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2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第3章第7讲 函数的图象Word版含解析
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这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第3章第7讲 函数的图象Word版含解析，共29页。试卷主要包含了利用描点法作函数图象，利用图象变换法作函数的图象，函数图象的对称性，画出下列函数的图象，已知函数f＝|x|，a>0.等内容，欢迎下载使用。
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、eq \x(\s\up1(01))描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点，如最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\d5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\d5(b<0，下移|b|个单位))y＝eq \x(\s\up1(02))f(x)＋b.
(2)伸缩变换
(3)对称变换
y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；
y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝eq \x(\s\up1(04))－f(－x).
(4)翻折变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――――――→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\d5(作其关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\d5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|.
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
3．函数图象的对称性
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；
③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
(3)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
③函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
④函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
1. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )
答案 A
解析 由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是匀速增长，所以只有A满足．故选A.
2．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
答案 D
解析 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，再向左平移1个单位，可得函数f(x)的图象，故f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
3．(2020·天津高考)函数y＝eq \f(4x,x2＋1)的图象大致为( )
答案 A
解析 因为f(－x)＝eq \f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x＝1时，y＝eq \f(4,1＋1)＝2＞0，排除B.故选A.
4．(2021·河源模拟)下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln (x＋1)的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (3－x)
C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (3＋x)
答案 B
解析 根据题意，设y＝g(x)的图象与函数f(x)＝ln (x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x)＝f(2－x)，即g(x)＝ln [(2－x)＋1]＝ln (3－x)．故选B.
5．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
答案 C
解析 由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；对于C，y＝f(－|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－x，x≥0，,fx，x<0，))其图象关于y轴对称，在y轴左侧与f(x)的图象相同，符合题意，所以C正确．
6．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________.
答案 {x|x≤0或1解析 作出f(x)的大致图象如图所示，不等式(x－1)f(x)≤0可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,fx≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<1，,fx≥0.))由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1考向一 画函数图象
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋2)；
(2)y＝|lg2(x＋1)|；
(3)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
(4)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)原函数解析式可化为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4，x≥2，,－x2＋4，x<2，))
其图象如图①实线所示．
(2)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图②所示．
(3)原函数解析式可化为y＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由函数y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示．
(4)因为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图④所示．
函数图象的常见画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
1.作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；
(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x＋2|；(4)y＝sin|x|.
解 (1)根据绝对值的意义，可将函数解析式化为分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))图象如图①所示．
(2)函数解析式可化为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1图象如图②所示．
(3)作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，加上y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，再向左平移2个单位，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x＋2|的图象，如图③实线部分．
(4)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故图象如图④所示．
考向二 识图与辨图
例2 (1)(2021·淄博二模)函数f(x)＝(ex＋e－x)tanx的部分图象大致为( )
答案 D
解析 因为f(x)＝(ex＋e－x)tanx，x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，定义域关于原点对称，且f(－x)＝(ex＋e－x)tan(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，故排除C；当x＝0时，f(0)＝0，故排除B；当x＝1时，f(1)>0，故排除A.故选D.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
答案 B
解析 y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(作关于y轴对称的图象))y＝f(－x)eq \(―――――――――→,\s\up7(向右平移2个单位))y＝f(2－x)
eq \(―――――――――→,\s\up7(作关于x轴对称的图象))y＝－f(2－x)．故选B.
(3)(2021·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋eq \f(1,4)，g(x)＝sinx，则图象如图的函数可能是( )
A．y＝f(x)＋g(x)－eq \f(1,4)
B．y＝f(x)－g(x)－eq \f(1,4)
C．y＝f(x)g(x)
D．y＝eq \f(gx,fx)
答案 D
解析 易知函数f(x)＝x2＋eq \f(1,4)是偶函数，g(x)＝sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数．对于A，y＝f(x)＋g(x)－eq \f(1,4)＝x2＋sinx为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；对于B，y＝f(x)－g(x)－eq \f(1,4)＝x2－sinx也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；对于C，因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，由图象可知所求函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上不单调，排除C.故选D.
