高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.1.2 数据的数字特征导学案

5．1.2　数据的数字特征

【课程标准】

(1)结合实例，理解最值、平均值、众数、极差、方差、标准差的含义．

(2)结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　最值

一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．

状元随笔　最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示．

知识点二　平均数

(1)定义：如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝________________．

这一公式在数学中常简记为＝______________．

(2)求和符号∑具有的性质

①＝；

②＝k；

③＝nt.

(3)如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数是________________．

知识点三　中位数、百分位数、众数的概念

1．中位数

(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称________为这组数的中位数；

(2)如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称________为这组数的中位数．

2．百分位数

(1)定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有________的数据不大于该值，且至少有________的数据不小于该值．

(2)计算方法：

设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取________为p%分位数；如果i是整数，取________为p%分位数．

规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)

状元随笔　中位数和百分位数的关系是什么？

提示：中位数是50%分位数．

3．众数

一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数________的数据称为这组数据的众数．

状元随笔　对众数、中位数、平均数的理解

(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．

(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．

(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．

知识点四　极差、方差与标准差

1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．

2．如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝.

3．方差的算术平方根称为标准差．

状元随笔　对方差与标准差概念的理解

(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．

(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．

标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．

(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．

基 础 自 测

1．求下列一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的第30百分位数(　　)

A．2　 　 　B．3    C．4　 　 　D．2.5

2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)

A．平均数>中位数>众数

B．平均数<中位数<众数

C．中位数<众数<平均数

D．众数＝中位数＝平均数

3．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数的众数为5，那么该组数据的中位数是(　　)

A．7　 　 　B．5   

C．6　 　 　D．11

4．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　最值、平均数、众数[数学抽象、数学运算]

例1　某公司员工的月工资情况如下所示：

(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数和众数；

(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？

状元随笔　(1)依据最值、众数的定义及平均数的计算公式求值．

(2)根据第(1)问的计算结果和实际意义作答．

方法归纳

(1)最值和众数的求法

在样本数据中出现次数最多的数据即为众数，最大的数是最大值，最小的数是最小值．

(2)求平均数的步骤

①求和：数据x1，x2，…，xn的和为x1＋2＋…＋xn.

②求平均数：和除以数据的个数n，即x1，x2，…，xn的平均数为(x1＋x2＋…＋xn)．

跟踪训练1　(1)已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________；

(2)某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下：

选用平均数与众数评估这两个班的成绩．

题型2　中位数、百分位数的计算[数学运算、数据分析]

例2　近年来，某市私家车数量持续增长，2015年至2019年该市私家车数量依次为15，19，22，26，30(单位：万辆)，则

(1)该组数据的中位数是________；

(2)10%分位数是______________，20%分位数是____________．

状元随笔　(1)排序并数出数据总数，依据中位数的定义计算．

(2)依据百分位数的定义计算．

方法归纳

(1)求中位数的一般步骤

①把数据按大小顺序排列．

②找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．

(2)求百分位数的一般步骤

①排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，xn.

②计算：求i＝np%的值．

③求值：

跟踪训练2　以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：

78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，

则这15人成绩的80%分位数是(　　)

A．90　     B．90.5

C．91     D．91.5

题型3　标准差、方差的应用[经典例题]

例3　甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：

甲：99　100　98　100　100　103

乙：99　100　102　99　100　100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

方法归纳

在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．

跟踪训练3　在例3中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？

5．1.2　数据的数字特征

新知初探·自主学习

知识点二

(1)(x1＋x2＋…＋xn)　

(3)a＋b

知识点三

1．(1)xn＋1　(2)

2．(1)p%　(100－p)%　(2)xi0　

3．最多

[基础自测]

1．解析：这组数据共10个，10×30%＝3即第30百分位数是第3项数据和第4项数据的平均数2.5.

答案：D

2．解析：平均数、中位数、众数皆为50，故选D.

答案：D

3．解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5，把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，则可知中位数为5.

答案：B

4．解析：因为＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，

所以s＝ ＝.

答案：

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)该公司员工月工资的最大值为80 000元，最小值为7 000元，众数为10 000元．平均数为×(80 000×1＋50 000×2＋40 000×5＋20 000×8＋10 000×20＋8 000×12＋7 000×2)＝17 000(元)．

(2)用众数，因为最大值为80 000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿10 000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．

跟踪训练1　解析：(1)由＝4可知a＝2.

(2)甲班平均数为(50×1＋60×6＋70×12＋80×11＋90×15＋100×5)＝79.6(分)，

乙班平均数为(50×3＋60×5＋70×15＋80×3＋90×13＋100×11)＝80.2(分)，从平均分看成绩较好的是乙班；

甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班．

答案：(1)2　(2)见解析

例2　【解析】　(1)这组数据从小到大排列后，22处于最中间的位置，故这组数据的中位数是22.

(2)因为5×10%＝0.5，所以该组数据的10%分位数是15，因为5×20%＝1，所以该组数据的20%分位数是＝17.

【答案】　(1)22　(2)15　17

跟踪训练2　解析：把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的80%分位数是＝90.5.

答案：B

例3　【解析】　(1)＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，

＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又，

所以乙机床加工零件的质量更稳定．

跟踪训练3　解析：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110，

方差仍为[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝.