2021学年第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.2 指数函数导学案及答案

这是一份2021学年第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.2 指数函数导学案及答案，共14页。

教材要点
要点一 比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用____________的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用__________的变化规律来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．
要点二 解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的________求解．
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为________________，再借助y＝ax的________求解．
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
要点三 指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．
(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有__________的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性________．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝ax(a＞0且a≠1)的最小值为0.( )
(2)y＝21－x是R上的增函数．( )
(3)若0.1a＞0.1b，则a＞b.( )
(4)由于y＝ax(a＞0，且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数．( )
2．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝1x B．y＝|x|
C．y＝2x D．y＝x3
3．下列判断正确的是( )
A．1.51.5＞1.52 B．0.52＜0.53
C．e2＜2e D．0.90.2＞0.90.5
4．函数y＝2|x|的单调递减区间是________．
题型1 指数函数单调性的应用
角度1 比较大小
例1 (1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是( )
A．1.52.5＜1.53.2 B．0.6－1.2＞0.6－1.5
C．1.50.3＞0.81.2 D．0.30.4＜0.20.5
(2)比较下列各值的大小：4313，223，-233，3412.
方法归纳
比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较．角度2 解简单的指数不等式
例2 (1)不等式3x－2＞1的解集为________．
(2)若ax＋1＞1a5-3x(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
方法归纳
解与指数相关的不等式的策略
底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解．
跟踪训练1 (1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，则a、b、c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜c＜a D．a＜c＜b
(2)解不等式(13)x2PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX-2≤3.
题型2 与指数函数有关的复合函数的单调性
例3 (1)函数y＝31x的单调递减区间是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
(2)求函数y＝ax2＋2x－3的单调区间．
方法归纳
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝(13)x2-2x，判断函数f(x)的单调性．
题型3 指数函数性质的综合应用
例4 已知函数f(x)＝1－a·3x3x+1(2b－6＜x＜b)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数；
(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．
方法归纳
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．
(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝12x-1+12·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)证明：f(x)＞0.
易错辨析 忽视对指数函数的底数分类讨论致误
例5 若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为a2，则a的值为( )
A．12 B．32 C．23或2 D．12或32
解析：当a＞1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，
故有a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．
当0＜a＜1时，y＝ax在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2，
故有a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)．
综上，a＝32或a＝12.
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．c＞b＞a B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
2．设f(x)＝12x，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在-2，1上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为( )
A．12 B．14或12
C．116 D．12或116
4．不等式23－2x＜0.53x－4的解集为________．
5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在[0，3]上的值域．
第2课时 指数函数的图象与性质(2)
新知初探·课前预习
要点一
(1)指数函数 (2)指数函数图象 (3)中间值
要点二
(1)单调性 (2)以a为底的指数幂 单调性
要点三
(1)相同 (2)相同 相反
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.
答案：D
3．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，
所以0.90.2＞
答案：D
4．解析：函数y＝2|x|的图象如图．由图可知，函数y＝2|x|的单调递减区间是(－∞，0].
答案：(－∞，0]
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)A中，函数y＝1.5x在R上是增函数，∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2，A正确；B中，函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5，B不正确；C中，由指数函数的性质，知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正确；D中，在同一直角坐标系内，画出y＝0.3x，y＝0.2x两个函数的图象，由图象得0.30.4>0.20.5，D不正确．故选BD.
(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：①负数：-233；②大于1的数：4313，223；③大于0且小于1的数：3412. 也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=(43)x，y=2x 的图象，再分别取x=13，x=23，比较对应函数值的大小，如图) 故有-233<3412<4313<223.
答案：(1)BD 2-233<3412<4313<223
例2 解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．
(2)因为ax＋1＞1a5-3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.
综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，
当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
答案：(1)(2，＋∞) (2)见解析
跟踪训练1 解析：(1)因为函数y＝x0.1在0，+∞上为增函数，则a＝20.1>0.30.1＝c，
指数函数y＝0.3x为R上的减函数，则b＝0.33<0.30.1＝c.
因此，b(2) (13)x2PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX-2＝32-x2≤3，∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1，解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
答案：(1)C (2)见解析
例3 解析：(1)设u＝1x，则y＝3u，对任意的0u2.
又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(0，＋∞)上是减函数．
对任意的x1u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(－∞，0)上是减函数．所以函数y＝31x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．故选D.
(2)设y＝au，u＝x2＋2x－3，
由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．
当a>1时，y关于u为增函数；当0∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)；
当0答案：(1)D (2)见解析
跟踪训练2 解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝13u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝13u在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴y＝(13)x2-2x在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
例4 解析：(1)函数f(x)＝1－a·3x3x+1(2b－6＜x＜b)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)恒成立，即1－a·3-x3-x+1＝－1＋a·3x3x+1，
整理得(a－2)(3x＋1)＝0，
所以a＝2，
因为2b－6＋b＝0，解得b＝2，
所以a＝2，b＝2.
(2)证明：由(1)得f(x)＝1－2·3x3x+1，x∈(－2，2)，
设任意取x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1-2·3x13x1+1-1-2·3x23x2+1＝23x2-3x13x1+13x2+1，
因为x1＜x2，所以3x1<3x2，所以3x2-3x1＞0，
而3x1+1>0，3x2＋1＞0，
所以23x2-3x13x1+13x2+1>0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数．
(3)f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，所以f(m－2)＞－f(2m＋1)，
因为函数f(x)是奇函数，所以f(m－2)＞f(－2m－1)，
因为函数f(x)是区间(－2，2)上的减函数，
所以m-2<-2m-1-2所以实数m的取值范围是0，13.
跟踪训练3 解析：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪0，+∞．
(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．
令g(x)＝12x-1+12＝2x+122x-1，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．
∵g(－x)＝2-x+122-x-1＝1+2x21-2x＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，
∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，
∴f(x)＝12x-1+12·x3为偶函数．
(3)证明：当x>0时，2x>1，
∴2x－1>0，∴12x-1+12>0.
∵x3>0，∴f(x)>0.
由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪0，+∞，恒有f(x)>0.
[课堂十分钟]
1．解析：因为40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c.
答案：C
2．解析：因为f(－x)＝12-x＝12x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x＞0时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上是减函数，
答案：D
3．解析：函数f(x)＝ax在-2，1上：
当0当a>1时，f(x)单调递增，最大值为f(1)＝a＝4，最小值f(－2)＝a－2＝m，即有m＝116；
综上，有m＝12或m＝116.
答案：D
4．解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}．
答案：{x|x<1}
5．解析：(1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝
2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].
(2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝18，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝18，所以f(x)的值域为18，2.
易错原因
纠错心得
忽视对底数a分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论，误认为最大值为a2，最小值为a，由a2－a＝a2，解得a＝32，漏掉了另一种情况致误．
由于指数函数的单调性，根据底数与1的大小关系判断，因此涉及含参数的指数函数单调性问题时要根据底数与1的大小关系分类讨论．