九年级数学上册人教版·北京市门头沟区期末试卷附答案

2021-2022学年度第一学期期末试卷

九年级数学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1. 已知，则下列比例式成立的是(     )

A.  B.  C.  D.

2. 二次函数的顶点坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知⊙的半径为，点到圆心的距离为，那么点与⊙的位置关系是（    ）．

A. 点在⊙外 B. 点在⊙内 C. 点在⊙上 D. 无法确定

4. 在中，，，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦，，则等于（    ）.

A.  B.  C.  D.

6. 如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如果与都在函数的图象上，且，那么的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D. 任意实数

8. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 已知＝，那么＝_____．

10. 颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是_____米．

11. 如果两个相似三角形相似比是，那么这两个相似三角形的周长比是_____．

12. 如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是_____cm2．

13. 把二次函数y=x2﹣2x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式为_____．

14. 写出一个图象位于第一，三象限的反比例函数的表达式______．

15. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步．

16. 函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本题共68分，第17～22题每小题5分，23～26题每小题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：．

18. 已知：如图，在中，点D在BC上，点E在AC上，DE与AB不平行添加一个条件______，使得∽，然后再加以证明．

19. 下面是小明设计的“作等腰三角形外接圆”的尺规作图过程.

已知：如图1，在中，AB=AC.

求作：等腰的外接圆.

作法：

①如图2，作的平分线交BC于D；

②作线段AB的垂直平分线EF；

③EF与AD交于点O；

④以点O为圆心，以OB为半径作圆.

所以，就是所求作的等腰的外接圆.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留痕迹）；

（2）完成下面的证明.

AB=AC，，

_________________________.

AB的垂直平分线EF与AD交于点O，

OA=OB，OB=OC

（填写理由：______________________________________）

OA=OB=OC.

20. 已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：

（1）求该二次函数的表达式；

（2）直接写出该二次函数图象与轴的交点坐标.

21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．

（1）求证：△ABC∽△CBD；

（2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．

22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．

（1）求反比例函数y=的解析式；

（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P坐标．

23. “永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们先在点处用高 1.5 米的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．求永定楼的高．（结果保留根号）

24. 在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边和足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围和两边）．设，．

（1）求与之间的关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当矩形花园的面积为时，求的长；

（3）如果在点处有一棵树（不考虑粗细），它与墙和的距离分别是和，如果要将这棵树围在矩形花园内部（含边界），直接写出矩形花园面积的最大值．

25. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）求证：∠ADC=∠AOF；

（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）；

（2）如果该抛物线的顶点恰好在轴上，求它的表达式；

（3）如果，，三点均在抛物线上，且总有，结合图象，直接写出取值范围．

27. 在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．

(1)如图1，当△ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系，并证明;

(2)如图2，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE的数量关系．

28. 如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C 的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．

（1）如图1，如果线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______．

（2）如图2，如果、、、、、．那么的“关联线段”有______（填序号，可多选）．

①线段；②线段；③线段

（3）如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．

（4）如图4，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______．

参考答案与解析

一、选择题

1. B          2. B          3. A          4. C

5. C          6. D          7. A          8.C

二、填空题

9.        10. 12        11.        12.        13. y=(x−1)²+2.  

14.                 15. 6                          16. ①③（③①）

三、解答题

17.解：

．

．

18.解：添加条件为：，

理由：，

，

∽．

故答案为．

19. 解：（1）补全图形；

（2）AD垂直平分BC.（或AD⊥BC，BD=DC）；线段垂直平分线上点到线段两端距离相等.

20. 解：（1）由抛物线经过三点（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，抛物线对称轴为直线,顶点坐标为(1，-4).

设抛物线表达式为

将(0,-3)点代入，解得

∴二次函数的表达式为

（2）二次函数图象与轴的交点坐标为（3，0）和（-1，0）.

