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2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第11章第4讲 事件与概率Word版含解析
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这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第11章第4讲 事件与概率Word版含解析，共24页。试卷主要包含了随机试验及其特点，样本空间，随机事件、必然事件与不可能事件，事件的关系，概率的基本性质，频率的稳定性等内容，欢迎下载使用。
1．随机试验及其特点
(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2)特点
①试验可以在相同条件下eq \x(\s\up1(01))重复进行；
②试验的所有可能结果是eq \x(\s\up1(02))明确可知的，并且eq \x(\s\up1(03))不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本空间
(1)随机试验E的每个可能的eq \x(\s\up1(04))基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2)eq \x(\s\up1(05))全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)事件：将样本空间Ω的eq \x(\s\up1(06))子集称为随机事件，简称事件．
(2)基本事件：只包含eq \x(\s\up1(07))一个样本点的事件称为基本事件，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(3)必然事件：Ω包含了所有的样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(08))总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(4)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(09))都不会发生，我们称∅为不可能事件．
4．事件的关系
5．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)eq \x(\s\up1(18))≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为eq \x(\s\up1(19))0，即P(Ω)＝eq \x(\s\up1(20))1，P(∅)＝eq \x(\s\up1(21))0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(22))P(A)＋P(B).
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝eq \x(\s\up1(23))1－P(A)，P(A)＝eq \x(\s\up1(24))1－P(B).
性质5：如果A⊆B，那么eq \x(\s\up1(25))P(A)≤P(B).
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(26))P(A)＋P(B)－P(A∩B).
6．频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的eq \x(\s\up1(27))增大，频率偏离概率的幅度会eq \x(\s\up1(28))缩小，即事件A发生的频率ƒn(A)会逐渐稳定于事件A发生的eq \x(\s\up1(29))概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率ƒn(A)eq \x(\s\up1(30))估计概率P(A)．
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件eq \x\t(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．下列事件中，是必然事件的是( )
A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为4,5,6的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝lgax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
答案 A
解析 A中3,4,5满足勾股定理，故为必然事件；B中4,5,6不满足勾股定理，故为不可能事件；C中二次方程判别式小于0，故为不可能事件；D中a>1时为增函数，0＜a＜1时为减函数，故为随机事件．故选A.
2．(2021·浙江嘉兴期末)从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
答案 A
解析 对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件；对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件．所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组．故选A.
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq \f(1,7)，都是白子的概率是eq \f(12,35)，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.eq \f(1,7) B．eq \f(12,35)
C．eq \f(17,35) D．1
答案 C
解析 设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35).即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是eq \f(17,35).故选C.
4．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________.
答案 0.96
解析 设事件A＝“甲熔丝熔断”，事件B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.
5．(2021·天津宝坻区期末)某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为________；不少于9环的概率为________.
答案 eq \f(1,10) eq \f(1,5)
解析 由题意得这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为eq \f(10,100)＝eq \f(1,10)，不少于9环的概率为eq \f(12＋8,100)＝eq \f(1,5).
6．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”，则这个试验的样本空间为________.
答案 Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}
解析 这个试验的样本空间为Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
考向一 事件的关系及运算
例1 (1)(多选)(2021·福建三明期末)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有( )
A．A＝B
B．B⊆C
C．D∩E＝∅
D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
答案 ABD
解析 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω，故D正确．故选ABD.
(2)从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“全是次品”．
解 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品．
①“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．
②“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．
1．准确把握互斥事件与对立事件
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
1.(多选)下列说法错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
答案 BCD
解析 对于A，对立事件是互斥事件中其中一个不发生，另一个必然发生的事件，故A正确；对于B，只有互斥事件才满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都满足，故B错误；对于C，若A，B，C三事件两两互斥，不一定(A＋B)是C的对立事件，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，故C错误；对于D，对立事件的概率之和为1，但概率之和为1的两个事件不一定是对立事件，故D错误．故选BCD.
2．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件A＝“甲分得语文书”，事件B＝“乙分得数学书”，事件C＝“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )
A．A与B是不可能事件
B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件
D．B与C既是互斥事件也是对立事件
答案 C
解析 “A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D错误．故选C.