函数图象的识辨
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
2.如图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1
B．y＝eq \f(2xsinx,4x＋1)
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝eq \f(x,ln x)
答案 C
解析 函数的定义域为R，排除D；当x<0时，y>0，A中，x＝－1时，y＝2－1－1－1＝－eq \f(3,2)<0，排除A；B中，当sinx＝0时，y＝0，∴y＝eq \f(2xsinx,4x＋1)有无数个零点，排除B.故选C.
3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则g(x)＝ax＋b的图象是( )
答案 A
解析 由图可知b<－1,04．(2021·德州二模)函数f(x)＝eq \f(2x＋1ln |x|,4x＋1)的部分图象大致为( )
答案 A
解析 由知，f(x)为偶函数，f(1)＝0， <0，故排除B，C；
，易知此数是非常小的正数，由此排除D.故选A.
多角度探究突破
考向三 函数图象的应用
角度 研究函数的性质
例3 (多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x，则下列结论正确的是( )
A．2是函数f(x)的周期
B．函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增
C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0
D．当x∈(3,4)时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－3
答案 ABD
解析 由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＋x，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示．由图象知B正确，C不正确；当3 利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
5.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0，))画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
角度 利用图象解决方程根的问题
例4 (2021·洛阳市第一次联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(0,3)
C．(0,2) D．(0,1)
答案 D
解析 画出函数f(x)的图象，如图所示，方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，由图可知，实数a的取值范围为(0,1)．故选D.
利用函数的图象解决方程根的问题的思路
当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
6.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为eq \f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
角度 利用函数图象解决不等式问题
例5 若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．
解 不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1令f(x)＝ax－1，g(x)＝eq \f(3,4)x－1，
当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；
当0 利用函数图象解决不等式问题的思路
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
7.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案 D
解析 因为f(x)为奇函数，所以不等式eq \f(fx－f－x,x)<0可化为eq \f(fx,x)<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．
求解函数图象问题的常用技巧
[特殊点法]
1．(2021·嘉兴二模)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(1,x＋1)))·csx的图象可能是( )
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(1,x＋1)))csx，∴f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,－x－1)＋\f(1,－x＋1)))cs(－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋1)＋\f(1,x－1)))csx＝－f(x)，∴函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(1,x＋1)))csx为奇函数，关于原点对称，排除B；当x＝eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \a\vs4\al\c1()eq \f(1,\f(1,2)－1)＋eq \f(1,1＋\f(1,2))eq \a\vs4\al\c1()×cseq \f(1,2)＝－eq \f(4,3)×cseq \f(1,2)<0，排除A，D.故选C.
答题启示
使用特殊点法排除一些不符合要求的选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．
对点训练
函数f(x)＝2csx(x∈[－π，π])的图象大致为( )
答案 C
解析 因为函数y＝csx(x∈[－π，π])是偶函数，所以函数f(x)＝2csx(x∈[－π，π])也是偶函数，故可排除A，D；又f(π)＝2csπ＝2－1＝eq \f(1,2)，故排除B.故选C.
[性质检验法]
2．(2021·哈尔滨三模)函数f(x)＝eq \f(9,ex－x－1)＋1的大致图象为( )
答案 A
解析 根据题意，设g(x)＝ex－x－1，其导数g′(x)＝ex－1，在区间(－∞，0)上，g′(x)<0，则g(x)为减函数，在区间(0，＋∞)上，g′(x)>0，则g(x)为增函数，则g(x)min＝g(0)＝0，故f(x)＝eq \f(9,ex－x－1)＋1的定义域为{x|x≠0}，且f(x)>1恒成立，其图象在直线y＝1上方，排除B，C，D.故选A.
答题启示
利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．
对点训练
函数f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))的图象是( )
答案 B
解析 因为f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))，所以x－eq \f(1,x)＝eq \f(x＋1x－1,x)>0，解得－11，所以函数的定义域为(－1,0)∪(1，＋∞)，可排除A，D.因为函数u＝x－eq \f(1,x)在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)在(－1,0)和(1，＋∞)上单调递增．故选B.
