2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷 - 副本

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷 - 副本，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在实数，﹣，0.，，，3.1415926中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（　　）
A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
3．（3分）下列调查方式中，你认为最合适的是（　　）
A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式
B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
C．了解乌市居民日平均用水量，采用全面调查方式
D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
4．（3分）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC
5．（3分）若一个五边形的四个内角都是100°，那么第五个内角的度数为（　　）
A．120° B．100° C．140° D．150°
6．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为（　　）
A．14 B．10 C．9 D．8
7．（3分）下列不等式变形正确的是（　　）
A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b
8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．60°
9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（　　）

A．a B．b C．c D．无法确定
10．（3分）若不等式组的解集为x＜8，则m的取值范围是（　　）
A．m≥8 B．m≤8 C．m＜8 D．m＞8
11．（3分）2020年2月某敬老院为了更好的保护好老人，预防老人们感染新冠病毒，用4800元购进A，B口罩共160件，其中A型口罩每件24元，B型口罩每件36元．设购买A型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）代数式+2的最小值是 　 　．
14．（3分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　 　cm．

15．（3分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点．若整点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，则m的值为 　 　．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）﹣12020+++|﹣2|．
18．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出它的整数解．

19．（6分）如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数
为 　 　．

20．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校2800名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．
抽取的部分学生测试成绩的频数分布表
成绩a （分）
频数 （人）
百分比
50≤a＜60
10
10%
60≤a＜70
15
n
70≤a＜80
m
20%
80≤a＜90
40
40%
90≤a≤100
15
15%
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，m＝　 　，n＝　 　．本次抽样调查的样本容量是 　 　．
（2）补全频数分布直方图．
（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．

21．（8分）已知关于x、y的方程组的解是非负数．
（1）求方程组的解（用含k的代数式表示）
（2）求k的取值范围；
（3）化简：|2k+3|﹣|k﹣2|．
22．（9分）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．
（1）若AE＝3，求DE的长度；
（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．

23．（9分）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；
（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为 　 　．
（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，
①若点A与B的“近似距离”为3，写出满足条件的B点的坐标 　 　．
②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值 　 　．
（3）已知C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与点D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标．
25．（10分）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点 E．求证：PM＝PE；
（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．
（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的数量关系．


2020-2021学年湖南省长沙市雨花区中雅培粹学校八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）在实数，﹣，0.，，，3.1415926中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
3.1415926是有限小数，属于有理数．
无理数有：，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第三象限的是（　　）
A．（1，2） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案．
【解答】解：A．（1，2）在第一象限，故本选项不合题意；
B．（﹣2，1）在第二象限，故本选项不合题意；
C．（2，﹣1）在第四象限，故本选项不合题意；
D．（﹣1，﹣2）在第三象限，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（3分）下列调查方式中，你认为最合适的是（　　）
A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式
B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
C．了解乌市居民日平均用水量，采用全面调查方式
D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A．了解某校七年级一班学生的身高，采用全面调查方式，符合题意；
B．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
C．了解乌市居民日平均用水量，采用抽样调查方式，不符合题意；
D．旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．（3分）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【解答】解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．（3分）若一个五边形的四个内角都是100°，那么第五个内角的度数为（　　）
A．120° B．100° C．140° D．150°
【分析】利用多边形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：因为五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，4个内角都是100°，
所以第5个内角的度数是540°﹣100°×4＝140°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是一个比较简单的问题．
6．（3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则a+b的值为（　　）
A．14 B．10 C．9 D．8
【分析】把代入方程组，求出a、b的值，再求出a+b即可．
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为，
∴代入得：，
解得：a＝12，b＝2，
∴a+b＝12+2＝14，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
7．（3分）下列不等式变形正确的是（　　）
A．若a+c＜b+c，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＞b，c＜0则ac＜bc D．若＞，则a＞b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a+c＜b+c，
∴两边减去c得：a＜b，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，
∴ac2≥bc2（当c＝0时，ac2＝bc2），故本选项不符合题意；
C、∵a＞b，c＜0，
∴ac＜bc，故本选项符合题意；
D、＞，
当c＞0时，a＞b；
当c＜0时，a＜b；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，

∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知性质定理是解答此题的关键．
9．（3分）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（　　）

A．a B．b C．c D．无法确定
【分析】根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．
【解答】解：根据数轴上点的位置及a，c互为相反数，得c＜a＜b，且|c|＝|a|＜|b|，
则绝对值最大的是b，
故选：B．
【点评】此题考查了实数大小比较，实数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
10．（3分）若不等式组的解集为x＜8，则m的取值范围是（　　）
A．m≥8 B．m≤8 C．m＜8 D．m＞8
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同小取小并结合不等式组的解集可得m的范围．
【解答】解：解不等式x+2＞2x﹣6，得：x＜8，
∵不等式组的解集为x＜8，
∴m≥8，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（3分）2020年2月某敬老院为了更好的保护好老人，预防老人们感染新冠病毒，用4800元购进A，B口罩共160件，其中A型口罩每件24元，B型口罩每件36元．设购买A型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用用4800元购进A，B口罩共160件，分别得出等式组成方程组即可．
【解答】解：设购买A型口罩x件，B型口罩y件，依题意列方程组得：
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
12．（3分）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①在AE取点F，使EF＝BE．利用已知条件AB＝AD+2BE，可得AD＝AF，进而证出2AE＝AB+AD；
②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．先由SAS证明△ACD≌△ACF，得出∠ADC＝∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB＝∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB＝180°；
③根据全等三角形的对应边相等得出CD＝CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF＝CB，从而CD＝CB；
④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC错误．
【解答】解：①在AE取点F，使EF＝BE，

∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，
∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，
∴AD＝AF，
∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，
∴AE＝（AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC＝∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B．
又∵∠AFC+∠CFB＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，
又∵CF＝CB，
∴CD＝CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF＝S△ADC，
∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④错误；
即正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，四边形的内角和定理，邻补角定义等知识点的应用，正确作辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）代数式+2的最小值是 　2　．
【分析】根据算术平方根恒大于等于0，即可确定出最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴+2≥2，
即+2的最小值是2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了非负数的性质．熟练掌握算术平方根的非负数性质是解本题的关键．
14．（3分）如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB＝8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC＝　10　cm．

【分析】依据AE是△ABC的边BC上的中线，可得CE＝BE，再根据AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，即可得到AC的长．
【解答】解：∵AE是△ABC的边BC上的中线，
∴CE＝BE，
又∵AE＝AE，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，
∴AC﹣AB＝2cm，
即AC﹣8＝2cm，
∴AC＝10cm，
故答案为：10；
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
15．（3分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点．若整点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，则m的值为 　﹣1或0　．
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣1）在第四象限，
∴
解得：﹣2＜m＜，
∵点的横、纵坐标均为整数，
∴m是整数，
∴m的值为﹣1或0．
故答案为：﹣1或0．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 　15　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，
故答案为：15．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，其中第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17．（6分）﹣12020+++|﹣2|．
【分析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣12020+++|﹣2|
＝﹣1+（﹣3）+2+2﹣
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（6分）解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出它的整数解．

【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，在数轴上表示出来以后写出其整数解．
【解答】解：，
解①得x＞﹣1.5，
解②得x≤4，
故不等式组的解集是：﹣1.5＜x≤4．
不等式组的解集在数轴上表示为：

故该不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，3，4．
【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集等，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
19．（6分）如图，BD为△ABC的角平分线，若∠ABC＝60°，∠ADB＝70°．
（1）求∠C的度数；
（2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，则∠EDC的度数
为 　50°或90°　．

【分析】（1）利用角平分线的性质可得∠DBC＝30°，由外角的性质可得结果；
（2）利用分类讨论思想：如图1，则∠CDE＝90°；如图2，当∠CED＝90°时，则∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°．
【解答】解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
又∵∠ADB是△BDC的外角，∠ADB＝70°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C，
∴∠C＝∠ADB﹣∠DBC＝40°；