考向二 随机事件的概率与频率
例2 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)根据题意，Y＝460＋eq \f(X－70,10)×5＝eq \f(X,2)＋425，
故P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq \f(3,10).
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义可求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
3.(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解 (1)由题意，知样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，
故所求概率为eq \f(50,2000)＝0.025.
(2)没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．
故所求概率为eq \f(1628,2000)＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
多角度探究突破
考向三 概率基本性质的应用
角度 互斥事件的概率
例3 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解 (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得
P(A)＝eq \f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1000)＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，
故所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中，新司机获赔4000元”．
由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
角度 对立事件的概率
例4 (2021·扬州摸底)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解 (1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10).
角度 概率的一般加法公式
例5 某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率．
解 记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P(A)＝eq \f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)
＝eq \f(35,113)，
P(B)＝eq \f(800＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)
＝eq \f(1300,11300)＝eq \f(13,113)，
P(A∩B)＝eq \f(500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)
＝eq \f(5,113)，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(35,113)＋eq \f(13,113)－eq \f(5,113)＝eq \f(43,113).
求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．
4.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券中奖的概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝eq \f(1,1000)，P(B)＝eq \f(10,1000)＝eq \f(1,100)，
P(C)＝eq \f(50,1000)＝eq \f(1,20).
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”为事件M，
则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,1000)＋eq \f(1,100)＋eq \f(1,20)＝eq \f(61,1000).
故1张奖券中奖的概率为eq \f(61,1000).
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1000).
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1000).
5．甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率．
解 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
一、单项选择题
1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
答案 A
解析 依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D既是互斥事件也是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．故选A.
2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
答案 C
解析 “点落在x轴上”这一事件记为M，则M＝{(－9，0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1，0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9个样本点．故选C.
3．(2021·江苏对口单招统招)逻辑表达式等于( )
A．A∪eq \(B,\s\up6(－)) B．eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))
C.eq \(A,\s\up6(－))∩B D．A∩eq \(B,\s\up6(－))
答案 D
解析 如图，eq \(A,\s\up6(－))∪B类似于(∁UA)∪B，则类似于∁U((∁UA)∪B)＝A∩(∁UB)，即＝A∩eq \(B,\s\up6(－)).故选D.
4．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
答案 B
解析 由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1600－1200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者eq \f(900,50)＝18(名)．故选B.
5．同时掷3枚质地均匀的硬币，至少有1枚硬币正面向上的概率是( )
A.eq \f(7,8) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,8)
答案 A
解析 由题意，知本题是一个等可能事件的概率，同时掷3枚质地均匀的硬币，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，只有1种结果，所以至少有一枚正面向上的概率是1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8).故选A.
6．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A.eq \f(7,10) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(1,10)
答案 B
解析 解法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为eq \f(18,30)＝eq \f(3,5).故选B.
解法二：设事件A为“摸出的数为偶数”，事件B为“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(6,30)＝eq \f(1,5)，P(A∩B)＝eq \f(3,30)＝eq \f(1,10)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(3,5).故选B.
7．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq \f(1,2)，乙胜的概率为eq \f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )
A.eq \f(1,6)，eq \f(1,6) B．eq \f(1,2)，eq \f(2,3)
C．eq \f(1,6)，eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)，eq \f(1,2)
答案 C
解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或设“甲不输”为事件A，则A可看作是“乙胜”的对立事件，所以PA＝1－\f(1,3)＝\f(2,3))).故选C.
8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
答案 A
解析 由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<2－a<1，,0<3a－4<1，,2a－2≤1，))解得eq \f(4,3)二、多项选择题
9．(2021·重庆一中模拟)概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过实验和观察的方法可以得到实验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复实验次数为20,100,500时各做5组实验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率如表所示：
用折线图表示频率的波动情况如下图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有( )
A．实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．实验次数较少时，频率波动较大；实验次数较多时，频率波动较小，所以实验时，实验次数越少越好
C．随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值(即随机事件发生的概率)附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机实验得到事件发生的频率即为概率
答案 AC
解析 实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，A正确；实验次数较少时，频率波动较大；实验次数较多时，频率波动较小，所以实验时，实验次数越多越好，B错误；随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值(即随机事件发生的概率)附近，C正确，D错误．故选AC.