[图象变换法]
3．(多选)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0答案 ABC
解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝eq \r(x)，相应这部分图象不是一条线段，因此D不正确．故选ABC.
答题启示
有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．
对点训练
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3xx≤1，,lg\f(1,3)xx>1，))则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
答案 D
解析 解法一：先画出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3xx≤1，,lg\f(1,3)xx>1))的草图，作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象．故选D.
解法二：由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(31－xx≥0，,lg\f(1,3)1－xx<0，))故该函数的图象过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.故选D.
一、单项选择题
1．(2021·山东师范大学附属中学月考)函数y＝－ex的图象( )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
答案 D
解析 由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
2．(2021·济南市质量评估)函数y＝eq \f(x2,8)－ln |x|的图象大致为( )
答案 D
解析 令f(x)＝y＝eq \f(x2,8)－ln |x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除B；当x>0且x→0时，y→＋∞，排除A；当x＝2eq \r(2)时，y＝1－ln 2eq \r(2)<1－ln e＝0，排除C.故选D.
3．若函数f(x)＝lg2(x＋1)，且a>b>c>0，则eq \f(fa,a)，eq \f(fb,b)，eq \f(fc,c)的大小关系是( )
A.eq \f(fa,a)>eq \f(fb,b)>eq \f(fc,c)
B.eq \f(fc,c)>eq \f(fb,b)>eq \f(fa,a)
C.eq \f(fb,b)>eq \f(fa,a)>eq \f(fc,c)
D.eq \f(fa,a)>eq \f(fc,c)>eq \f(fb,b)
答案 B
解析 由已知得，eq \f(fa,a)，eq \f(fb,b)，eq \f(fc,c)可以分别看作函数f(x)＝lg2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率，结合图象(如图)可知，当a>b>c时，eq \f(fc,c)>eq \f(fb,b)>eq \f(fa,a).故选B.
4．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<－1，,ln x＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－eq \f(1,2)
B．－eq \f(5,4)
C．－1
D．－2
答案 C
解析 由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln (－1＋a)＝0，解得a＝2，b＝5，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5，x<－1，,ln x＋2，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
6．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1D．{x|－1答案 C
解析 令g(x)＝y＝lg2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图．
易知线段CB的解析式为x＋y＝2(0≤x≤2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝lg2x＋1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))∴结合图象知不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集为{x|－17. 如图，在△OAB中，A(4,0)，B(2，4)，过点P(a,0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为y＝S(a)，则函数y＝S(a)的大致图象为( )
答案 D
解析 由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y＝2(x－a)，08．(2021·长沙质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是( )
A．0 B．0或－eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,4)或eq \f(1,2) D．0或－eq \f(1,4)
答案 D
解析 因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，如图所示，由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1,1)或与曲线f(x)＝x2(0≤x≤1)相切于点A，则1＝1＋a或方程x2＝x＋a只有一个实数根．所以a＝0或Δ＝1＋4a＝0，即a＝0或a＝－eq \f(1,4).
二、多项选择题
9. (2021·潍坊二模)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
答案 ABD
解析 由图可得a1＝2，即a＝2，y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x单调递减过点(－1,2)，故A正确；y＝x－a＝x－2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确；y＝a|x|＝2|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,2－x，x<0))为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y＝|lgax|＝|lg2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确．故选ABD.
10．(2021·烟台模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数．给出四个函数：f1(x)＝lg2(x＋1)，f2(x)＝lg2(x＋2)，f3(x)＝lg2x2，f4(x)＝lg2(2x)，其中“同形”函数是( )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
答案 AC
解析 f3(x)＝lg2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除B，D；f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x，将f2(x)＝lg2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝lg2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x的图象，可知选项A是“同形”函数；将f1(x)＝lg2(x＋1)的图象沿着x轴向右平移一个单位得到y＝lg2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x的图象，可知选项C是“同形”函数．故选AC.
