数学必修 第二册4.4 幂函数学案设计

4．4　幂函数

【课程标准】

通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　幂函数的概念

一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数．

状元随笔　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．

知识点二　幂函数的图象与性质

状元随笔　幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．

基 础 自 测

1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)

A．0　　　 B．1     C．2　　　  D．3

2．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝(　　)

A．8　　　  B．6     C．4　　　  D．2

3．设y1＝21.9，y2＝21.5，y3＝31.9，则(　　)

A．y3>y1>y2　    B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2　    D．y1>y2>y3

4．判断大小：0.20.2________0.30.2.

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　幂函数的概念[经典例题]

例1　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．

其中幂函数的个数为(　　)

依据幂函数的定义逐个判断．

A.1　　　　 B．2

C．3     D．4

(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)

依据幂函数的定义列方程求m.

A.1      B．－3

C．－1     D．3

(3)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝________．

先设f(x)＝xα，再将点(3，)代入求α.

方法归纳

(1)幂函数的判断方法

①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．

②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．

(2)求幂函数解析式的依据及常用方法

①依据．

若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．

②常用方法．

设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.

跟踪训练1　(1)给出下列函数：

①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有(　　)

利用幂函数定义判断．

A.1个     B．2个

C．3个     D．4个

(2)函数f(x)＝(m2－m－1)·是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．

由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．

题型2　幂函数的图象及应用[经典例题]

例2　幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．

依据α<0 , 0<α<1和α>1的幂函数图象的特征判断．

方法归纳

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．

(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断．

跟踪训练2　(1)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第__________象限；

要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点．

(2)如图是幂函数y＝xn的部分图象，若n取±3，±四个值，则下图中对应于曲线C1，C2，C3，C4的n的值依次为(　　)

A．－3，－，3     B．3，，－，－3

C．－，－3，3，     D．3，，－3，－

题型3　幂函数的单调性质及应用

例3　(1)设a＝()0.5，b＝()0.4，c＝()0.4，则(　　)

A．a<b<c     B．c<a<b

C．b<a<c     D．a<c<b

(2)已知a＝2.1－0.1，b＝1.2－0.1，c＝2.1－0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b>c>a     B．b>a>c

C．a>b>c     D．a>c>b

方法归纳

幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减．

比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图象．

跟踪训练3　(1)比较下列各题中两个幂值的大小，

①3.11.3与2.91.3；

②与；

③与.

①利用函数y＝x1.3的单调性来判断．

②利用函数y＝的单调性来判断．

③找中间量判断．

(2)设a＝0.2－0.1，b＝0.1－0.1，c＝0.1－0.2，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a<b<c    B．a<c<b

C．c<a<b    D．c<b<a

题型4　根据幂函数解析式确定其定义域和值域[数学抽象、直观想象]

例4　(1)函数y＝的定义域是________，值域是________；

(2)函数y＝的定义域是________，值域是________；

(3)函数y＝的定义域是________，值域是________；

(4)函数y＝的定义域是________，值域是________.

状元随笔　可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域．

方法归纳

求幂函数的定义域和值域的方法

幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义．值域要在定义域范围内求解．

幂函数的定义域由幂指数α确定：

(1)当幂指数取正整数时，定义域为R；

(2)当幂指数取零或负整数时，定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)；

(3)当幂指数取分数时，可以化成根式，利用根式的要求求定义域．

跟踪训练4　若函数f(x)＝，则函数y＝f(4x－3)的定义域是(　　)

A．(－∞，＋∞)　　     B．(－∞，)

C．[，＋∞)       D．(，＋∞)

4．4　幂函数

新知初探·自主学习

知识点一

y＝xα　x　α

知识点二

{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　偶函数　奇函数　奇函数　(－∞，0)　(0，＋∞)　R　(0，＋∞)　(0，0)，(1，1)　(1，1)

[基础自测]

1．解析：函数y＝＝x－4为幂函数；

函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；

函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；

函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．

答案：B

2．解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝，∴f(8)＝＝4.

答案：C

3．解析：因为函数y＝2x为增函数，且1.9>1.5，所以21.9>21.5，所以y1>y2，又因为y＝x1.9为增函数，所以31.9>21.9，所以y3>y1，所以y3>y1>y2.

答案：A

4．解析：因为函数y＝x0.2是增函数，

又0.2<0.3，

∴0.20.2<0.30.2.

答案：<

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．

(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，

所以所以m＝1.

(3)设f(x)＝xα，所以＝3α，α＝－2，

所以f(4)＝4－2＝.

【答案】　(1)B　(2)A　(3)

跟踪训练1　解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．

(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，

解得m＝2或m＝－1，

当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，

当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．

故f(x)＝x3.

答案：(1)B　(2)f(x)＝x3

例2　【解析】　过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0，

当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1时，指数越大，图象越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p.

【答案】　n<q<m<p

跟踪训练2　解析：(1)幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图象经过第一、三象限；y＝的图象经过第一象限；y＝x2的图象经过第一、二象限．

所以幂函数y＝xα的图象不可能经过第四象限．

(2)当n>0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递增，当n<0时，幂函数在(0，＋∞)上单调递减，并且在直线x＝1的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数n依次增大．

答案：(1)四　(2)B

例3　【解析】　(1)因为函数y＝x0.4在(0，＋∞)上单调递增，

∴c＝()0.4>b＝()0.4>1，

又a＝()0.5<()0＝1，所以a<b<c.

(2)c＝2.1－0.2＝[(2.1)2]－0.1＝4.41－0.1，因为幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上单调递减，1.2<2.1<4.41，

所以1.2－0.1>2.1－0.1>4.41－0.1，即b>a>c.

【答案】　(1)A　(2)B

跟踪训练3　解析：(1)①函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3.

②方法一　函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又因为<，所以.

方法二　＝＝.

而函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以.

③因为<＝1；

而>＝1；

所以<.

(2)函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上递减，所以a<b.

函数y＝0.1x在R上递减，所以b<c.

所以a<b<c.

答案：(1)见解析　(2)A

例4　【解析】　(1)y＝＝的定义域为R，值域为[0，＋∞)．

(2)y＝＝的定义域为{x|x≠0}，值域为(0，＋∞)．

(3)y＝＝的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．

(4)y＝＝的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．

【答案】　(1)R　[0，＋∞)

(2){x|x≠0}　(0，＋∞)

(3)[0，＋∞)　[0，＋∞)

(4)(0，＋∞)　(0，＋∞)

跟踪训练4　解析：幂函数f(x)＝＝，其定义域为(0，＋∞)，所以4x－3>0，即x>，所以函数y＝f(4x－3)的定义域是(，＋∞)．

答案：D