高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.1.3 数据的直观表示导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.1.3 数据的直观表示导学案，共21页。学案主要包含了课程标准等内容，欢迎下载使用。

5．1.3　数据的直观表示

【课程标准】
能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性．



新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一　柱形图(也称为条形图)
作用
形象地比较各种数据之间的________
特征
(1)一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例
(2)每一矩形都是等宽的
知识点二　折线图
作用
形象地表示数据的________
特征
一条轴上显示的通常是时间，另一条轴上是对应的数据
知识点三　扇形图(也称为饼图、饼形图)
作用
形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的________
特征
每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比
知识点四　茎叶图
茎叶图的画法步骤：
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
作用
(1)如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征
(2)可以看出一组数的分布情况，可能得到一些额外的信息
(3)比较两组数据的________或________程度
特征
所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列



知识点五　画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤

频数分布直方图
纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的________成正比
频率分布直方图
纵坐标是________，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为____


知识点六　频数分布折线图和频率分布折线图
把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来，且画成与横轴相交．

状元随笔　表示频率分布的几种方法的优点与不足

优点
不足
频率分布表
表示数量较确切
分析数据分布的总体态势不方便
频率分布直方图
表示数据分布情况非常直观
原有的具体数据信息被抹掉了
频率分布折线图
能反映数据的变化趋势
不能显示原有数据信息



基 础 自 测
1．(多选)关于频率分布直方图中的有关数据，下列说法错误的是(　　)
A．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值
B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率
C．直方图的高表示取某数的频率
D．直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值
2．甲、乙两个班各随机选出15名同学进行测验，所得成绩的茎叶图如图．从图中看，________班的平均成绩较高．

3．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为(　　)

A．167 B．137
C．123 D．93
4．某市4月份日平均气温统计图如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是(　　)

A．13，13 B．13，13.5
C．13，14 D．16，13





课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1　频率分布直方图、频率分布折线图的绘制及频率分布直方图的应用[经典例题]
例1　在拜登上任之前的美国历届总统中，就任时年龄最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年龄最大的是特朗普，他于2016年就任，当时70岁．下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2016年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，47，70.
(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；




(2)用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况；


状元随笔　
找出此组数据的最大值和最小值→确定分组的组距和组数→列出频率分布表→由频率分布表绘制频率分布直方图、折线图→根据图形特点作分析














(3)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计图如图所示，则以下四种说法中，正确的个数为(　　)


①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
A．1　　 B．2　
C．3　 D．4

状元随笔　根据频数计算平均数、中位数、方差、极差，判断结果．


(4)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：

①求频率分布直方图中a的值；
②分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数．


状元随笔　求出第一个和第二个小矩形的面积(即频率)，再计算学生人数．








方法归纳
绘制频率分布直方图应注意的问题
(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高．一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“频率组距”所占的比例来定高．如我们预先设定以“”为1单位长度，代表“0.1”，则若一个组的频率组距为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，依此类推．
(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.

频率分布直方图的意义
(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.
(3)频数/相应的频率＝样本容量．


跟踪训练1　(1)有一个容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[－20，－15)，7；[－15，－10)，11；[－10，－5)，15；[－5，0)，40；[0，5)，49；[5，10)，41；[10，15)，20；[15，20]，17.
①列出样本的频率分布表；
②画出频率分布直方图和频率分布折线图；
③求样本数据不足0的频率．








(2)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________．




状元随笔　(1)①求极差；②组距及组数；③分组；④列表；⑤画直方图．
(2)各小长方形的面积表示数据落在相应区间的频率，和为1→建立关于a的方程→求解即可
依据样本容量和频率求出三组的频数和，即抽样的总体个数→求出抽样比→所求人数即得


题型2　柱形图、扇形图及其应用[直观想象]
例2　(1)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是(　　)

A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别无关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

