2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第4讲　三角函数的图象与性质Word版含解析

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第4讲　三角函数的图象与性质




1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)；
在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象



定义域
x∈R
x∈R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
在
(k∈Z)上递增；
在(k∈Z)上递减
在[(2k－1)π，2kπ](k
∈Z)上递增；
在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减
在(k
∈Z)上递增
最值
x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
奇
偶
奇
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
直线x＝kπ＋，k∈Z
直线x＝kπ，k∈Z
无对称轴
最小正周期
2π
2π
π

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)和y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝.函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acos(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝.函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acos(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝.
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
4．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A．
B．
C．
D．
答案　D
解析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.故选D.
2．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是(　　)

答案　B
解析　当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝0；当x＝π时，y＝1；当x＝时，y＝2；当x＝2π时，y＝1.结合正弦函数的图象可知B正确．故选B.
3．下列函数中，周期为2π的奇函数为(　　)
A．y＝sincos B．y＝sin2x
C．y＝tan2x D．y＝sin2x＋cos2x
答案　A
解析　y＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的周期为；y＝sin2x＋cos2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确．故选A．
4．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．故选A．
5．(多选)(2021·银川三模)已知函数f(x)＝cos，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期是π
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)在上为减函数
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
答案　ABC
解析　对于函数f(x)＝cos，它的最小正周期为＝π，故A正确；令x＝－，求得f(x)＝0，可得f(x)的图象关于点对称，故B正确；当x∈时，2x＋∈[0，π]，故f(x)在上为减函数，故C正确；令x＝，求得f(x)＝0，故f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误．故选ABC．
6．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________.
答案　5　＋2kπ(k∈Z)
解析　函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．



考向一　三角函数的定义域和值域
例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．R
答案　C
解析　由cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
(2)函数y＝lg sin2x＋的定义域为________.
答案　∪
解析　由得
∴－3≤x＜－或0＜x＜.∴函数y＝lg sin2x＋的定义域为∪.
(3)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cosx的最小值为________.
答案　－4
解析　∵f(x)＝sin－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1＝－22＋，－1≤cosx≤1，∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.
(4)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为________.
答案　2
解析　令t＝sinx－cosx，又x∈[0，π]，∴t＝sin，t∈[－1，]．由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，即sinxcosx＝.∴原函数变为y＝t＋，t∈[－1，]．即y＝－t2＋t＋.∴当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1；当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1.故函数的最大值与最小值的差为2.
　　
1．三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)．
(2)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴．
(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．
2．三角函数值域的求法
(1)利用y＝sinx和y＝cosx的值域直接求．
(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．
(3)把sinx或cosx看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域，如y＝asin2x＋bsinx＋c，可先设sinx＝t，转换为关于t的二次函数求值域．
(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域．
　1.(2021·新乡三模)已知函数f(x)＝4sin＋1的定义域是[0，m]，值域为[－1,5]，则m的最大值是(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　∵x∈[0，m]，∴2x－∈.∵f(x)的值域为[－1,5]，∴≤2m－≤，解得≤m≤，∴m的最大值为.故选A．
2．函数y＝lg (sinx－cosx)的定义域是________.
答案　
解析　要使函数有意义，必须使sinx－cosx>0.利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：

在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，在内sinx>cosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为.
考向二　三角函数的单调性
例2　(1)(2021·临汾模拟)已知θ＝，则下列各数中最大的是(　　)
A．sin(sinθ) B．sin(cosθ)
C．cos(sinθ) D．cos(cosθ)
答案　D
解析　当θ＝时，sinθ＝，cosθ＝，则sin(sinθ)＝sin＝cos，sin(cosθ)＝sin＝cos，cos(sinθ)＝cos，cos(cosθ)＝cos.∵00，k∈Z，得k＝1，所以ω∈.
　　
1．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，利用基本三角函数(y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx)的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间．
提醒：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ωb>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
答案　A
解析　由2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.所以f(x)＝2cos的单调递减区间为(k∈Z)，所以f(x)在上单调递减，所以f>f>f，即a>b>c.
4．(2022·山东德州开学考试)函数y＝|tanx|的单调递增区间为________，单调递减区间为________.
答案　，k∈Z　，k∈Z
解析　作出函数y＝|tanx|的图象，如图．

