2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团江铃学校九年级（上）开学数学试卷（Word解析版）

2022-2023学年江西省南昌二十八中教育集团江铃学校九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是(    )

A.  B.  C. 或 D.

4. 如图，▱的对角线，相交于点，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 一次数学测验中，某学习小组六名同学的成绩单位：分分别是，，，，，则该小组的平均成绩是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 化简的结果为______．
8. 如图所示，一棵高的树被风刮断了，树顶落在离树根处，则折断处的高度为______．

9. 如图，在中，，为中点，，则______．

10. 函数与的图象如图所示，根据图象可知，不等式的解集是______．

11. 若数据，，，的众数和中位数都是，则这组数据的方差是______．
12. 如图，在长方形中，，，点是的中点，点在边上运动，若是腰长为的等腰三角形，则的长为__          ____ ．

三、计算题（本大题共1小题，共3分）

13. 计算：．
    如图，▱中，为边的中点，连接并与的延长线交于点，求证：．

四、解答题（本大题共10小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    如图，把一块直角三角形其中土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米．
    判断的形状，并说明理由；
    求图中阴影部分土地的面积．

15. 本小题分
    已知，请用无刻度直尺画图．
    在图中，画一个与面积相等，且以为边的平行四边形；
    在图中，画一个与面积相等，且以点为一顶点的正方形．
     

16. 本小题分
    在直角坐标系中，直线过和两点，且与轴，轴分别交于，两点．
    求直线的函数关系式；
    求的面积．

17. 本小题分
    某校八年级学生在一次射击训练中，随机抽取名学生的成绩如下表，请回答问题：

填空：名学生的射击成绩的众数是______环，中位数是______环．
求这名学生的平均成绩．
若环含环以上评为优秀射手，试估计全年级名学生中有多少是优秀射手？

18. 本小题分
    小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长单位：小时的一组数据，将所得数据分为四组：，：，：，：，并绘制成两幅不完整的统计图，如图：
    
    根据以上信息，解答下列问题：
    小明一共抽样调查了______名同学；
    小明说，他的睡眠时间是所抽查同学的睡眠时间的中位数，据此推测他的睡眠时间落在的“组别”是______组；
    在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为______；
    小明所在学校共有名学生，估计该校最近一周大约有______名学生睡眠时长不足小时．
19. 本小题分
    如图，在▱中，是它的一条对角线，过、两点分别作，，、为垂足．
    求证：四边形是平行四边形．
    若，，，过点作，求的长．

20. 本小题分
    如图，直线经过点，．
    求直线的解析式；
    若直线与直线相交于点，求点的坐标．

21. 本小题分
    小刚去超市购买画笔，第一次花元买了若干支型画笔，第二次超市推荐了型画笔，但型画笔比型画笔的单价贵元，他又花元买了相同支数的型画笔．
    超市型画笔单价多少元？
    小刚使用两种画笔后，决定以后使用型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过支，则每支型画笔打九折；若一次购买超过支，则前支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的型画笔支，购买费用为元，请写出关于的函数关系式．
    在的优惠方案下，若小刚计划用元购买型画笔，则能购买多少支型画笔？
22. 本小题分
    数学概念
    我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形．
    回忆旧知
    在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称．
    知识运用
    已知四边形是等对角线四边形，图中四边形的四个顶点分别是四边形四条边的中点，图中四边形的边，边，则______
    A.四边形、都是等对角线四边形
    B.四边形、都不是等对角线四边形
    C.四边形是等对角线四边形，四边形不是等对角线四边形
    D.四边形不是等对角线四边形，四边形是等对角线四边形
    
    概念证明
    规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形．
    已知：如图，在等腰梯形中，，，．
    求证：等腰梯形是等对角线四边形．
    类比迁移
    在七年级下学习三角形的时候，我们曾用来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
    
