积＝1.5 m2.求PN的长．
【解析】(1)∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，
∴四边形PQMN为矩形，
∵四边形P′Q′M′N′是正方形，
∴PN∥P′N′，
∴ eq \f(P′N′,PN) ＝ eq \f(BN′,BN) ，
∵MN∥M′N′，
∴ eq \f(M′N′,MN) ＝ eq \f(BN′,BN) ，
∴ eq \f(M′N′,MN) ＝ eq \f(P′N′,PN) ，
而P′N′＝M′N′，
∴PN＝MN，
∴四边形PQMN为正方形．
(2)作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，
∵△ABC的面积＝1.5 m2，
∴ eq \f(1,2) AB·AC＝1.5，
∴AB＝2，
∴BC＝ eq \r(22＋1.52) ＝2.5，
∵ eq \f(1,2) BC·AD＝1.5，∴AD＝ eq \f(2×1.5,2.5) ＝ eq \f(6,5) ，
设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AE＝ eq \f(6,5) －x，
∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴ eq \f(AE,AD) ＝ eq \f(PN,BC) ，即 eq \f(6－5x,6) ＝ eq \f(x,2.5) ，解得x＝ eq \f(30,37) ，
即PN的长为 eq \f(30,37) m．
易错点 位似中的漏解．
【案例】(2021·长沙期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(4，1)，以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，则点A的对应点的坐标是( D )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1))
C．(8，16)或(－16，－8) D．(8，16)或(－8，－16)
【解析】∵点A(2，4)，B(4，1)，以原点O为位似中心，将△OAB扩大为原来的4倍，
∴点A的对应点的坐标是(8，16)或(－8，－16).
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