九年级数学上册人教版·天津市南开区期末试卷附答案

天津市南开区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．下列事件中，是随机事件的是（　　）

A．画一个三角形，其内角和是180° 

B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5 

C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片 

D．明天太阳从东方升起

3．对于反比例函数y＝，下列判断正确的是（　　）

A．图象经过点（﹣1，3） 

B．图象在第二、四象限 

C．不论x为何值，y＞0 

D．图象所在的第一象限内，y随x的增大而减小

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝25°，若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（　　）

A．25° B．40° C．90° D．50°

5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（　　）

A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD

7．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y＝上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（　　）

A．x1•x2＜0 B．x1•x3＜0 C．x2•x3＜0 D．x1+x2＜0

8．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x和y＝的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是（　　）

A． B． 

C． D．

9．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，PO交⊙O于点C，下列结论中不一定成立的是（　　）

A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．AB⊥OP D．∠PAB＝2∠APO

10．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4图象的顶点在坐标轴上，则m的值一定不是（　　）

A．2 B．6 C．﹣2 D．0

11．如图，⊙O的半径为1，点O到直线m的距离为2，点P是直线m上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（　　）

A．1 B． C．2 D．

12．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，结合图象分析下列结论：

①2a+b＝0；

②abc＞0；

③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；

④当1＜x＜4时，有y2＜y1；

⑤抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）．

其中正确的是（　　）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①③⑤

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分

13．如果4a＝5b，则＝　   　．

14．现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是　   　．

15．下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有　   　．（填序号）

①y＝﹣2x+1，②y＝，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）

16．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为（3，4），顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过顶点B，则k的值为　   　．

17．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为　   　（结果保留根号和π）．

18．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的直尺在网格中作出△ABC的高AH，并简要说明作图方法（不要求证明）：　   　．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19．有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．

（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出现的所有可能结果共有几种．

（2）求两次摸出的球的标号相同的概率．

（3）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．

20．如图，A、B是双曲线y＝上的点，点A的坐标是（1，4），B是线段AC的中点．

（1）求k的值；

（2）求△OAC的面积．

21．如图，在等边三角形ABC中，点E为CB边上一点（与点C不重合），点F是AC边上一点，若AB＝5，BE＝2，∠AEF＝60°，求AF的长度．

22．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．

（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；

（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．

23．如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，

（1）求出s关于x的函数关系式；

（2）求s的最大值与最小值．

24．平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．

（1）如图（1）当OP＝2时，求点Q的坐标；

（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S．求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；

（3）当BP+BQ＝8时，求点Q的坐标（直接写出结果即可）．

25．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中a＞0．

（1）若函数y的图象经过点（1，﹣2），求函数y的解析式；

（2）若抛物线与x轴的两交点坐标为A，B（A点在B点的左侧），与y轴的交点为C，满足OC＝2OB时，求a的值．

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．

参考答案与试题解析

一．选择题

1． C    2． B   3． D   4． B   5． C   6． D   7．A   8．B   9．D   10．D  11．B 12．C

二．填空题

13．     14．    15．③④    16． 32   17．6﹣π．

18．取格点M，N，分别连接BM，CN，BM，CN交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求．

