2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第3章第9讲　函数模型的应用Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第3章第9讲　函数模型的应用Word版含解析，共24页。试卷主要包含了常见的函数模型，“喊泉”是一种地下水的声学现象等内容，欢迎下载使用。

1．常见的函数模型
2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
形如f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－eq \r(a)]和[eq \r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a)]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)，
当x＜0时，x＝－eq \r(a)时取最大值－2eq \r(a).
1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
答案 D
解析 y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.
2．在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．故选D.
3．下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是( )
A．y＝0.001ex B．y＝1000ln x
C．y＝x1000 D．y＝1000×2x
答案 A
解析 在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A．
4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案 C
解析 设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(05．(2021·广东深圳模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝nlg (1＋p)＋lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为( )
(参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631)
A．0.369 B．0.415
C．0.585 D．0.631
答案 C
解析 由题意可知，lg (100X0)＝10lg (1＋p)＋lg X0，即2＋lg X0＝10lg (1＋p)＋lg X0，∴1＋p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585.故选C．
6．已知某物体的温度Q(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律为Q＝m·2t＋21－t(t≥0，且m>0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 由题意得，m·2t＋21－t≥2恒成立(t≥0，且m>0)，又m·2t＋21－t≥2eq \r(2m)，∴2eq \r(2m)≥2，∴m≥eq \f(1,2).
考向一 利用函数图象刻画实际问题
例1 (1)(2021·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0答案 B
解析 设AD的长为x m，则CD的长为(16－x) m，则矩形ABCD的面积为x(16－x) m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0(2)(多选)血药浓度(Plasma Cncentratin)是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
答案 ABC
解析 从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．故选ABC．
用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案 D
解析 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；由图可知甲车消耗汽油最少，所以B错误；甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误；当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
2．(多选)(2021·淄博模拟)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示，下列四个论断一定正确的是( )
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点总蓄水量降低
D．4点到6点不进水不出水
答案 AC
解析 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的eq \f(1,2)，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误．
考向二 已知函数模型解决实际问题
例2 (1)(2021·连云港模拟)高压10 kV输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数；输距电流积六折，再被导线截面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚．其意义为“对于高压10 kV的架空铝线，若输电线路的输距为x km，电流为y A，导线截面为z mm2，则电压损失百分数U%＝eq \f(0.6xy,z)%.”据此可知，对于一条长度为10 km，高压为10 kV的输电线路，若当导线截面为50 mm2，电流为30 A时的电压损失百分数为U1%，当导线截面为40 mm2，电流为35 A时的电压损失百分数为U2%，则eq \f(U1,U2)＝( )
A．eq \f(40,21) B．eq \f(35,24)
C．eq \f(24,35) D．eq \f(21,40)
答案 C
解析 由题意可知U1%＝eq \f(0.6×10×30,50)%＝eq \f(18,5)%，U2%＝eq \f(0.6×10×35,40)%＝eq \f(21,4)%，∴eq \f(U1,U2)＝eq \f(24,35).故选C．
(2)(2021·江西九江模拟)碳­14年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得·法兰克·利比(Willard Frank Libby)发明，威拉得·法兰克·利比因此获得诺贝尔化学奖．碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳­14含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳­14开始减少，人们可通过检测一件古物的碳­14含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法．设Nf是生物样品中的碳­14的含量，N0是活体组织中碳­14的含量，t为生物死亡的时间(单位：年)，已知Nf＝N0· eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t,T)) (其中T为碳­14半衰期，且T＝5730)，若2021年测定某生物样本中Nf＝eq \f(8,9)N0，则此生物大概生活在( )
(参考资料：lg23≈1.585.西周：公元前1046年～前771年；晋代：公元265年～公元420年；宋代：公元907年～公元1279年；明代：公元1368年～公元1644年)
A．西周 B．晋代
C．宋代 D．明代
答案 C