观察图象可知，函数y＝|tanx|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
5．(2022·新余期末)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
答案　
解析　∵f(x)＝sinωx(ω>0)的图象过原点，∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sinωx单调递增；当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx单调递减．由f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，知＝＝，∴ω＝.
多角度探究突破
考向三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
角度　　三角函数的周期性
例3　(1)(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
答案　C
解析　由f(x)＝sin＋cos可得f(x)＝sin，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝6π，最大值为，故选C．
(2)函数f(x)＝sin2x＋|sin2x|的周期为________.
答案　π
解析　作出函数f(x)的大致图象，如图所示．根据图象可知f(x)为周期函数，最小正周期为π.

　　若求最小正周期，可把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)或y＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)的形式，则最小正周期为T＝；三角函数式y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期为T＝.求含有绝对值符号的三角函数的周期时，可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
　6.(2021·广东汕头模拟)函数y＝sin＋cos的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
答案　C
解析　∵－＝，∴2x＋＝＋，∴y＝sin＋cos＝2cos.∴所求函数的最小正周期为＝π.
7．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________.
答案　2或3
解析　由题意知1＜＜2，即k＜π＜2k.
又k∈N，所以k＝2或k＝3.
角度　　三角函数的奇偶性
例4　已知函数y＝2sin是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B．
C． D．
答案　B
解析　因为函数y＝2sin为偶函数，所以θ＋＝kπ＋(k∈Z)．又θ∈，所以θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．故选B.
　　三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象的性质，对y＝Asin(ωx＋φ)，代入x＝0，若y＝0，则为奇函数，若y为最大值或最小值，则为偶函数．
　8.若函数y＝3cos为奇函数，则|φ|的最小值为________.
答案　
解析　依题意得，－＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ＋(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.
角度　　三角函数的对称性
例5　(1)(2021·云南、贵州、四川、广西四省模拟)已知函数f(x)＝tanx－sinxcosx，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象不关于对称
D．f(x)的图象关于(π，0)对称
答案　D
解析　因为f(x＋π)＝f(x)，所以f(x)的最小正周期不是2π，故A错误；因为f(－x)＝－f(x)≠f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象不关于y轴对称，故B错误；因为f(π－x)＝－tanx＋sinxcosx＝－f(x)，所以f(x)的图象关于对称，故C错误；因为f(2π－x)＝－tanx＋sinxcosx＝－f(x)，所以f(x)的图象关于(π，0)对称，故D正确，故选D.
(2)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称
答案　B
解析　设函数f(x)的最小正周期为T，依题意得T＝＝π，ω＝2，f(x)＝2sin.f＝2sin＝2≠0，因此函数f(x)的图象不关于点对称，A不正确；f＝2sin＝0，因此函数f(x)的图象关于点对称，B正确，D不正确；f＝2sin＝1≠±2，因此函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C不正确．故选B.
　　求函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题
(1)∵y＝sinx图象的对称中心是(kπ，0)，k∈Z，∴y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ，k∈Z解出x即可．
(2)∵y＝sinx图象的对称轴是直线x＝kπ＋，k∈Z，∴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z解出x，即可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴．
(3)注意y＝tanx图象的对称中心为(k∈Z)．
　9.(2020·全国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sinx＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于直线x＝对称；④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________.
答案　②③
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋＝－sinx－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为f＝sin＋＝cosx＋，f＝sin＋＝cosx＋，则f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x＜0时，sinx＜0，则f(x)＝sinx＋＜0＜2，命题④错误．