10．某射击运动员在一次训练中的命中环数情况如下表：
记该射击运动员在一次射击中，命中7环及以上为事件A，命中7环以下为事件B，脱靶为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.42
C．P(C)＝0.03 D．P(B∪C)＝0.39
答案 ABC
解析 P(A)＝eq \f(55,100)＝0.55，故A正确；P(B)＝eq \f(42,100)＝0.42，故B正确；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.42＝0.03，故C正确；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.42＋0.03＝0.45，故D错误．故选ABC.
11．分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)，设事件M表示“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N表示“第二枚骰子的点数为偶数”，则( )
A．M与N互斥 B．M与N不对立
C．M与N相互独立 D．P(M∪N)＝eq \f(3,4)
答案 BCD
解析 事件M发生与否与事件N无关，事件N发生与否与事件M无关，∴M与N相互独立，故A错误，B，C正确；P(M∪N)＝P(M)＋P(N)－P(M∩N)＝eq \f(3,6)＋eq \f(3,6)－eq \f(3,6)×eq \f(3,6)＝eq \f(3,4)，故D正确．故选BCD.
12．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
答案 BD
解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD.
三、填空题
13．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________.
答案 (1)0.4 0.2 (2)0.6 0
解析 (1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(∅)＝0.
14．某城市2021年的空气质量状况如表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50答案 eq \f(3,5)
解析 由题意可知，2021年空气质量达到良或优的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,5).
15．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，产生如下20组随机数：966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,
725，则恰好成功1例的概率为________.
答案 0.4
解析 设“恰好成功1例”为事件A，其所包含的样本点为191,270,832,912,134,370,027,703，共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝eq \f(8,20)＝0.4.
16．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq \f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq \f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________.
答案 eq \f(8,15) eq \f(14,15)
解析 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同颜色的球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率为P＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
四、解答题
17．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率是0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解 记事件A表示“该车主购买甲种保险”；事件B表示“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；事件C表示“该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”；事件D表示“该车主甲、乙两种保险都不购买”．
(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.
(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
18．(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解 (1)估计甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为eq \f(40,100)＝0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为eq \f(28,100)＝0.28.
(2)甲分厂加工100件产品的总利润为40×(90－25)＋20×(50－25)＋20×(20－25)－20×(50＋25)＝1500元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件．
乙分厂加工100件产品的总利润为28×(90－20)＋17×(50－20)＋34×(20－20)－21×(50＋20)＝1000元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件．
故厂家应选择甲分厂承接加工业务．
19．(2021·四川成都三模)成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝450.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
注：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2]，其中eq \(x,\s\up6(－))为数据x1，x2，…，xn的平均数．
解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为
eq \f(“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量,厨余垃圾总量)＝eq \f(500,500＋50＋50)＝eq \f(5,6).
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件eq \(A,\s\up6(－))表示生活垃圾投放正确．
事件eq \(A,\s\up6(－))的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量，即P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(500＋240＋60,1000)＝0.8，所以P(A)＝1－0.8＝0.2.
(3)当a＝450，b＝c＝0时，s2取得最大值．
因为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝150，
所以s2＝eq \f(1,3)×[(450－150)2＋(0－150)2＋(0－150)2]＝45000.
20．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.