（2）情况一，如图1，

则∠CDE＝90°；
情况二：如图2，当∠CED＝90°时，

∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
综上所述，∠EDC的度数为90°或50°，
故答案为：50°或90°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
20．（8分）垃圾分类是对垃圾传统收集处理方式的改变，是对垃圾进行有效处理的一种科学管理方法．为了增强同学们垃圾分类的意识，某校举行一场学生在线参与垃圾分类处理知识测试（满分100分，得分均为整数），学校从全校2800名学生中随机抽取部分学生的成绩，绘制成如图不完整的统计图表．
抽取的部分学生测试成绩的频数分布表
成绩a （分）
频数 （人）
百分比
50≤a＜60
10
10%
60≤a＜70
15
n
70≤a＜80
m
20%
80≤a＜90
40
40%
90≤a≤100
15
15%
由图表中给出的信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，m＝　20　，n＝　15%　．本次抽样调查的样本容量是 　100　．
（2）补全频数分布直方图．
（3）如果成绩在80分以上（包括80分）为优秀，估计该校本次测试成绩优秀的学生人数．

【分析】（1）根据50≤a＜60这一组的频数和所占的百分比，可以求得本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；
（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以得到成绩为优秀的人数占被抽取人数的百分比．
【解答】解：（1）随机抽取的学生总人数为：10÷10%＝100，
m＝100×20%＝20，
n＝15÷100×100%＝15%，
故答案为：20，15%，100；
（2）由（1）知，m＝20，
补全的频数分布直方图如图所示；

（3）40%+15%＝55%，
2800×55%＝1540（人）．
答：估计该校本次测试成绩优秀的学生人数为1540人．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）已知关于x、y的方程组的解是非负数．
（1）求方程组的解（用含k的代数式表示）
（2）求k的取值范围；
（3）化简：|2k+3|﹣|k﹣2|．
【分析】（1）用加减法先消去y，求得x，再把x的值代入任意一个方程求得y；
（2）根据原方程组的解是非负数，列出k的不等式组进行解答；
（3）结合k的取值范围，确定绝对值内的代数式的正负，根据绝对值的性质进行计算．
【解答】解：（1），
①+②得：4x＝8k﹣4，即x＝2k﹣1③，
将③代入②得：y＝﹣4k+4，
则原方程组的解为：；

（2）∵原方程组的解均为非负数，
∴，
解得：；

（3）|2k+3|﹣|k﹣2|＝2k+3﹣[﹣（k﹣2）]＝2k+3+k﹣2＝3k+1．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，绝对值的性质，化简代数式，关键是掌握解方程组和不等式组的方法．
22．（9分）如图，CD∥AB，△ABC的中线AE的延长线与CD交于点D．
（1）若AE＝3，求DE的长度；
（2）∠DAC的平分线与DC交于点F，连接EF，若AF＝DF，AC＝DE，求证：AB＝AF+EF．

【分析】（1）由“ASA”可证△ABE≌△DCE，可得AE＝DE＝3；
（2）由“SAS”可证△CAF≌△EAF，可得CF＝EF，可得结论．
【解答】解：（1）∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
∵AE是中线，
∴CE＝BE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴AE＝DE＝3，
∴DE的长为3；
（2）∵△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∵AF平分∠DAC，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵AC＝DE，AE＝DE，
∴AC＝AE，
在△CAF和△EAF中，
，
∴△CAF≌△EAF（SAS），
∴CF＝EF，
∴AB＝CD＝CF+DF＝EF+AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
23．（9分）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤37，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．