一、单项选择题
1．函数f(x)＝ln (cosx)的定义域为(　　)
A．
B.
C．
D.
答案　C
解析　由cosx>0解得2kπ－0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是(　　)
A．0 B．
C．1 D．
答案　D
解析　由条件可知，f(x)的周期是.由＝，得ω＝4，所以f＝tan＝tan＝.
5．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，即直线x＝0为其对称轴．∴＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝3kπ＋(k∈Z)，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.故选C．
6．(2021·广东江门一模)若f(x)＝sin，则(　　)
A．f(1)>f(2)>f(3) B．f(3)>f(2)>f(1)
C．f(2)>f(1)>f(3) D．f(1)>f(3)>f(2)
答案　A
解析　由≤2x－≤，可得≤x≤，所以函数f(x)在区间上单调递减．由于10)的最小正周期为π，且曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
答案　B
解析　∵ωx＋φ＋＝＋，∴f(x)＝coscos＝－sincos＝－sin.∵f(x)的最小正周期是π，∴＝π，∴ω＝1，则f(x)＝－sin.∵曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，∴2×＋2φ－＝kπ＋，k∈Z，∴2φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，则当k＝0时，|φ|＝，当k＝－1时，|φ|＝，则|φ|的最小值为，故选B.
二、多项选择题
9．(2021·龙岩三模)已知两个函数f(x)＝tan和g(x)＝，下列说法正确的是(　　)
A．两个函数的定义域相同 B．两个函数都是奇函数
C．两个函数的周期相同 D．两个函数的值域相同
答案　BC
解析　对于A，f(x)的定义域为＝{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，而g(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，所以A不正确；对于B，因为f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又g(－x)＝＝＝－g(x)，则g(x)也为奇函数，所以B正确；对于C，因为f(x＋2π)＝tan＝tan＝tan＝f(x)，所以f(x)的周期为2π；又g(x＋2π)＝＝＝g(x)，则g(x)的周期也为2π，所以C正确；对于D，因为f(0)＝0，而g(x)≠0，所以两个函数值域不相同，所以D不正确．故选BC．
10．(2021·泰安模拟)下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝－对称
答案　AC
解析　对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数y＝tan在上单调递增，A正确；对于B，函数y＝tan的最小正周期为T＝，所以B错误；对于C，当x＝时，2x＋＝，所以函数y＝tan的图象关于点对称，C正确；对于D，正切型函数y＝tan的图象没有对称轴，所以D错误．故选AC．
11．(2019·全国Ⅰ卷改编)关于函数f(x)＝|sinx|＋sin|x|，下述四个结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点
D．f(x)的最大值为2
答案　ABD
解析　对于A，由f(－x)＝|sin(－x)|＋sin|－x|＝|sinx|＋sin|x|＝f(x)，可得f(x)为偶函数，故A正确；对于B，当x∈时，f(x)＝|sinx|＋sin|x|＝－sinx－sinx＝－2sinx，所以f(x)在区间上单调递减，故B正确；对于C，当x∈[0，π]时，f(x)＝|sinx|＋sin|x|＝sinx＋sinx＝2sinx，当x＝0或x＝π时，f(x)＝0，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)在[－π，π]上有3个零点：－π，0，π，故C错误；对于D，由|sinx|≤1，sin|x|≤1可得f(x)＝|sinx|＋sin|x|≤2，因为f＝|sin|＋sin||＝2，所以f(x)的最大值为2，故D正确．故选ABD.
12．(2022·济南市高三上学期期末)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sinx＋sin2x，则下列结论正确的是(　　)
A．2π是f(x)的一个周期
B．f(x)在[0,2π]上有3个零点
C．f(x)的最大值为
D．f(x)在上是增函数
答案　ABC
解析　因为f(x)＝sinx＋sin2x.y＝sinx的周期是2π，y＝sin2x的周期是＝π，所以f(x)＝sinx＋sin2x的周期是2π，故A正确；当f(x)＝sinx＋sin2x＝0，x∈[0,2π]时，sinx＋sinxcosx＝0，sinx(1＋cosx)＝0，sinx＝0或1＋cosx＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，所以f(x)在[0,2π]上有3个零点，故B正确；f′(x)＝cosx＋cos2x＝2cos2x＋cosx－1＝(2cosx－1)(cosx＋1)，cosx＋1≥0，当