2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第8章第6讲　空间向量及其运算Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第8章第6讲　空间向量及其运算Word版含解析，共20页。试卷主要包含了空间向量的有关概念，空间向量的有关定理，两向量的夹角，数量积及坐标运算等内容，欢迎下载使用。

1．空间向量的有关概念
2．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使eq \x(\s\up1(09))a＝λb.
(2)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使eq \x(\s\up1(10))p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得eq \x(\s\up1(11))p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个eq \x(\s\up1(12))基底.
3．两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作eq \x(\s\up1(13))〈a，b〉，通常规定eq \x(\s\up1(14))0≤〈a，b〉≤π.
4．数量积及坐标运算
(1)两个向量的数量积
①a·b＝eq \x(\s\up1(15))|a||b|cs〈a，b〉；
②a⊥b⇔eq \x(\s\up1(16))a·b＝0(a，b为非零向量)；
③|a|2＝eq \x(\s\up1(17))a2.
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝eq \x(\s\up1(18))λ(a·b)，λ∈R；
②交换律：a·b＝eq \x(\s\up1(19))b·a；
③分配律：(a＋b)·c＝eq \x(\s\up1(20))a·c＋b·c.
(3)向量的坐标运算
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))，或对空间任一点O，有eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))，或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．
1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，eq \f(1,2) B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,2)
C．－3,2 D．2,2
答案 A
解析 ∵a∥b，∴b＝ka，
即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6＝kλ＋1，,2μ－1＝0，,2λ＝2k.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故选A．
2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－eq \f(14,3)
C．eq \f(14,5) D．2
答案 D
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝( )
A．eq \(D1B1,\s\up6(→)) B．eq \(D1B,\s\up6(→))
C．eq \(DB1,\s\up6(→)) D．eq \(BD1,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→))，故选D.
4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________.
答案 eq \f(65,7)
解析 由题意可知，存在实数x，y使得c＝xa＋yb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7＝2x－y，,5＝－x＋4y，,λ＝3x－2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))
5．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq \(AP,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，其中正确的是________(填序号)．
答案 ①②
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AP,\s\up6(→))＝0，所以AP⊥AB，AP⊥AD，则①②正确；因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3,4)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，所以eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AP,\s\up6(→))不平行，故③错误．
6．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))
解析 由题意，设eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(OP,\s\up6(→))，即eq \(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，则eq \(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq \(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))2－eq \f(2,3)，当λ＝eq \f(4,3)时有最小值，此时点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
考向一 空间向量的线性运算
例1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AA1,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)eq \(AP,\s\up6(→))；(2)eq \(A1N,\s\up6(→))；(3)eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(NC1,\s\up6(→)).
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(D1C1,\s\up6(→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq \f(1,2)b.
(2)∵N是BC的中点，
∴eq \(A1N,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
又eq \(NC1,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)c＋a，
∴eq \(MP,\s\up6(→))＋eq \(NC1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)c))
＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(3,2)c.
用已知向量表示某一向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知向量表示出来．
1．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示eq \(OG,\s\up6(→))，eq \(MG,\s\up6(→)).
解 eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
考向二 共线向量与共面向量定理的应用
例2 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．
(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))是否与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解 (1)因为eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
所以由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．
当0