(2)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：


则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半


状元随笔　(1)根据柱形图的构成特点读取图中信息，逐个判断，对于C，D要注意计算．
(2)根据饼图的构成特点读取图中信息，逐个计算作出判断．



方法归纳
1．画柱形图的步骤和注意问题
(1)步骤：第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制柱形图．
(2)注意问题：在柱形图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．
2．画扇形图的步骤和注意问题
(1)步骤：第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．
(2)注意问题：扇形图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．


跟踪训练2　(1)如图是某手机商城中A，B，C三种品牌的手机各季度销量的百分比条形图，根据该图，以下结论中一定正确的是(　　)

A．四个季度中，每季度B品牌和C品牌总销量之和均不低于A品牌的销量
B．B品牌第二季度的销量小于第三季度的销量
C．第一季度销量最大的为C品牌，销售最小的为B品牌
D．A品牌的全年销售量最大
(2)某班级在一次数学竞赛中为全班学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖18元、二等奖8元、三等奖4元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是(　　)

A．获得参与奖的人数最多
B．各个奖项中参与奖的总费用最高
C．购买每件奖品费用的平均数为4元
D．购买的三等奖的奖品件数是一、二等奖的奖品件数和的二倍


题型3　折线图及其应用[数据分析]
例3　某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　)

A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月份
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
状元随笔　读取折线图的信息，逐项判断．





方法归纳
绘制折线图的步骤和注意问题
(1)步骤：先整理和观察数据统计表，建立直角坐标系，用两坐标轴上的点分别表示数据，再描出数据的相应点，顺次连接相邻的点，得到一条折线．
(2)注意问题：画折线统计图时，横轴、纵轴表示的实际含义要标明确．



跟踪训练3　(多选)某班三位同学的数学测试成绩及班级平均分的关系图如图所示

其中说法正确的是(　　)
A．王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定
B．张诚同学的数学学习成绩波动较大
C．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平
D．在6次测试中，每一次成绩都是王伟第1，张诚第2，赵磊第3


题型4　茎叶图及其应用[数据分析]
例4　某篮球运动员的投篮命中率为50%，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训练计划．为了了解训练效果，执行训练计划前，他统计了10场比赛的得分，计算出得分的中位数为15分，平均得分为15分，得分的方差为46.3.执行训练后也统计了10场比赛的得分，成绩茎叶图如图所示：

(1)请计算该篮球运动员执行训练计划后统计的10场比赛得分的中位数、平均得分与方差；
(2)如果仅从执行训练计划前后统计的各10场比赛得分数据分析，你认为训练计划对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？









状元随笔　(1)由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练计划后统计的10场比赛得分的中位数，根据平均数公式可得平均得分，由方差公式可得方差；
(2)尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差小于训练前方差说明训练后得分稳定性提高了，由此能求出结果．






方法归纳
茎叶图中的三个关注点
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．
(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．


跟踪训练4　为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6，1.2，2.7，1.5，2.8，1.8，2.2，2.3，3.2，3.5，
2．5，2.6，1.2，2.7，1.5，2.9，3.0，3.1，2.3，2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3．2，1.7，1.9，0.8，0.9，2.4，1.2，2.6，1.3，1.4，
1．6，0.5，1.8，0.6，2.1，1.1，2.5，1.2，2.7，0.5
根据两组数据完成如图所示的茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？































5．1.3　数据的直观表示
新知初探·自主学习
知识点一
数量关系
知识点二
变化趋势
知识点三
比例情况
知识点四
集中　分散
知识点五
最大值与最小值的差　k　不小于k的最小整数　左闭右开　闭　分组　频数累计　频数　频率　合计　样本容量　1　频率组距　各小长方形的面积　1　高度与频数　频率组距　1
[基础自测]
1．解析：直方图的高表示频率与组距的比值，直方图的面积为频率．
答案：BCD
2．解析：结合茎叶图中成绩的情况可知，乙班平均成绩较高．
答案：乙
3．解析：110×70%＋150×40%＝77＋60＝137.
答案：B
4．解析：这组数据中，13出现了10次，出现次数最多，所以众数为13，排序后第15个数和第16个数都是14，所以中位数是14.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1　【解析】　(1)以4为组距，列频率分布表如下：
分组
频数
频率
[42，46)
2
0.044 4
[46，50)
7
0.155 5
[50，54)
8
0.177 8
[54，58)
16
0.355 6
[58，62)
5
0.111 1
[62，66)
4
0.088 9
[66，70]
3
0.066 7
合计
45
1.000 0
画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图，如图所示．