解析 2021年测定某生物样本中Nf＝eq \f(8,9)N0，已知Nf＝N0 eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t,T))，∴eq \f(8,9)N0＝N0 eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t,T))，得eq \f(8,9)＝ eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t,T))，则eq \f(t,T)＝ eq lg\s\d6(\f(1,2))eq \f(8,9)＝－(lg28－lg29)＝－(3－2lg23)≈－(3－2×1.585)＝0.17，∵T＝5730，∴t＝0.17×5730＝974.1，∴2021－974.1＝1046.9，故此生物大概生活在宋代．故选C．
利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．
3.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统(Private－Key Cryptsystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y＝kx3，若明文“4”通过加密后得到密文“2”，则接收方接到密文“eq \f(1,256)”，解密后得到的明文是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)
C．2 D．eq \f(1,8)
答案 A
解析 由已知，可得当x＝4时，y＝2，所以2＝k·43，解得k＝eq \f(2,43)＝eq \f(1,32)，故y＝eq \f(1,32)x3.令y＝eq \f(1,32)x3＝eq \f(1,256)，即x3＝eq \f(1,8)，解得x＝eq \f(1,2).故选A．
4．(2021·合肥模拟)声强级(单位：dB)由公式LI＝10lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40 dB，现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为10－7 W/m2，2×10－9 W/m2，5×10－10 W/m2,9×10－11 W/m2，则这4人中达到班级要求的有( )
A．1人 B．2人
C．3人 D．4人
答案 C
解析 依题意，当I＝10－7 W/m2时，LI＝10lg eq \f(10－7,10－12)＝10lg 105＝50；当I＝2×10－9 W/m2时，LI＝10lg eq \f(2×10－9,10－12)＝10lg (2×103)＝10(lg 2＋3)＝30＋10lg 2<30＋10lg 10＝40；当I＝5×10－10 W/m2时，LI＝10lg eq \f(5×10－10,10－12)＝10lg (5×102)＝10(lg 5＋2)＝20＋10lg 5<20＋10lg 10＝30；当I＝9×10－11 W/m2时，LI＝10lg eq \f(9×10－11,10－12)＝10lg (9×10)＝10(lg 9＋1)＝10＋10lg 9<10＋10lg 10＝20.所以这4人中达到班级要求的有3人．故选C．
多角度探究突破
考向三 构建函数模型解决实际问题
角度 构造一次函数、二次函数、分段函数模型
例3 某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，
结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈Z.))
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(34,3)))2＋eq \f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
一次函数、二次函数和分段函数模型的选取及应用策略
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是正相关或负相关或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．
(2)实际问题中的面积问题、利润问题、产量问题等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车的计费与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
5.(2021·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解 (1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq \r(x).
由已知得f(1)＝k1＝eq \f(1,8)，g(1)＝k2＝eq \f(1,2)，
所以f(x)＝eq \f(1,8)x(x≥0)，g(x)＝eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0)．
(2)设投资股票类产品为x万元，则投资债券类产品为(20－x)万元．
依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝eq \f(20－x,8)＋eq \f(1,2)eq \r(x)＝eq \f(－x＋4\r(x)＋20,8)(0≤x≤20)．
所以eq \r(x)＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．
故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．
角度 构造函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(ab>0)模型
例4 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m)．
(1)求总造价y(元)关于长度x(m)的函数；
(2)当x(m)取何值时，总造价最低，并求出最低总造价．
解 (1)由矩形的长为x m，得矩形的宽为eq \f(200,x) m，则中间区域的长为(x－4) m，宽为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(200,x)－4)) m，定义域为x∈(4,50)．
则y＝100(x－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(200,x)－4))＋200×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(200－x－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(200,x)－4))))，
整理得y＝18400＋400eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(200,x)))，x∈(4,50)．
(2)因为x＋eq \f(200,x)≥2eq \r(x·\f(200,x))＝20eq \r(2)，当且仅当x＝eq \f(200,x)，即x＝10eq \r(2)∈(4,50)时取等号．
所以当x＝10eq \r(2)时，总造价最低为(18400＋8000eq \r(2))元．
应用函数f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(ab>0)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝eq \f(b,x)叠加而成的．
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(ab>0)的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(ab>0)的形式．
(3)利用模型f(x)＝ax＋eq \f(b,x)(ab>0)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．
6. (2021·福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为______.