当且仅当最高气温不低于20时Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
名称
定义
符号表示
包含
关系
一般地，若事件A发生，则事件Beq \x(\s\up1(10))一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等
关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并事
件(或
和事
件)
一般地，事件A与事件Beq \x(\s\up1(11))至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事
件(或
积事
件)
一般地，事件A与事件Beq \x(\s\up1(12))同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥
事件
一般地，如果事件A与事件Beq \x(\s\up1(13))不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝eq \x(\s\up1(14))∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立
事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中eq \x(\s\up1(15))有且仅有一个发生，即A∪B＝eq \x(\s\up1(16))Ω，且A∩B＝eq \x(\s\up1(17))∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \(A,\s\up6(－))
A∪B＝Ω
A∩B＝∅
命中环数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
4
5
6
9
10
18
26
12
8
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(4,20)
eq \f(7,20)
eq \f(3,20)
eq \f(2,20)
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
序号
n＝20
n＝100
n＝500
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
射击次数
命中7环及以上
命中7环以下
100
55
42
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
500
50
50
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
1．随机试验及其特点
(1)定义：对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示．
(2)特点
①试验可以在相同条件下eq \x(\s\up1(01))重复进行；
②试验的所有可能结果是eq \x(\s\up1(02))明确可知的，并且eq \x(\s\up1(03))不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．
2．样本空间
(1)随机试验E的每个可能的eq \x(\s\up1(04))基本结果称为样本点，常用ω表示；
(2)eq \x(\s\up1(05))全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示样本空间，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
3．随机事件、必然事件与不可能事件
(1)事件：将样本空间Ω的eq \x(\s\up1(06))子集称为随机事件，简称事件．
(2)基本事件：只包含eq \x(\s\up1(07))一个样本点的事件称为基本事件，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．
(3)必然事件：Ω包含了所有的样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(08))总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．
(4)不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中eq \x(\s\up1(09))都不会发生，我们称∅为不可能事件．
4．事件的关系
5．概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)eq \x(\s\up1(18))≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为eq \x(\s\up1(19))0，即P(Ω)＝eq \x(\s\up1(20))1，P(∅)＝eq \x(\s\up1(21))0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(22))P(A)＋P(B).
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝eq \x(\s\up1(23))1－P(A)，P(A)＝eq \x(\s\up1(24))1－P(B).
性质5：如果A⊆B，那么eq \x(\s\up1(25))P(A)≤P(B).
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝eq \x(\s\up1(26))P(A)＋P(B)－P(A∩B).
6．频率的稳定性
在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的eq \x(\s\up1(27))增大，频率偏离概率的幅度会eq \x(\s\up1(28))缩小，即事件A发生的频率ƒn(A)会逐渐稳定于事件A发生的eq \x(\s\up1(29))概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率ƒn(A)eq \x(\s\up1(30))估计概率P(A)．
1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件eq \x\t(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
1．下列事件中，是必然事件的是( )
A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为4,5,6的三条线段可以构成一个直角三角形
C．方程x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝lgax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
答案 A
解析 A中3,4,5满足勾股定理，故为必然事件；B中4,5,6不满足勾股定理，故为不可能事件；C中二次方程判别式小于0，故为不可能事件；D中a>1时为增函数，0＜a＜1时为减函数，故为随机事件．故选A.
2．(2021·浙江嘉兴期末)从装有两个白球和两个黄球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有( )
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
答案 A
解析 对于①，至少有1个白球包括1个白球1个黄球，2个都是白球；至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以这两个事件有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，所以至少有1个黄球与都是黄球有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，恰有1个白球与恰有1个黄球是同一个事件，所以不是互斥事件；对于④，至少有1个黄球包括1个白球1个黄球，2个都是黄球，与都是白球不可能同时发生，且一次试验中有一个必发生，所以是对立事件．所以这4组事件中互斥而不对立的事件共有0组．故选A.
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq \f(1,7)，都是白子的概率是eq \f(12,35)，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.eq \f(1,7) B．eq \f(12,35)
C．eq \f(17,35) D．1
答案 C
解析 设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35).即从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是eq \f(17,35).故选C.
4．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________.
答案 0.96
解析 设事件A＝“甲熔丝熔断”，事件B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.
5．(2021·天津宝坻区期末)某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为________；不少于9环的概率为________.
答案 eq \f(1,10) eq \f(1,5)
解析 由题意得这名运动员只射击一次，估计射击成绩是6环的概率为eq \f(10,100)＝eq \f(1,10)，不少于9环的概率为eq \f(12＋8,100)＝eq \f(1,5).
