2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第4章第4讲　第3课时　利用导数研究函数的零点问题Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第4章第4讲　第3课时　利用导数研究函数的零点问题Word版含解析，共23页。试卷主要包含了若函数f与g满足等内容，欢迎下载使用。
第3课时　利用导数研究函数的零点问题



考向一　判断函数零点或方程根的个数问题
例1　(2021·潍坊一模)已知函数f(x)＝－2(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；
(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．
解　(1)f(x)＝－2的导数为f′(x)＝，
可得曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为f′＝π，f＝－a－2，
即切点为，
由于切线经过原点，可得＝π，
解得a＝－－2.
(2)因为x∈(0，π)，所以sinx>0，所以f(x)＝－2＝0，可化为x2－a－2sinx＝0，
设g(x)＝x2－a－2sinx，g′(x)＝2x－2cosx，设h(x)＝2x－2cosx，h′(x)＝2＋2sinx>0，
可得h(x)即g′(x)在(0，π)上单调递增，
又g′(0)＝－20，
所以存在x0∈，使得g′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，g′(x)0，g(x)单调递增，
又因为g(0)＝－a0，即00，f(ek)＝k－kek＝k(1－ek)0，函数f(x)是增函数；
在区间上，f′(x)1)，
则φ′(t)＝1＋－＝>0，
∴φ(t)在(1，＋∞)单调递增，则φ(t)>φ(1)＝0，
∴h′(t)>0，则h(t)在(1，＋∞)单调递增，又x1＋x2≤2ln 3，即h(t)≤2ln 3，又h(3)＝2ln 3，
∴t∈(1,3]，即的最大值为3.
　　
(1)研究函数零点问题，要通过数的计算(函数性质、特殊点的函数值等)和形的辅助，得出函数零点的可能情况．
(2)函数可变零点(函数中含有参数)性质的研究，要抓住函数在不同零点处函数值均为零，建立不同零点之间的关系，把多元问题转化为一元问题，再使用一元函数的方法进行研究．
　3.已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2.
证明　不妨设x1>x2>0，
因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，
ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，
所以＝a，欲证x1x2>e2，
即证ln x1＋ln x2>2.
因为ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)，所以即证a>，
所以原问题等价于证明>，
即ln >，
令c＝(c>1)，则不等式变为ln c>.
令h(c)＝ln c－，c>1，
所以h′(c)＝－＝>0，
所以h(c)在(1，＋∞)上单调递增，
所以h(c)>h(1)＝0，
即ln c－>0(c>1)，
因此原不等式x1x2>e2得证．
角度　　极值点偏移问题
例4　(2021·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝x(1－ln x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．借助函数f(x)的单调性解决下列问题．
(1)设x1，x2是两个不相等的正数，且x1(1－ln x1)＝x2(1－ln x2)，证明：2