答案 5
解析 根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利润eq \f(y,x)＝12－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))，∵x＋eq \f(25,x)≥10，当且仅当x＝5时等号成立，∴为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.
角度 构造指数函数、对数函数模型
例5 (1)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
答案 B
解析 因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝eq \f(3.28－1,6)＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝eq \f(ln 2,0.38)≈ eq \f(0.69,0.38)≈1.8天．故选B.
(2)(2021·益阳模拟)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表：
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋eq \f(1,10)lg eq \f(1,x)，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：
小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为( )
(附：10－0.3＝0.5,5－0.22＝0.7,10－0.1＝0.8)
A．0.3 B．0.5
C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 由数据可知，当x＝1时，y＝5，两个都符合，但当x＝0.1时，由y＝5＋lg x，得y＝5＋lg 0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5＋eq \f(1,10)lg 10＝5.1，与表中的数据不符合，所以选择模型y＝5＋lg x更合适，此时令y＝4.7，则lg x＝－0.3，所以x＝10－0.3＝0.5.故选B.
指数(对数)函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型．对数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
7.(2021·聊城一模)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)( )
A．23天 B．33天
C．43天 D．50天
答案 B
解析 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10%＝m·a10，,20%＝m·a20))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a10＝2，,m＝\f(1,20)，))故a＝ eq 2\s\up6(\f(1,10))，故h＝eq \f(1,20)· eq 2\s\up6(\f(1,10)t).令h＝eq \f(1,2)，∴ eq 2\s\up6(\f(t,10))＝10，∴eq \f(t,10)lg 2＝1，故t＝eq \f(10,0.3)≈33.故选B.
8．(2021·浙江省台州市模拟)5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(S,N))).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中eq \f(S,N)叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比eq \f(S,N)从1000提升至2000，则C大约增加了( )
A．10% B．30%
C．50% D．100%
答案 A
解析 当eq \f(S,N)＝1000时，C＝Wlg2(1＋1000)，
当eq \f(S,N)＝2000时，C＝Wlg2(1＋2000)，则
eq \f(Wlg21＋2000－Wlg21＋1000,Wlg21＋1000)
＝eq \f(lg22001,lg21001)－1≈eq \f(1＋lg21000,lg21000)－1＝eq \f(1,3)lg 2，
又eq \f(1,4)＝lg eq 10\s\up6(\f(1,4))＜lg 2＜lg eq 10\s\up6(\f(1,3))＝eq \f(1,3)，根据选项分析，eq \f(1,3)lg 2≈0.1，所以信噪比eq \f(S,N)从1000提升至2000，则C大约增加了10%.故选A．
一、单项选择题
1．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq \r(10,10)≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
答案 C
解析 将L＝4.9代入L＝5＋lg V，得lg V＝－0.1＝－eq \f(1,10)，所以V＝ eq 10\s\up6(-\f(1,10))＝eq \f(1,\r(10,10))≈eq \f(1,1.259)≈0.8.故选C．
2．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 设仓库建在离车站x千米处，则y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝eq \f(20,x)＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立．
3．据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，xA．75,25 B．75,16
C．60,25 D．60,16
答案 D
解析 由题意可知4解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝60，,A＝16.))故选D.
