数学必修 第二册5.3.2 事件之间的关系与运算学案设计

5．3.2　事件之间的关系与运算

【课程标准】

了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　事件的关系与运算

知识点二　事件的互斥与对立

1．给定事件A，B，若事件A与B不能________，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅).

2．互斥事件的概率加法公式：若A与B 互斥(即A∩B＝∅)，则：P(A＋B)＝________．

3．若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生．事件A的对立事件记为：.

则：P(A)＋P()＝________．

状元随笔　互斥事件与对立事件的区别与联系

两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：

(1)若事件A发生，则事件B就不发生；

(2)若事件B发生，则事件A就不发生；

(3)事件A、B都不发生．

两个事件A、B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．

基 础 自 测

1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是(　　)

A．互斥不对立　　　　 B．对立不互斥

C．互斥且对立      D．不互斥、不对立

2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)

A．至多有2件次品     B．至多有1件次品

C．至多有2件正品     D．至少有2件正品

3．某人打靶两次，事件A为只有一次中靶，事件B为两次都中靶，则A＋B为________．

4．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：

事件A：恰有一件次品；

事件B：至少有两件次品；

事件C：至少有一件次品；

事件D：至多有一件次品．

并给出以下结论：①A∪B＝C；②B∪D是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C.

其中正确结论的序号是(　　)

A．①②　　B．③④    C．①③　　D．②③

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　事件的关系判断[经典例题]

例1　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．

方法归纳

(1)包含关系、相等关系的判定

①事件的包含关系与集合的包含关系相似；

②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．

(2)事件间运算方法

①利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算；

②利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

跟踪训练1　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：

(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与事件A的积事件是什么事件？

题型2　互斥事件与对立事件的判断(数学抽象)

例2　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：

判断的依据是互斥事件、对立事件的定义．

(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．

方法归纳

要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，知道它们对事件结果的影响．必要时可以把具体的事件列举出来，更易于分辨．

跟踪训练2　从一批产品中取出三件产品，设A表示“三件产品全不是次品”，B表示“三件产品全是次品”，C表示“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是(　　)

先弄清每个事件的情况，再判断两者之间的关系．

A．A与C互斥

B．任何两个均互斥

C．B与C互斥

D．任何两个均不互斥

题型3　事件的运算[经典例题]

例3　如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生．

(1)从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件；

(2)用A，B，C表示下列事件：

①恰好订阅一种学习资料；

②没有订阅任何学习资料．

状元随笔　(1)由图可得出1，4，5，8各区域所代表的事件；

(2)由事件的关系与运算求解即可．

跟踪训练3　生产某种产品需要2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，用A，B表示下列事件：C＝“产品合格”，D＝“产品不合格”．

题型4　概率公式的应用[数学抽象、数学运算]

例4　在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：

(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；

(2)小明数学考试及格的概率．

状元随笔　小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．

方法归纳

互斥事件、对立事件概率的求解方法

(1)互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B).

(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．

(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，转化为所求问题．

跟踪训练4　从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如表所示：

(1)求表中字母a的值；

(2)求至少遇到4个红灯的概率；

(3)求至多遇到5个红灯的概率．

方法归纳

事件间的运算方法

(1)利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

(2)利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

5．3.2　事件之间的关系与运算

新知初探·自主学习

知识点一

一定发生　B⊇A　A⊆B　不可能事件　A∩B＝∅　不可能事件　必然事件　事件A与事件B中至少有一个发生　A∪B　A＋B　事件A发生且事件B发生　A∩B　AB

知识点二

1．同时发生

2．P(A)＋P(B)

3．1

[基础自测]

1．解析：必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．

答案：C

2．解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．

答案：B

3．解析：A＋B为并事件即至少有一次中靶．

答案：至少有一次中靶

4．解析：事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以①正确；事件A∩B＝∅，③不正确；事件B∪D：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以④不正确．

答案：A

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.

同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；

事件F包含事件C2，C4，C6；

事件G包含事件C1，C3，C5.

易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.

(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，

所以D2＝C4∪C5∪C6 (或D2＝C4＋C5＋C6)．

同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.

故事件D2，D3，E，F，G为和事件．

跟踪训练1　解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A＋B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故CA＝A.

例2　【解析】　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．

(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

跟踪训练2　　解析：由题意可知，事件A与事件C不可能同时发生，故A与C互斥，选A.

答案：A

例3　【解析】　(1)由图可知：

区域1表示该生数学、语文、英语三种资料都订阅；

区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料；

区域5表示该生只订阅了语文资料；

区域8表示该生三种资料都未订阅．

(2)①“恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为：A；只订阅语文：B；只订阅英语：C，并且这三种事件互斥，所以“恰好订阅一种学习资料”用A，B，C表示为：ABC.

②“没有订阅任何学习资料” 用A，B，C表示为：.

跟踪训练3　解析：产品合格即两道工序都合格，所以C＝AB.

产品不合格即两道工序至少有一道工序不合格，

所以D＝AB＋.

例4　【解析】　分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．

(1)小明的成绩在80分以上的概率是

P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.

(2)记小明考试及格为事件A，则不及格为事件；

方法一　小明数学考试及格的概率是

P(A)＝P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋ 0.15＋0.09＝0.93.

方法二　小明数学考试不及格的概率是P()＝0.07，所以小明数学考试及格的概率是P(A)＝1－P()＝1－0.07＝0.93.

跟踪训练4　解析：(1)由题意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.

(2)设事件A为遇到红灯的个数为4，事件B为遇到红灯的个数为5，事件C为遇到红灯的个数为6个及6个以上，则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C，因为事件A，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.

(3)设事件D为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.

则P()＝1－P(D)＝1－0.03＝0.97.