21.解：（1）∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°．

∴∠A+∠ACD=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠DCB+∠ACD=90°．

∴∠A=∠DCB．

又∵∠ACB=∠BDC=90°，

∴△ABC∽△CBD；

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∴CD=，

∵CD⊥AB，

∴BD=．

22. 解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．

∴n=﹣2×（﹣1）=2

∴点A的坐标为（﹣1，2）

∵点A在反比例函数的图象上．

∴k=﹣2

∴反比例函数的解析式是y=﹣．

（2）∵A（-1，2），

∴OA=，

∵点P在坐标轴上，

∴当点P在x轴上时设P（x，0），

∵PA=OA，

∴，

解得x=-2；

当点P在y轴上时，设P（0，y），

∴，

解得y=4；

当点P在坐标原点，则P（0，0）舍去．

∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4）

23. 解：根据题意，得，．

设为．

在中，，

．   

同法可求．

．

解得．

．

答：永定楼的高为米．

24. 解：（1）由题意得．    ∴ ．

（2）由题意结合（1）可得：．

解得，．

答：的长为12米或16米．

（3）结合（1）中的函数关系式可得：；

又树到墙的距离为m，所以，即为；

结合二次函数的性质，∴ 当时，面积的最大值为195米．

25. 解：（1）证明：连接OD，

∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴∠ADC+∠ODA=90°，

∵OF⊥AD，

∴∠AOF+∠DAO=90°，

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠DAO，

∴∠ADC=∠AOF；

（2）设半径为r，

在Rt△OCD中，，

∴，

∴，

∵OA=r，

∴AC=OC-OA=2r，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵OF⊥AD，

∴OF∥BD，

∴，

∴OE=4，

∵，

∴，

∴．

26. 解：（1）由题意得．

对称轴为直线，顶点坐标为；

（2）∵抛物线的顶点恰好在x轴上，

，

解得，

∴抛物线的表达式为：；

（3）根据题意可得：对称轴为，，开口向上，

分两种情况进行讨论：

①当时，

∵ ，

∴可得：，

不等式组无解；

②当时，可得：

，

解得：，

综合可得：．

27.解：（1）①依题意，补全图形，如图1所示.

猜想：∠BAE=∠BCD.

理由如下：

∵CD⊥AB,AE⊥BC，

∴∠BAE﹢∠B=90°,

∠BCD﹢∠B=90°.

∴∠BAE=∠BCD.

②证明：如图2，在AE上截取AF=CE.

连接DF.

∵∠BAC=45°,CD⊥AB,

∴△ACD等腰直角三角形.

∴AD=CD.

又∠BAE=∠BCD,

∴△ADF≌△CDE（SAS）.

∴DF=DE, ∠ADF=∠CDE.

∵AB⊥CD,

∴∠ADF﹢∠FDC=90°.

∴∠CDE﹢∠FDC=∠EDF=90°.

∴△EDF是等腰直角三角形.

∴EF=.

∵AF+EF=AE,

∴CE+DE=AE.   

（2）依题意补全图形，如图3所示.

在CE上截取CF=AE，连接DF

∵CD⊥AD，AE⊥BC

∴∠ADC=∠AEC=90°

∴∠EAB+∠ABE=90°，∠DBC+∠DCF=90°，∠ABE=∠CBD

∴∠EAD=∠DCF

∵∠BAC=45°

∴∠DCA=45°

∴AD=CD

又∵CF=AE

∴△ADE≌△CDF

∴ED=DF

∠ADE=∠CDF

∵∠CDF+∠ADF=90°

∴∠ADE+∠ADF=90°

∴∠EDF=90°

∴△EDF是等腰直角三角形

∴

∵CE=CF+EF

∴

∴线段AE，CE，DE的数量关系：CE-DE=AE.

故答案为：CE-DE=AE

28.解：（1）如图所示：作OD与相切，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴此时的角度最小，且，

∴切点在线段OD上，

∴OA的关联角为；

（2）如图所示：连接，，，，

∵，，

∴，

∴切点不在线段上，不是的“关联线段”；

∵，，

∴，，

∵，

∴是的“关联线段”；

∵，

∴是的“关联线段”；

（3），，线段BD绕点O的旋转路线的半径为1的上，

当OD与相切时，

由（1）可得：，

∴当时，线段BD是的“关联线段”，

故答案为：；

（4）如图所示：当m取最大值时，

M点运动最小半径是O到过点的直线l的距离是m，

∵，，

∴，

∴，

∴m的最大值为4，

如图所示：当m取小值时，

开始时存在ME与相切，

∵，，

∴，

∵，及点M所在位置，

∴，

综上可得：，

故答案为：．