4. (2021·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积S最大时，矩形的两边长x，y应分别为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
答案 A
解析 由三角形相似得eq \f(24－y,24－8)＝eq \f(x,20)，得x＝eq \f(5,4)(24－y)，所以S＝xy＝－eq \f(5,4)(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15，经检验符合题意．
5. (2021·中卫一模)国防部新闻发言人在2020年9月24日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，如图为我空军战机在海面上空绕台巡航．已知海面上的大气压强是760 mmHg，大气压强p(单位：mmHg)和高度h(单位：m)之间的关系为p＝760e－hk(e是自然对数的底数，k是常数)，根据实验知500 m高空处的大气压强是700 mmHg，则我军战机在1000 m高空处的大气压强约是(结果保留整数)( )
A．645 mmHg B．646 mmHg
C．647 mmHg D．648 mmHg
答案 A
解析 ∵500 m高空处的大气压强是700 mmHg，∴700＝760e－500k，即e－500k＝eq \f(35,38)，当h＝1000 m时，有p＝760e－1000k＝760·(e－500k)2＝760×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(35,38)))2≈645.故选A．
6．(2021·山东烟台11月期中)如果物体的初始温度(单位：℃)为T0，则经过一定时间t(单位：分)后的温度T将满足T－Ta＝ eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t,h)) (T0－Ta)，其中Ta是环境温度，h为参数．现有一杯85 ℃的热茶，放置在25 ℃的房间中，如果热茶降温到55 ℃，需要10分钟，则欲降温到45 ℃，大约需要(取lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771) ( )
A．12分钟 B．14分钟
C．16分钟 D．18分钟
答案 C
解析 根据题意得55－25＝ eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(10,h))(85－25)，解得h＝10，所以T－25＝ eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t,10)) (85－25)，设降温到45 ℃大约需要t′分钟，则45－25＝ eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t′,10))(85－25)，即 eq eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(t′,10))＝eq \f(1,3)，所以t′＝10×eq \f(lg 3,lg 2)＝10×eq \f(0.4771,0.3010)≈15.85，故降温到45 ℃，大约需要16分钟．故选C．
7．(2021·新疆模拟)“喊泉”是一种地下水的声学现象．人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声音传入泉洞内的水池进而产生“共鸣”，激起水波，形成泉涌，声音越大，涌起的泉涌越高．已知听到的声强m与标准声调m0(m0约为10－12 W/m2)之比的常用对数称作声强m的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg eq \f(m,m0).取贝尔的15倍作为响度的常用单位，简称分贝．已知某处喊泉的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)满足关系式y＝3x，现知甲同学大喝一声激起的涌泉高度为60 m．若甲同学大喝一声声强大约相当于10个乙同学同时大喝一声的声强，则乙同学大喝一声激起的涌泉高度大约为( )
A．40 m B．45 m
C．50 m D．55 m
答案 D
解析 由题意可知y＝15lg eq \f(m,m0)＝3x，∴x＝5lg eq \f(m,m0)，又x甲＝60 m，∴lg eq \f(m,m0)＝12，而乙的声强为甲的eq \f(1,10)，∴x乙＝5lg eq \f(m,10m0)＝60－5＝55 m．故选D.
8．(2021·娄底模拟)化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs－Helmhltz方程和Van't Hff方程，可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，ΔS为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2，则ln eq \f(K1,K2)＝( )
A．eq \f(ΔHT1－T2,RT1T2) B．eq \f(ΔHT2－T1,RT1T2)
C．eq \f(ΔST1－T2,R) D．eq \f(ΔST2－T1,R)
答案 A
解析 温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ΔH－T1ΔS＝－RT1ln K1，,ΔH－T2ΔS＝－RT2ln K2，))
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln K1＝\f(T1ΔS－ΔH,RT1)，,ln K2＝\f(T2ΔS－ΔH,RT2)，))
则有ln eq \f(K1,K2)＝ln K1－ln K2＝eq \f(T1ΔS－ΔH,RT1)－eq \f(T2ΔS－ΔH,RT2)＝eq \f(ΔHT1－T2,RT1T2).故选A．
二、多项选择题
9. (2021·广东中山模拟)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的判断正确的是( )
A．在前3小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前3小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同
D．最后2小时内，该车间没有生产该产品
答案 BD
解析 由该车间5个小时某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，得前3小时的年产量逐步减少，故A错误，B正确；后2小时均没有生产，故C错误，D正确．
10．(2021·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
11. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(7,20)x＋1，0A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案 ABC
解析 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1eq \f(1,5)，故D错误．
12．已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lg nA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是( )
A．PA≥1
B．PA≤10
C．若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10
D．假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5答案 BD
解析 当nA＝1时，PA＝0，故A错误；又nA·nB＝1010且nA，nB∈N*，∴nA≤ 1010，∴PA≤lg 1010＝10，故B正确；若PA＝1，则nA＝10；若PA＝2，则nA＝100，故C错误；∵B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝eq \f(1010,5×104)＝2×105，则PA＝lg nA＝5＋lg 2.又lg 2≈0.3，∴5三、填空题
13．大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低，当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变．设地面气温为22 ℃，大约每上升1 km大气温度降低6 ℃，则y关于x的函数关系式为________.