三、解答题

19．解：（1）画树状图如下：

两次摸球出现的所有可能结果共有16种；

（2）两次摸出的球的标号相同有4种，

所以，P（两次摸出的球的标号相同）＝＝；

（3）两次摸出的球的标号的和等于4有3次，

所以，P（两次摸出的球的标号的和等于4）＝．

20．解：（1）∵A是双曲线y＝上的点，点A的坐标是（1，4），

∴把x＝1，y＝4代入y＝，得k＝1×4＝4；

（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，

∵A（1，4），

∴AD＝4，OD＝1．

又∵B为AC的中点，

∴BE＝AD＝2，且CE＝DE，

∴B点的纵坐标为2，则有B点坐标为（2，2）．

∴DE＝CE＝2﹣1＝1，即OC＝3，

∴S△OAC＝•AD•OC＝×4×3＝6．

21．解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝5，

∵BE＝2，

∴CE＝3，

∵∠AEC＝∠BAE+∠B，

即∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，

而∠AEF＝60°，∠B＝60°，

∴∠BAE＝∠CEF，

∵∠B＝∠C，

∴△ABE∽△ECF，

∴＝，即＝，

∴CF＝，

∴AF＝AC﹣CF＝5﹣＝．

22． 解：（1）连接OD，

∵OA为半径的圆与BC相切于点D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODB＝90°，

∵在△ABC中，∠C＝90°，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∴∠CAD＝∠ADO＝25°，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA＝25°，

∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，

∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；

（2）连接OF，OD，

由（1）得：OD∥AC，

∴∠AFO＝∠FOD，

∵OA＝OF，点F为的中点，

∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，

∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，

∵OA＝OD＝2，

∴OB＝2OD＝4，

∴AB＝OA+OB＝6．

23． 解：（1）平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2．

则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m，

根据题意得：S＝x（45﹣x）＝﹣x2+x（17≤x≤27）；

（2）∵S＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣45x）＝﹣（x﹣）2+（17≤x≤27），

∵17≤x≤27，a＝﹣＜0，

∴当x＝m时，S取得最大值，此时S＝m2，

∵|27﹣|＜|17﹣|，

∴x＝17m时，S取得最小值，此时S＝m2，

答：s的最大值是m2，最小值是m2．

24．解：（1）如图（1），过P点作PG⊥x轴，垂足为G，

过Q点作QH⊥x轴，垂足为H．

∵四边形OABC是正方形，

∴∠AOB＝45°．

∵B（6，6），

∴OA＝6．

在Rt△OPG中，

，

∴OG＝PG＝2．

∴AG＝OA﹣OG＝4．

∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，

∴AQ＝AP，BQ＝OP．

∴Rt△AQH≌Rt△APG．

∴AH＝PG＝2，QH＝AG＝4．

∴Q（8，4）；

（2）如图（2），过P点作PG⊥x轴，垂足为G．

∵△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，

∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°．

∵P（x，y），∠POG＝45°，

∴OG＝PG＝x，

∴AG＝6﹣x．

在Rt△APG中，根据勾股定理，

AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）2+x2，

整理得AP2＝2x2﹣12x+36．

∵S△APQ＝AP•AQ，

∴S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．

∴当S取最小值时，有x＝3，

∴P（3，3）；

（3）Q（13，﹣1）．

理由如下：如图（3），

∵△AOP绕点A旋转得到△ABQ，

∴OP＝BQ．

∵BP+BQ＝，

∴BP+OP＝．

∵OB＝，

∴点P在OB的延长线上．

∴OP﹣BP＝OB＝．

由

解得：OP＝，BP＝．

∴，

∴AG＝OG﹣OA＝1，

同（1）：Rt△AQH≌Rt△APG，

∴AH＝PG＝7，QH＝AG＝1，

∴OH＝OA+AH＝6+7＝13，

∴Q（13，﹣1）．

25． 解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得

﹣a2﹣a＝﹣2，

整理，得（a+1）（﹣a）＝﹣2，

解得a1＝﹣2，a2＝1，

函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；

函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，

综上所述：函数y的表达式y＝x2﹣x﹣2；

（2）当y＝0时x2﹣x﹣a2﹣a＝0

整理，得

（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，

解得x1＝﹣a，x2＝a+1，

y的图象与x轴的交点是A（﹣a，0），B（a+1，0），

当x＝0时，y＝﹣a2﹣a．即C（0，﹣a2﹣a）

∵OC＝2OB，

∴|﹣a2﹣a|＝2|a+1|．

∵a＞0，

∴a2+a＝2a+2，

整理，得

a2﹣a﹣2＝0，

（a﹣2）（a+1）＝0，

解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去）．

（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，

（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，

由m＜n，得0＜x0≤；

当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，

由m＜n，得＜x0＜1，

综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．