(2)从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁及45岁以下和65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．
(3)在①中，x乙＝15×(5＋5＋5＋6＋9)＝6，x甲＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，故甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数，故①正确；在②中，甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数，故②正确；在③中，甲的成绩的方差为15×(22×2＋12×2)＝2，乙的成绩的方差为15×(12×3＋32×1)＝2.4，故甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差，故③正确；在④中，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，故甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差，故④正确，故正确的个数为4.
(4)①据直方图知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝1200＝0.005.
②成绩落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2人．
成绩落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3人．
【答案】　(1)(2)见解析　(3)D　(4)见解析
跟踪训练1　解析：(1)①频率分布表如下：
分组
频数
频率
[－20，－15)
7
0.035
[－15，－10)
11
0.055
[－10，－5)
15
0.075
[－5，0)
40
0.2
[0，5)
49
0.245
[5，10)
41
0.205
[10，15)
20
0.1
[15，20]
17
0.085
合计
200
1.00
②频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：

③样本数据不足0的频率为：
0．035＋0.055＋0.075＋0.2＝0.365.
(2)因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由图可知身高在[120，150]内的学生人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为10，所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数为1860×10＝3.
答案：(1)见解析　(2)0.030　3
例2　【解析】　(1)由题图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍有关、与性别无关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为60×60%＝36(人)，女性人数为40×60%＝24(人)，不相同．
(2)设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项符合题意；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项不符合题意；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项不符合题意；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入为30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D项不符合题意．
【答案】　(1)C　(2)A
跟踪训练2　解析：(1)对于A，第四季度中，A品牌销量大于50%，B品牌和C品牌总销量之和小于50%，故A错误；
对于B，因为B品牌每个季度的销量不确定，所以无法判断，故B错误；
对于C，第一季度销量最大的是A品牌，故C错误；
对于D，由图知，四个季度A品牌的销量都最大，所以A品牌的全年销量最大，故D正确．
(2)由题意，设全班人数为a，由扇形统计图可知，一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，
参与奖占55%.获得参与奖的人数最多，故A正确；各奖项的费用：一等奖5%a×18＝0.9a，二等奖10%a×8＝0.8a，三等奖占30%a×4＝1.2a，参与奖占55%a×2＝1.1a，
可知各个奖项中三等奖的总费用最高，故B错误；
平均费用5%×18＋10%×8＋30%×4＋55%×2＝4元，故C正确；
一等奖奖品数为5%a，二等奖奖品数为10%a，三等奖奖品数为30%a，故D正确．
答案：(1)D　(2)B
例3　【解析】　由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确，不符合题意；
由题图可知，结余最高为7月份，为80－20＝60(万元)，故B正确，不符合题意；
由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，不符合题意；
由题图可知，前6个月的平均收入为16(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误，符合题意．
【答案】　D
跟踪训练3　解析：从题图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高，第6次测试张诚没有赵磊的成绩好．
答案：ABC
例4　【解析】　(1)训练后得分的中位数为：14+152＝14.5(分)；
平均得分为：
8+9+12+14+14+15+16+18+21+2310＝15(分)；
方差为：110[(8－15)2＋(9－15)2＋(12－15)2＋(14－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(16－15)2＋(18－15)2＋(21－15)2＋(23－15)2]＝20.6.
(2)尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差20.6小于训练前方差46.3，说明训练后得分稳定性提高了，这是投篮水平提高的表现．故此训练计划对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助．
跟踪训练4　解析：由观测结果可绘制茎叶图如图所示：

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2，3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．