6．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”，则这个试验的样本空间为________.
答案 Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}
解析 这个试验的样本空间为Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．
考向一 事件的关系及运算
例1 (1)(多选)(2021·福建三明期末)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”，B＝“恰有一个奇数”，
C＝“至少有一个是奇数”，D＝“两个数都是偶数”，E＝“至多有一个奇数”．
下列结论正确的有( )
A．A＝B
B．B⊆C
C．D∩E＝∅
D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
答案 ABD
解析 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω，故D正确．故选ABD.
(2)从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；
②“至少有1件次品”和“全是次品”．
解 从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品．
①“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．
②“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．
1．准确把握互斥事件与对立事件
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
1.(多选)下列说法错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件
答案 BCD
解析 对于A，对立事件是互斥事件中其中一个不发生，另一个必然发生的事件，故A正确；对于B，只有互斥事件才满足P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都满足，故B错误；对于C，若A，B，C三事件两两互斥，不一定(A＋B)是C的对立事件，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，故C错误；对于D，对立事件的概率之和为1，但概率之和为1的两个事件不一定是对立事件，故D错误．故选BCD.
2．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件A＝“甲分得语文书”，事件B＝“乙分得数学书”，事件C＝“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )
A．A与B是不可能事件
B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件
D．B与C既是互斥事件也是对立事件
答案 C
解析 “A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D错误．故选C.
考向二 随机事件的概率与频率
例2 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)根据题意，Y＝460＋eq \f(X－70,10)×5＝eq \f(X,2)＋425，
故P(发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时)＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq \f(3,10).
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义可求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
3.(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)
解 (1)由题意，知样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000.
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，
故所求概率为eq \f(50,2000)＝0.025.
(2)没有获得好评的电影共有140×0.6＋50×0.8＋300×0.85＋200×0.75＋800×0.8＋510×0.9＝1628(部)．
故所求概率为eq \f(1628,2000)＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．
多角度探究突破
考向三 概率基本性质的应用
角度 互斥事件的概率
例3 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解 (1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，得
P(A)＝eq \f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1000)＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，
故所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中，新司机获赔4000元”．
由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.
角度 对立事件的概率
例4 (2021·扬州摸底)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
解 (1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq \f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq \f(20,100)＝eq \f(1,5)，P(A2)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10).
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(7,10).
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq \f(7,10).
角度 概率的一般加法公式
例5 某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，求该职工为女职工或为第三分厂职工的概率．
解 记事件A为“抽取的为女职工”，记事件B为“抽取的为第三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工”，A∪B表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有
P(A)＝eq \f(1600＋1400＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)
＝eq \f(35,113)，
P(B)＝eq \f(800＋500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)
＝eq \f(1300,11300)＝eq \f(13,113)，
P(A∩B)＝eq \f(500,4000＋1600＋3000＋1400＋800＋500)
＝eq \f(5,113)，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(35,113)＋eq \f(13,113)－eq \f(5,113)＝eq \f(43,113).
求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))，即运用逆向思维，特别是“至少”“至多”型题目，用间接法就显得较简便．
4.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券中奖的概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)P(A)＝eq \f(1,1000)，P(B)＝eq \f(10,1000)＝eq \f(1,100)，
P(C)＝eq \f(50,1000)＝eq \f(1,20).
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”为事件M，
则M＝A∪B∪C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1,1000)＋eq \f(1,100)＋eq \f(1,20)＝eq \f(61,1000).
故1张奖券中奖的概率为eq \f(61,1000).
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1000).
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1000).
5．甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率．
解 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件．设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
一、单项选择题
1．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
答案 A
解析 依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D既是互斥事件也是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．故选A.
2．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个 B．8个
C．9个 D．10个
答案 C
解析 “点落在x轴上”这一事件记为M，则M＝{(－9，0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1，0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9个样本点．故选C.