    请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系．
23. 本小题分
    模型建立：如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于求证：≌；
    模型应用：已知直线与轴交于点，与轴交于点，在左侧过点作线段，使，，过点，作直线，求直线的解析式；
    如图，矩形，为坐标原点，的坐标为，，分别在坐标轴上，是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，不是最简二次根式，故B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当第三边是斜边时，则有第三边的平方；
当第三边是直角边时，则有第三边的平方．
则第三边长的长为：或．
故选：．
此题要分情况考虑：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时．
考查了勾股定理，关键是熟练运用勾股定理，注意此类题的两种情况．
 

4.【答案】 

【解析】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在一次函数中，，，
一次函数的图象过第一、二、三象限．
故选：．
根据函数系数结合一次函数图象与系数的关系，即可得出该函数图象过第一、二、三象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握当、时函数图象过第一、二、三象限是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查算术平均数的意义和求法，掌握公式理解意义是前提．
利用求算术平均数的计算公式进行计算即可．求出几个数的和除以数据的个数．
【解答】
解：分，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据二次根式的性质进行化简．
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
 

8.【答案】米 

【解析】解：如图：米，米，，
，
设米，则米，
即，
解得：，
米，
折断处的高度为米．
故答案为：米．
根据勾股定理即可求得树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解： 为直角三角形，且为的中点，
，
而，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
据直角三角形的性质得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为．
故答案为：．
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

11.【答案】 

【解析】解：数据，，，的众数和中位数都是，
，
这组数据的平均数是，
则方差为，
故答案为：．
先根据众数和中位数的定义求出的值，再求出平均数，继而根据方差公式计算可得．
本题主要考查方差，根据众数和中位数的定义求得的值，掌握方差的计算公式是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：，为的中点，
，
四边形是矩形，，
，，
有三种情况：，作的垂直平分线，交于，

此时在的垂直平分线上，
即，则，
，
即此种情况不存在；
当时，由勾股定理得：；
当时，有和两种情况，过作于，

由勾股定理得：，
即；，
所以的长是或或，
故答案为：或或．
根据矩形的性质得出，，求出，画出符合题意的三种情况，再根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
 

13.【答案】解：原式

；
证明：四边形是平行四边形，
，，
；
为中点，
，
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据二次根式乘除法则进行计算即可；
证明≌即可得结论．
本题考查了实数的运算，平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

14.【答案】解：是直角三角形，
理由：，米，米，
米，
米，米，
，
，
是直角三角形；

图中阴影部分土地的面积平方米． 

【解析】先由勾股定理求出米，再由勾股定理的逆定理证出即可；
由三角形面积公式求解即可．
本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

15.【答案】解：若设每个小方格面积为，则的面积为，
则以为边的平行四边形的高应为，正方形的边长应为．
如图所示：平行四边形即为所求；
如图所示：正方形即为所求．

 

【解析】此题主要考查了格点作图以及平行四边形、正方形的性质，正确应用网格是解题关键．
利用平行四边形的性质以及其面积求法进而得出答案；
利用正方形的性质以及勾股定理进而得出答案．
 

16.【答案】解：设直线的函数关系式为，
把，代入得，
解方程组得，
直线的函数关系式为；

当时，，，
当，，
解得，
，
． 

【解析】把两点坐标代入函数解析式得到关于、的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式；
求出直线与坐标轴的交点，代入三角形面积公式即可．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，在平面直角坐标系中求三角形的面积，找出点的坐标或边的长度是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：射击成绩出现次数最多的是环，共出现次，因此众数是环，射击成绩从小到大排列后处在第、位的数都是环，因此中位数是环，
故答案为：，；

环，
答：这名学生的平均成绩为环；
人，
答：估计全年级名学生中有名是优秀射手．
根据众数、中位数的意义将名学生的射击成绩排序后找出第、位两个数的平均数即为中位数，出现次数最多的数是众数；
根据平均数的计算方法进行计算即可；
样本估计总体，用样本中优秀人数的所占的百分比估计总体中优秀的百分比，用总人数乘以这个百分比即可．
本题考查平均数、众数、中位数的意义及求法，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排序后，处在中间位置的一个数或两个数的平均数，样本估计总体也是统计中常用方法．
 

