初中北师大版5 相似三角形判定定理的证明同步达标检测题

这是一份初中北师大版5 相似三角形判定定理的证明同步达标检测题，共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
*4.5相似三角形判定定理的证明 一、解答题1．已知：如图，△ABC∽△ADE， ∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．​【答案】∠ADE=95°【分析】由△ABC∽△ADE，∠C=40°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠AED的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠ADE的度数．【解析】∵△ABC∽△ADE， ∠C=40°，∴∠AED=∠C=40°．在△ADE中，∵∠AED+∠ADE+∠A=180°，∠A=45°即40°+∠ADE+45°=180°，∴∠ADE=95°．【点睛】此题考查了相似三角形的性质与三角形内角定理．题目比较简单，注意相似三角形的对应角相等．2．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．【解析】∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．3．如图，在中，，，，．（1）求证：∽；（2）求的长度．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）由平行线的性质得∠ADE＝∠B，，从而可得到∽；（2）由∽，可得，又知，，，可求AB=7，从而可得到EC的长度．【解析】（1）∵，∴，，∴∽；（2）∵∽，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理及性质定理.4．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且，求证：△ABC∽△DAC．【答案】证明见解析【分析】根据，可以得到，再根据CA是∠BCD的角平分线，可以得到，即可得证.【解析】解：∵，∴，∵CA是∠BCD的角平分线，∴，∴.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件.5．如图，在四边形中，，，．求证：∽．【答案】见解析.【分析】由平行线的性质得到∠ADB＝∠DBC，结合∠A＝∠BDC＝90°，从而可得到△ABD∽△DCB．【解析】∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∽．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.6．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．【答案】【解析】试题分析：根据题意，易证，根据相似三角形的判定与性质，列出比例式即可解得和的长．试题解析：设则即点睛：两组角对应相等，两三角形相似.7．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．【答案】证明见解析．【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．【解析】证明：∵AC2＝AD⋅AB，∴AC：AB＝AD：AC．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．【点睛】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键．8．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．【答案】见解析【分析】根据两角对应相等两三角形相似即可得出结论．【解析】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，∴△DEC∽△ADF．【点睛】本题考查矩形的性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．9．在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证：【答案】见解析【分析】过D作交于G，证明和相似，和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题．【解析】证明：过D作交于G，则和相似，∴，∵，∴，由可得和相似，∴即，∴【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键．10．已知，如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在CB、AC的延长线上，∠ADE=60°．求证：△ABD∽△DCE．【答案】见解析．【分析】两个三角形中如果两组角对应相等,那么这两个三角形互为相似三角形,从而可证明本题．【解析】证明:∵∠ABC=∠ACB=60°,∴∠ABD=∠ECD=120°,又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,∠ADB+∠EDC=60°∴∠DAB=∠EDC△ABD∽△DCE．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形．11．如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，（1）求证：；（2）若3AB=2AD，且DE=6，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据∠BAD=∠CAE，可证得∠DAE=∠BAC，然后用相似三角形判定方法直接判定即可；（2）利用∆ABC∽∆ADE，得到对应边成比例，然后计算即可．【解析】（1）∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE， ∴∠DAE=∠BAC， ∵∠B=∠D，∴在∆ABC和∆ADE中，∠DAE=∠BAC，∠B=∠D，∠E=∠C，∴ ∆ABC∽∆ADE；(2)由（1）知 ∆ABC∽∆ADE，且3AB=2AD，∴==，∵DE=6，∴．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，能够证明相似并用相似的性质计算边长是解题的关键．12．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△CBF；【答案】见解析【分析】根据矩形的性质可得∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°，由CF⊥CE可证∠BCF＝∠DCE，则可证△CDE∽△CBF．【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CBF＝∠BCD＝90°．∵CF⊥CE∴∠ECF＝90°．∴∠BCD－∠ECB＝∠ECF－∠ECB．即∠BCF＝∠DCE．∴△CDE∽△CBF．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键．13．如图，在中，点在边上，，求证：．【答案】见解析【分析】根据相似三角形的判定方法直接证明即可．【解析】证明：在与中，∵，，∴【点睛】本题考查了相似三角形的判定，题目比较基础，找到两组对应相等的角是解题的关键．14．如图，是的角平分线，延长至点使得．求证：．【答案】证明见解析．【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证．【解析】是的角平分线又．【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．15．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△BPD．【答案】见解析【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可．【解析】证明：∵PC＝PD＝CD，∴为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC，∴,∵∠A＝∠BPD，∴△APC∽△PBD．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．16．如图，已知．求证：．【答案】【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到；【解析】证明：，在中，， ,在中，在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明．17．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE．【答案】见解析【分析】先证明再证明再利用相似三角形与等边三角形的性质可得结论.【解析】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴，∴BD•CD＝AB•CE，即BD•CD＝AC•CE；【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握两个角分别对应相等的两个三角形相似是解题的关键.18．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先证△ABE∽△ACD，得出，再利用∠A是公共角，即可求证；（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，先证△BDE≌△BFE，得出DE=FE，∠BDE=∠BFE，再证EF=EC即可.解：（1）∵∠ABE =∠ACD，且∠A是公共角， ∴△ABE∽△ACD．∴，即，又∵∠A是公共角， ∴△AED∽△ABC．（2）在BC上截取BF=BD，连接EF，在△BDE与△BFE中，BD=BF,∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△BDE≌△BFE，∴DE=FE，∠BDE=∠BFE，∴∠ADE=∠EFC，∵△AED∽△ABC，∴∠ADE=∠ACB，∴∠EFC=∠ACB，∴EF=EC，∴DE=CE．19．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝∠BAC．（1）求证：CF•CA＝CB•CE；（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形性质，得到∠ADE＝∠E．结合已知找到∠BAC＝∠E．即可证明△ACB∽△ECF．从而得到结论．（2）先证明△ADF∽△CEF．利用对应边成比例，结合已知AC＝DE和（1）的结论，即可证明AB＝BC，从而得到结论．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC．∴∠ADE＝∠E．∵∠ADE＝∠BAC．∴∠BAC＝∠E．∵∠ACB＝∠ECF．∴△ACB∽△ECF．∴．∴CF•CA＝CB•CE（2）由（1）知∠ADE＝∠E．∵∠ADF＝∠CFE．∴△ADF∽△CEF．∴．∴．∵AC＝DE．∴EF＝CF．∵△ACB∽△ECF．∴AB＝BC∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质和菱形的判定等知识，关键在于熟悉各个知识点在本题中运用．20．如图，在中，的平分线交边于点，交的延长线于点，点在上，联结（1）求证：；（2）连结，如果，且，求的长．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，证明△GDF∽△DAF，对应边成比例即可得结论；（2）根据已知条件可得BA＝BE＝6，EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，得AG＝GE＝EF，结合，即可求出AF的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，AD∥BC，∵AE平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，∴AD＝DF，∵∠GDF＝∠F，∴△GDF∽△DAF，∴，∴；（2）解：∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAF，∴∠BEA＝∠BAE，∴是等腰三角形，∴BA＝BE＝6，∵BG⊥AE，∴AG=EG，∵∠BEA＝∠CEF，∴∠CEF＝∠F，∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，∴，即AG＝GE＝EF，∵△GDF∽△DAF，AD=FD，∴DG=FG，∴DG=，∵，∴AF2＝81，∴AF＝．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，涉及的知识较多，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．