3．(2021·江苏对口单招统招)逻辑表达式等于( )
A．A∪eq \(B,\s\up6(－)) B．eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))
C.eq \(A,\s\up6(－))∩B D．A∩eq \(B,\s\up6(－))
答案 D
解析 如图，eq \(A,\s\up6(－))∪B类似于(∁UA)∪B，则类似于∁U((∁UA)∪B)＝A∩(∁UB)，即＝A∩eq \(B,\s\up6(－)).故选D.
4．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )
A．10名 B．18名
C．24名 D．32名
答案 B
解析 由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1600－1200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者eq \f(900,50)＝18(名)．故选B.
5．同时掷3枚质地均匀的硬币，至少有1枚硬币正面向上的概率是( )
A.eq \f(7,8) B．eq \f(5,8)
C．eq \f(3,8) D．eq \f(1,8)
答案 A
解析 由题意，知本题是一个等可能事件的概率，同时掷3枚质地均匀的硬币，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，只有1种结果，所以至少有一枚正面向上的概率是1－eq \f(1,8)＝eq \f(7,8).故选A.
6．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A.eq \f(7,10) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(1,10)
答案 B
解析 解法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为eq \f(18,30)＝eq \f(3,5).故选B.
解法二：设事件A为“摸出的数为偶数”，事件B为“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(6,30)＝eq \f(1,5)，P(A∩B)＝eq \f(3,30)＝eq \f(1,10)，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,10)＝eq \f(3,5).故选B.
7．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为eq \f(1,2)，乙胜的概率为eq \f(1,3)，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )
A.eq \f(1,6)，eq \f(1,6) B．eq \f(1,2)，eq \f(2,3)
C．eq \f(1,6)，eq \f(2,3) D．eq \f(2,3)，eq \f(1,2)
答案 C
解析 “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或设“甲不输”为事件A，则A可看作是“乙胜”的对立事件，所以PA＝1－\f(1,3)＝\f(2,3))).故选C.
8．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝3a－4，则实数a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(3,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
答案 A
解析 由题意，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0
9．(2021·重庆一中模拟)概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过实验和观察的方法可以得到实验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复实验次数为20,100,500时各做5组实验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”．发生的频数和频率如表所示：
用折线图表示频率的波动情况如下图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有( )
A．实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B．实验次数较少时，频率波动较大；实验次数较多时，频率波动较小，所以实验时，实验次数越少越好
C．随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值(即随机事件发生的概率)附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机实验得到事件发生的频率即为概率
答案 AC
解析 实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性，A正确；实验次数较少时，频率波动较大；实验次数较多时，频率波动较小，所以实验时，实验次数越多越好，B错误；随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值(即随机事件发生的概率)附近，C正确，D错误．故选AC.
10．某射击运动员在一次训练中的命中环数情况如下表：
记该射击运动员在一次射击中，命中7环及以上为事件A，命中7环以下为事件B，脱靶为事件C，用频率估计概率的方法得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.42
C．P(C)＝0.03 D．P(B∪C)＝0.39
答案 ABC
解析 P(A)＝eq \f(55,100)＝0.55，故A正确；P(B)＝eq \f(42,100)＝0.42，故B正确；P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.42＝0.03，故C正确；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.42＋0.03＝0.45，故D错误．故选ABC.
11．分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6)，设事件M表示“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N表示“第二枚骰子的点数为偶数”，则( )
A．M与N互斥 B．M与N不对立
C．M与N相互独立 D．P(M∪N)＝eq \f(3,4)
答案 BCD
解析 事件M发生与否与事件N无关，事件N发生与否与事件M无关，∴M与N相互独立，故A错误，B，C正确；P(M∪N)＝P(M)＋P(N)－P(M∩N)＝eq \f(3,6)＋eq \f(3,6)－eq \f(3,6)×eq \f(3,6)＝eq \f(3,4)，故D正确．故选BCD.
12．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：
则下列说法正确的是( )
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
答案 BD
解析 “所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，C错误；所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，D正确．故选BD.
三、填空题
13．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.
(1)如果B⊆A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________.
答案 (1)0.4 0.2 (2)0.6 0
解析 (1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.
(2)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6，P(AB)＝P(∅)＝0.