18.【答案】       

【解析】解：小明一共抽样调查了：名，
故答案为：；
由统计图可知，中位数落在组，
故小明的睡眠时间落在的“组别”是组，
故答案为：；
，
即在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
名，
即估计该校最近一周大约有名学生睡眠不足小时，
故答案为：．
根据组的人数和所占的百分比，可以计算出抽取的学生人数；
根据统计图中的数据，可以写出中位数落在哪一组，本题得以解决；
根据直方图中的数据和中的结果，可以计算出组对应的扇形圆心角的度数；
根据直方图中的数据，可以计算出该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足小时．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】证明：如图，连接交于点

四边形是平行四边形
，，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形；
解：在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，且，可证四边形是平行四边形；
由勾股定理可求，，得出，由平行四边形面积和三角形面积公式可求的长．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：直线经过点、，
，
解方程得：，
直线的解析式为；

直线与直线相交于点，
解方程组：，
解得：，
点的坐标为． 

【解析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
将两函数联立求出交点即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两函数交点求法，正确得出解析式是解题关键．
 

21.【答案】解：设超市型画笔单价为元，则型画笔单价为元．
根据题意得，，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：超市型画笔单价为元；
由题意知，
当小刚购买的型画笔支数时，费用为，
当小刚购买的型画笔支数时，费用为．
所以，关于的函数关系式为其中是正整数；
当时，
解得，
，
不合题意，舍去；
当时，解得，符合题意．
答：若小刚计划用元购买型画笔，则能购买支型画笔． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是：理解题意找到等量关系列出方程；理解超市给出的优惠方案，进行分类讨论，得出函数关系式；根据函数关系式中自变量的取值范围对答案进行取舍．
设超市型画笔单价为元，则型画笔单价为元．根据等量关系：第一次花元买型画笔的支数第二次花元买型画笔的支数列出方程，求解即可；
根据超市给出的优惠方案，分与两种情况进行讨论，利用费用单价数量分别列出关于的函数关系式；
将分别代入中所求的函数解析式，根据的范围确定答案．
 

22.【答案】解：在我们学习过的四边形中，矩形属于等对角线四边形．
．
证明：过点作，交于点．

，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
．
等腰梯形是等对角线四边形．
四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系，如图所示．
 

【解析】

【分析】
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、等腰梯形的性质的证明、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会圆转化的思想思考问题，把四边形问题转化为三角形问题解决，学会添加常用辅助线，构造全等三角形．
依据矩形的性质即可得出结论；
证得四边形是菱形，四边形是菱形，即可得到四边形、都不是等对角线四边形；
过点作，交于点首先证明四边形是平行四边形，推出，又，推出，推出，推出，即，再证明≌即可．
模仿三角形和一些特殊三角形之间的关系，画出图形即可．
【解答】
解：见答案；
四边形是等对角线四边形，
，
又图中四边形的四个顶点分别是四边形四条边的中点，
，，且，
四边形是菱形，而与不一定相等，
四边形不是等对角线四边形．
图中四边形的边，边，又，
四边形是菱形，而与不一定相等，
四边形不是等对角线四边形．
四边形、都不是等对角线四边形，
故选：；
见答案．
见答案．  

23.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌；

解：如图，过作轴于点，

直线与轴交于点，与轴交于点，
令可求得，令可求得，
，，
同可证得≌，
，，
，
，且，
设直线解析式为，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为；

解：的坐标为，
，，
如图，当，点与点重合时，，

点在的中垂线上，即点横坐标为，
点坐标
当点坐标时，
，
，
，
，
，
点的坐标为；
如图，当时，，点不与点重合时，过点作，交于，交于，则，

，，
，且，，
≌，
，，
设点，
，，
，
，
，
点的坐标为；
如图，当时，，过点作，交于，过点作于，则，

同理得≌，
，，
设点，
，，，
，
，
，
点的坐标为；
综上所述：点坐标为：或或． 

【解析】由条件可求得，利用可证明≌；
过作轴于点，由直线解析式可求得、的坐标，利用模型结论可得，，从而可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式；
分三种情况考虑：当时，，分点与点重合，点与点不重合，当时，，由全等三角形的性质可得点坐标．
本题为一次函数的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．