湘教版（2019）必修 第一册第1章 集合与逻辑1.1 集合学案设计

第2课时　表示集合的方法

教材要点

要点一　集合的表示方法

1．列举法

把集合中的元素____________出来，叫作________．常用格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．

状元随笔　列举法表示集合时的4个关注点

(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．

(2)集合中的元素必须是明确的．

(3)集合中的元素不能重复．

(4)集合中的元素可以是任何事物．

2．描述法

把集合中元素________，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合．这叫作________．一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性，有些集合用一句描述起来不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．

状元随笔　描述法表示集合时的3个关注点

(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；

(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；

(3)不能出现未被说明的字母．

要点二　区间

1．区间的几何表示(a<b)

2．实数集R的区间表示

实数集R可以用区间表示为________，“∞”读作“无穷大”(或“无穷”)；“－∞”读作“负无穷大”(或“负无穷”)；“＋∞”读作“正无穷大”(或“正无穷”)．

3．无穷大的几何表示

状元随笔　关于区间的3点说明：

(1)区间实质上是一类特殊数集的另一种表示，并不是所有的数的集合都能用区间表示，如{0，1，2}就不能用区间表示．

(2)区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a 称为区间(a，b)或[a，b]的长度．

(3)用“－∞”或“＋∞”作为区间端点时，需用开区间符号．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(　　)

(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.(　　)

(3)∞是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．(　　)

(4)集合{x|x＞3}与集合{t|t＞3}相等．(　　)

2．集合{x∈N|x－3＜2}用列举法表示是(　　)

A．{1，2，3，4}　　　　　B．{1，2，3，4，5}

C．{0，1，2，3，4，5}    D．{0，1，2，3，4}

3．把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列举法表示为(　　)

A．{1，3}           B．{x|x＝1，x＝3}

C．{x2－4x＋3＝0}    D．{x＝1，x＝3}

4．把集合{x|x≥0}用区间表示为________．

题型1　列举法表示集合

例1　用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；

(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；

(4)由所有正整数构成的集合．

方法归纳

用列举法表示集合应注意的两点

(1)应先弄清集合中的元素是什么．是数，是点，还是其他元素．

(2)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素．

跟踪训练1　用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；

(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；

(3)一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的图象的交点组成的集合D.

题型2　描述法表示集合

例2　用描述法表示下列集合：

(1)小于10的所有非负整数构成的集合；

(2)数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合；

(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合；

(4)集合{1，3，5，7，…}．

方法归纳

1．用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．

2．若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．

跟踪训练2　用描述法表示下列集合：

(1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．

题型3　集合表示方法的综合应用

角度1　用适当的方法表示集合

例3　用适当的方法表示下列集合

(1)被3除余1的自然数组成的集合；

(2)自然数的平方组成的集合；

(3)方程组的解集；

(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的集合．

方法归纳

根据集合中元素所具有的属性选择适当的方法，列举法的特征是能清楚地展现集合的元素，通常用于元素个数较少的集合，当集合中元素个数较多或无限时，通常不宜采用列举法，应选择描述法．描述法形式简单，用于元素具有明显的共同特征的集合，当元素的共同特征不易寻找，或元素的限制条件较多时，则不宜采用描述法．

跟踪训练3　用适当的方法表示下列集合：

(1)所有奇数组成的集合B；

(2)二次函数y＝x2的图象上所有点的纵坐标组成的集合；

(3)D＝{(x，y)|x＋y＝5，x∈N*，y∈N*}．

(4)构成英文单词mathematics的全体字母．

角度2　已知集合中元素个数求参数

例4　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．

变式探究　已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至少有一个，求m的取值范围．

方法归纳

1．解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点．

2．解集合与含有参数的方程的综合问题时，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果，需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用．

跟踪训练4　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.

易错辨析　混淆点集与数集致误

例5　用列举法表示集合正确的是(　　)

A．(－1，1)，(0，0)    B．{(－1，1)，(0，0)}

C．{x＝－1或0，y＝1或0}    D．{－1，0，1}

解析：解方程组可得或故答案为{(－1，1)，(0，0)}．故选B.

答案：B

易错警示

课堂十分钟

1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)

A．{1，1}    B．{1}

C．{x＝1}    D．{x2－2x＋1＝0}

2．设集合A＝{－1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x∉A}，则B＝(　　)

A．{－1}       B．{2}

C．{－1，2}    D．{1，2}

3．下列集合的表示方法正确的是(　　)

A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}

B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}

C．{全体整数}

D．实数集可表示为R

4．用区间表示下列数集：

(1){x|2＜x≤4}＝________；

(2){x|x＞－1，且x≠2}＝________．

5．用另一种方法表示下列集合．

(1){绝对值不大于2的整数}；

(2){能被3整除，且小于10的正数}；

(3){x|x＝|x|，x＜5且x∈Z}；

(4){(x，y)|x＋y＝6，x，y均为正整数}；

(5){－3，－1，1，3，5}．

第2课时　表示集合的方法

新知初探·课前预习

要点一

1．一一列举　列举法

2．共有的　描述法

要点二

1．[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]

2．(－∞，＋∞)

3．[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，b]　(－∞，b)

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：由x－3<2得x<5，又x∈N，所以集合表示为{0，1，2，3，4}．

故选D.

答案：D

3．解析：解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列举法表示解集为{1，3}．

答案：A

4．答案：[0，＋∞)

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．

(2)方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．

(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即所求交点是(0，1)，故交点组成的集合为{(0，1)}．

(4)正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．

跟踪训练1　解析：(1)因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}．

(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，

所以B＝{－3，3}．

(3)由得

所以一次函数y＝x＋2与y＝－2x＋5的交点为(1，3)，所以D＝{(1，3)}．

例2　解析：(1)小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x|0≤x<10，x∈Z}；

(2)数轴上与原点的距离大于3 的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|>3}；

(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的特征是横、纵坐标符号相反，因此，构成的集合用描述法可表示为{(x，y)|xy<0}；

(4)集合{1，3，5，7，…}内的元素是全体正奇数，用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}．

跟踪训练2　解析：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N＋.所以正偶数可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}．

(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．

(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．

例3　解析：(1)描述法：{x|x＝3k＋1，k∈N}．

(2)列举法：{0，12，22，32，…}，也可用描述法：{x|x＝n2，n∈N}．

(3)列举法：{(2，1)}．描述法：

(4)描述法：{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．

跟踪训练3　解析：(1)描述法：B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}．

(2)描述法：{y|y＝x2}．

(3)列举法：{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}．

(4)列举法：{m，a，t，h，e，i，c，s}．

例4　解析：①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意；

②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．由①②知m＝0或m≥.

变式探究　解析：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，由例题可知，当m＝0或m＝时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m>0，即m<且m≠0.所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为m≤.

跟踪训练4　解析：(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}．

[课堂十分钟]

1．解析：∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.

答案：B

2．解析：当x＝－1时，2－(－1)＝3∉A；当x＝1时，2－1＝1∈A；当x＝2时，2－2＝0∉A.∴B＝{－1，2}．故选C.

答案：C

3．解析：选项A中应是xy＜0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{　}”与“全体”意思重复．故选D.

答案：D

4．答案：(1)(2，4]　(2)(－1，2)

5．答案：(1){－2，－1，0，1，2}；

(2){3，6，9}；

(3){0，1，2，3，4}；

(4){(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}；

(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．