14．某城市2021年的空气质量状况如表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50
解析 由题意可知，2021年空气质量达到良或优的概率为eq \f(1,10)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,5).
15．某种心脏病手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，产生如下20组随机数：966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,
725，则恰好成功1例的概率为________.
答案 0.4
解析 设“恰好成功1例”为事件A，其所包含的样本点为191,270,832,912,134,370,027,703，共8个．则恰好成功1例的概率为P(A)＝eq \f(8,20)＝0.4.
16．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq \f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq \f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________.
答案 eq \f(8,15) eq \f(14,15)
解析 由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同颜色的球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色的球的概率为P＝eq \f(7,15)＋eq \f(1,15)＝eq \f(8,15).由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq \f(1,15)＝eq \f(14,15).
四、解答题
17．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率是0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率是0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中一种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解 记事件A表示“该车主购买甲种保险”；事件B表示“该车主购买乙种保险但不购买甲种保险”；事件C表示“该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种”；事件D表示“该车主甲、乙两种保险都不购买”．
(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，
所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.
(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
18．(2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
解 (1)估计甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为eq \f(40,100)＝0.4，乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为eq \f(28,100)＝0.28.
(2)甲分厂加工100件产品的总利润为40×(90－25)＋20×(50－25)＋20×(20－25)－20×(50＋25)＝1500元，
所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件．
乙分厂加工100件产品的总利润为28×(90－20)＋17×(50－20)＋34×(20－20)－21×(50＋20)＝1000元，
所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元/件．
故厂家应选择甲分厂承接加工业务．
19．(2021·四川成都三模)成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝450.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．
注：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2]，其中eq \(x,\s\up6(－))为数据x1，x2，…，xn的平均数．
解 (1)厨余垃圾投放正确的概率约为
eq \f(“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量,厨余垃圾总量)＝eq \f(500,500＋50＋50)＝eq \f(5,6).
(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件eq \(A,\s\up6(－))表示生活垃圾投放正确．
事件eq \(A,\s\up6(－))的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量总和除以生活垃圾总量，即P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(500＋240＋60,1000)＝0.8，所以P(A)＝1－0.8＝0.2.
(3)当a＝450，b＝c＝0时，s2取得最大值．
因为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝150，
所以s2＝eq \f(1,3)×[(450－150)2＋(0－150)2＋(0－150)2]＝45000.
20．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)当且仅当最高气温低于25时，这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.
当且仅当最高气温不低于20时Y大于零，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
名称
定义
符号表示
包含
关系
一般地，若事件A发生，则事件Beq \x(\s\up1(10))一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等
关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等
A＝B
并事
件(或
和事
件)
一般地，事件A与事件Beq \x(\s\up1(11))至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事
件(或
积事
件)
一般地，事件A与事件Beq \x(\s\up1(12))同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥
事件
一般地，如果事件A与事件Beq \x(\s\up1(13))不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝eq \x(\s\up1(14))∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
对立
事件
一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中eq \x(\s\up1(15))有且仅有一个发生，即A∪B＝eq \x(\s\up1(16))Ω，且A∩B＝eq \x(\s\up1(17))∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq \(A,\s\up6(－))
A∪B＝Ω
A∩B＝∅
命中环数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
4
5
6
9
10
18
26
12
8
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(4,20)
eq \f(2,20)
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
eq \f(1,20)
eq \f(3,20)
eq \f(4,20)
eq \f(7,20)
eq \f(3,20)
eq \f(2,20)
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
赔付金额(元)
0
1000
2000
3000
4000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间
(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
序号
n＝20
n＝100
n＝500
频数
频率
频数
频率
频数
频率
1
12
0.6
56
0.56
261
0.522
2
9
0.45
50
0.55
241
0.482
3
13
0.65
48
0.48
250
0.5
4
7
0.35
55
0.55
258
0.516
5
12
0.6
52
0.52
253
0.506
射击次数
命中7环及以上
命中7环以下
100
55
42
所需时间(分钟)
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
eq \f(1,10)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(7,30)
eq \f(2,15)
eq \f(1,30)
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
500
50
50
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
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