答案 y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22－6x，0≤x<11，,－44，x≥11))
解析 由题意，知y关于x的函数为分段函数，x＝11为分界点，易得其解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22－6x，0≤x<11，,－44，x≥11.))
14．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元．
(参考数据：1.02254≈1.093,1.02255≈1.118,1.04015≈1.217)
答案 99
解析 将1000元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1000×(1＋4.01%)5≈1217(元)，故共得利息1217－1000＝217(元)．将1000元存入银行，则存满5年后的本息和为1000×(1＋2.25%)5≈1118(元)，即获利息1118－1000＝118(元)．故可以多获利息217－118＝99(元)．
15.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9eq \r(3) m2，且高度不低于eq \r(3) m．记防洪堤横断面的腰长为x m，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y m．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________m.
答案 2eq \r(3)
解析 由题意可知9eq \r(3)＝eq \f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2·eq \f(x,2)＝BC＋x，h＝eq \f(\r(3),2)x，整理可得BC＝eq \f(18,x)－eq \f(x,2)，由h≥eq \r(3)，BC>0，可得2≤x<6，∴y＝BC＋2x＝eq \f(18,x)＋eq \f(3x,2)≥2 eq \r(\f(18,x)·\f(3x,2))＝6eq \r(3)，当且仅当eq \f(18,x)＝eq \f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq \r(3)时等号成立．
16. (2021·重庆调研)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kt，0答案 2 40
解析 由题图可知，当t＝eq \f(1,2)时，y＝1，即eq \f(1,k×\f(1,2))＝1⇒k＝2.由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t≥\f(1,2)，,\f(1,2t)<0.75，))解得t>eq \f(2,3)，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过eq \f(2,3)×60＝40(分钟)人方可进入房间．
四、解答题
17．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠；每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 设该旅行团的人数为x人，每张飞机票的价格为y元，旅行社可获得的利润为w元．
(1)①当0≤x≤30时，y＝900，
②当30y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，
综上，y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(900，0≤x≤30，,－10x＋1200，30(2)当0≤x≤30时，w＝900x－15000，
wmax＝900×30－15000＝12000(元)；
当30当x＝60时，w取得最大值21000(元)，
∴每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．
18．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
给出以下三个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝lga(x＋b)(a>0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型．
解 (1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝3k＋b，,2＝5k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))
∴y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2).
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝ab3，,2＝ab5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(\r(2),4)，,b＝\r(2)，))
∴y＝eq \f(\r(2),4)·(eq \r(2))x＝ eq 2\s\up6(\f(x-3,2)).
当x＝9时，y＝ eq 2\s\up6(\f(9-3,2))＝8，不符合题意；
将(3,1)，(5,2)代入y＝lga(x＋b)(a>0，且a≠1)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝lga3＋b，,2＝lga5＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1，))
∴y＝lg2(x－1)．
当x＝9时，y＝lg28＝3；
当x＝17时，y＝lg216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令lg2(x－1)＝6，则x＝65.
∵年利润eq \f(6,65)<10%，
∴该企业要考虑转型．
函数模型
函数解析式
一次函数型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
函数性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
eq \x(\s\up1(01))单调递增
eq \x(\s\up1(02))单调递增
eq \x(\s\up1(03))单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象
的变化
随x的增大逐渐表现为与eq \x(\s\up1(04))y轴平行
随x的增大逐渐表现为与eq \x(\s\up1(05))x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有lgax x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
小数记录x
0.1
0.12
0.15
0.2
…
？
五分记录y
4.0
4.1
4.2
4.3
…
4.7
小数记录x
…
1.0
1.2
1.5
2.0
五分记录y
…
5.0
5.1
5.2
5.3
年份
2018
2019
2020
2021
…
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…