（3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得：
（200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850，
解得：x＞35，
∵x≤37，且x应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【点评】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|；
（1）已知点P（﹣3，4）、点Q（1，1），则点P与点Q的“近似距离”为 　4　．
（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点，
①若点A与B的“近似距离”为3，写出满足条件的B点的坐标 　（3，0）、（﹣3，0）　．
②直接写出点A与点B的“近似距离”的最小值 　2　．
（3）已知C（2m+2，m），D（1，0），写出点C与点D的“近似距离”的最小值及相应的C点坐标．
【分析】（1）根据题意即可得点P与点Q的“近似距离”；
（2）①设点B的坐标为（x，0）．由|0﹣x|＝3，|﹣2﹣0|＝2，解得x＝3或x＝﹣3，即可得出答案；
②设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），则|0﹣x|＝x，|﹣2﹣0|＝2，若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；即可得出结果；
（3）求点C与点D的“近似距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则P1与P2的“近似距离”为|x1﹣x2|”，此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，即|2m+1|＝|m|，解方程得m的值即可．
【解答】解：（1）∵点P（﹣3，4）、点Q（1，1），
则点P与点Q的“近似距离”为4．
故答案为：4；
（2）①∵B为x轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（x，0）．
∵A、B两点的“近似距离”为3，A（0，﹣2），
∵|0﹣x|＝3，|﹣2﹣0|＝2，
解得x＝3或x＝﹣3，
∴点B的坐标是（3，0）或（﹣3，0），
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）；
②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），
∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝|x|，
∴若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2，
若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；
∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2，
故答案为：2；
（3）C（2m+2，m），D（0，1），
①当|m﹣0|≥|2m+2﹣1|时，点 C 与 D 的“近似距离”为|m|，
当 m≥0 时，m≥2m+1，
解得：m≤﹣1（舍弃），
当﹣＜m＜0 时，﹣m≥2m+1，
解得：m≤﹣，
∴﹣＜m≤﹣
当 m≤﹣时，﹣m≥﹣2m﹣1，
解得：m≥﹣1（舍弃），
∴|m|的最小值为，
此时，m＝﹣，C（﹣，）．
②当|m﹣0|＜|2m+2﹣1|时，点 C 与 D 的“近似距离”为|2m+1|，
当 m≥0 时，m＜2m+1，
解得：m＞﹣1，
∴m≥0，则|2m+1|≥1，
当﹣＜m＜0 时，﹣m＜2m+1，
解得：m＞﹣，
∴﹣＜m＜0，则|2m+1|＞，
当 m≤﹣时，﹣m＜﹣2m﹣1，
解得：m＜﹣1，则|2m+1|＞1，
∴|m﹣0|的最小值为，此时m＝﹣，C（，﹣）．
综上所述，点 C 与 D 的“近似距离”的最小值为：，
相应的 C 点坐标为：（，﹣）．
故答案为：，（，﹣）．
【点评】本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值、绝对值不等式等知识；本题综合性强，正确理解新定义“近似距离”是解题的关键．
25．（10分）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．
（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点 E．求证：PM＝PE；
（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．
（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的数量关系．

【分析】（1）根据平行线的性质证得∠MBP＝∠ECP再根据BP＝CP，∠BPM＝∠CPE即可得到△BPM≌△CPE，得到PM＝PE．
（2）延长MP与NC的延长线相交于点E．证明△BPM≌△CPE（ASA），推出BM＝CE，求出△MNE的面积即可解决问题．
（3）分两种情形：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，分别利用三角形中位线定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMA＝∠CNM＝90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP＝∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP＝CP，
又∵∠BPM＝∠CPE，
∴△BPM≌△CPE（ASA），
∴PM＝PE
（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN＝∠CNM＝90°
∴∠BMN+∠CNM＝180°，
∴BM∥CN
∴∠MBP＝∠ECP，
又∵P为BC中点，
∴BP＝CP，
又∵∠BPM＝∠CPE，
∴△BPM≌△CPE（ASA），
∴PM＝PE，S△PBM＝S△PCE，
∴AE＝CN+CE＝4，
∵S△BMP+S△CNP＝7，
∴S△PNE＝7，
∴S△MNE＝2S△PNE＝14，
∴×MN×4＝14，
∴MN＝7．

（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，

∵PG⊥a，CN⊥a，
∴PG∥CN，
∵PM＝PE，
∴MG＝GN，
∴PG＝EN＝（CN﹣EC），
∵EC＝BM，
∴PG＝（CN﹣BM）．
如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，延长MP交NC的延长线于Q．

∵PG⊥a，CN⊥a，
∴PG∥CN，
∵BM∥CQ，
∴∠BMP＝∠Q，
∵∠BPM＝∠CPQ，BP＝CP，
∴△PMB≌△PQC（AAS），
∴PM＝PQ，BM＝CQ，
∴MG＝GN，
∴PG＝AQ＝（CN+BM）．
综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，梯形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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