高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算学案

第四章  指数函数、对数函数与幂函数

4．1　指数与指数函数

4．1.1　实数指数幂及其运算

【课程标准】

通过对有理数指数幂(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　n次方根及根式的概念

1．a的n次方根的定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__________，则x称为a的n次方根．

2．a的n次方根的表示

(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为________，a∈____________．

(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为________，其中________表示a的负的n次方根，a∈________．

3．根式：当有意义的时候，____________称为根式，这里n称为__________，a称为__________．

状元随笔　根式的概念中要求n>1，且n∈N*.

知识点二　根式的性质

(1)()n＝________(n∈R＋，且n>1)；

(2) ＝

状元随笔　()n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而中a∈R.

知识点三　分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质

1．分数指数幂的意义

2.无理数指数幂

无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．

3．实数指数幂的运算法则(a>0，b>0，r，s∈R)

(1)aras＝________．

(2)(ar)s＝________．

(3)(ab)r＝________．

基 础 自 测

1.＋π等于(　　)

A．4       B．2π－4

C．2π－4或4     D．4－2π

2．b4＝3(b>0)，则b等于(　　)

A．34    B．

C．43    D．35

3．(多选)下列各式错误的是(　　)

A．＝－3     B．＝a

C．()3＝－2     D．＝2

4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是(　　)

A．－＝(x≥0)

B．＝(x≤0)

C．＝(x>0)

D．＝－(x≠0)

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　利用根式的性质化简求值[经典例题]

例1　(1)下列各式正确的是(　　)

A．＝a       B．a0＝1

C. ＝－4      D. ＝－5

(2)计算下列各式：

①＝________．

②＝________．

③－－＝________．

状元随笔　首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．

方法归纳

根式化简或求值的策略

(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．

跟踪训练1　求下列各式的值：

(1) ；

(2) ；

(3) ；

(4) .

由根式被开方数正负讨论x≥y，x<y两种情况．

题型2　根式与分数指数幂的互化[经典例题]

例2　(1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________．

(2)化简：(a2·)÷(·)＝________(用分数指数幂表示).

(3)将下列根式与分数指数幂进行互化：

①a3·；

②(a>0，b>0).

利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．

方法归纳

根式与分数指数幂互化的方法及思路

(1)方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．

(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．

跟踪训练2　(1)化简的结果是(　　)

A．     B．x

C．1     D．x2

(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A．－＝(x>0)

B．＝(y<0)

C．＝ (x>0)

D．＝－(x≠0)

题型3　分数指数幂的运算与化简

例3　(1)化简下列各式：

①(－1.8)0＋()－2·－＋；

②；

(2)已知＋＝，求的值．

状元随笔　 (1)①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．

(2)将已知的式子反复利用完全平方公式，将x的指数升高，再代入求值．

方法归纳

利用指数幂的运算性质化简求值的方法

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

跟踪训练3　计算：

(1) (a>0，b>0)；

(2)已知＋＝3，求下列各式的值：

①a＋a－1；②a2＋a－2；③

第四章　指数函数、对数函数与幂函数

4．1　指数与指数函数

4．1.1　实数指数幂及其运算

新知初探·自主学习

知识点一

1．xn＝a

2．(1)　R　(2)±　－　[0，＋∞)

3.　根指数　被开方数

知识点二

(1)a　(2)a　|a|　

知识点三

1.　　0　无意义

2．确定的实数

3．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr

[基础自测]

1．解析： ＋π＝4－π＋π＝4.故选A.

答案：A

2．解析：因为b4＝3(b>0)，∴b＝＝.

答案：B

3．解析：由于＝3，＝|a|, ＝－2，故选项A、B、D错误．

答案：ABD

4．解析：A.－＝(x≥0)，故错误；

B．＝(x≤0)，故错误；

＝＝ (x>0)，故正确；

＝(x≠0)，故错误．

答案：C

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.

(2)① ＝－a.

② ＝＝π－3.

③ ＝ ＝＝.

【答案】　(1)D　(2)①－a　②π－3　③

跟踪训练1　解析：(1) ＝－2；

(2) ＝ ＝ ；

(3) ＝|3－π|＝π－3；

(4)＝|x－y|＝

例2　【解析】　＝＝.

(2)(a2·)÷(·)＝＝.

(3)①a3·＝＝.

② ＝＝.

【答案】　(1)　②

跟踪训练2　解析：(1)＝＝＝x0＝1.

(2)－＝－(x>0)；＝＝－(y<0)；

＝(x>0)；＝＝(x≠0)．

答案：(1)C　(2)C

例3　【解析】　(1)①原式＝＝1＋()2·()2－10＋27＝29－10＝19.

②＝

＝.

＝＝＝a－1＝.

(2)由已知可得：x＋x－1＝)2－2＝()2－2＝3.

x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝32－2＝7.

原式＝＝－.

跟踪训练3　解析：(1)原式＝＝2××8＝.

 (2)①将＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，

所以a＋a－1＝7.

②对(1)中的式子两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，

所以a2＋a－2＝47.

③＝

＝a＋a－1＋1＝8.