11．对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案 AC
解析 f(x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误；作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，C正确；由图象可知f(x)存在最小值0，D错误．故选AC.
12．(2021·湖南郴州11月质检)定义：若函数f(x)的图象经过变换Γ后所得图象对应的函数的值域与f(x)的值域相同，则称Γ是f(x)的“同值变换”．下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于f(x)的“同值变换”的是( )
A．f(x)＝x2－2x，Γ：将函数f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)＝2x－1，Γ：将函数f(x)的图象关于x轴对称
C．f(x)＝lg2x，Γ：将函数f(x)的图象关于直线y＝x对称
D．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，Γ：将函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称
答案 AD
解析 对于A，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，将函数f(x)的图象关于y轴对称可得y＝x2＋2x的图象，易知y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，符合题意；对于B，f(x)＝2x－1>－1，将函数f(x)的图象关于x轴对称可得y＝1－2x的图象，易知y＝1－2x<1，不符合题意；对于C，f(x)＝lg2x的值域为R，将函数f(x)的图象关于直线y＝x对称可得y＝2x的图象，易知y＝2x>0，不符合题意；对于D，f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，将函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称后得到的图象对应的函数的值域仍为[－1,1]，符合题意．故选AD.
三、填空题
13．若函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
答案 1
解析 因为f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)＝eq \f(ax－1＋a－2,x－1)＝a＋eq \f(a－2,x－1)，所以函数f(x)的图象关于点(1，a)对称，结合已知条件得a＝1.
14．已知函数f(x)＝|lg3x|，实数m，n满足0答案 9
解析
如图，作出函数f(x)＝|lg3x|的图象，观察可知015．(2021·吉林调研)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1，))
则f(f(0))＝________；若f(m)>1，则实数m的取值范围是________.
答案 0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
解析 f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1))的图象与直线y＝1的交点分别为(0,1)，(e,1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
16．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|ln x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.
答案 5
解析 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝eq \f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．
四、解答题
17．画出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；(2)y＝eq \f(x＋2,x－1).
解 (1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x，所以其图象如图所示．
(2)y＝eq \f(x＋2,x－1)＝1＋eq \f(3,x－1)，先作出y＝eq \f(3,x)的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝eq \f(x＋2,x－1)的图象，如图．
18．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))
(1)在如图所示的平面直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出，当x取什么值时f(x)取得最值？
解 (1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，(2,5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)＝3，当x＝5时，f(x)＝2.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(0)＝3.
19．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．
解 (1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－a，x≥0，,－xx－a，x<0，))其图象如图所示．
(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))；单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2))).
(3)由图象知，当eq \f(a,2)>1，即a>2时，
f(x)min＝f(1)＝1－a；
当0f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))＝－eq \f(a2,4).
综上，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a2,4)，02.))
20．(2021·济南模拟)设a为实数，且1解 原方程即a＝－x2＋5x－3.如图，作出函数y＝－x2＋5x－3＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋eq \f(13,4)(1当a>eq \f(13,4)或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；
当a＝eq \f(13,4)或1当3综上，当a>eq \f(13,4)或a≤1时，有0个解；当a＝eq \f(13,4)或1
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、eq \x(\s\up1(01))描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点，如最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\d5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；
y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\d5(b<0，下移|b|个单位))y＝eq \x(\s\up1(02))f(x)＋b.
(2)伸缩变换
(3)对称变换
y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；
y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；
y＝f(x)eq \(―――――→,\s\up7(关于原点对称))y＝eq \x(\s\up1(04))－f(－x).
(4)翻折变换
y＝f(x)eq \(――――――――――――――――→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\d5(作其关于y轴对称的图象))y＝f(|x|)；
y＝f(x)eq \(――――――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\d5(将x轴下方图翻折上去))y＝|f(x)|.
1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作．如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．
2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”．
3．函数图象的对称性
(1)函数图象自身的轴对称
①f(－x)＝f(x)⇔y＝f(x)的图象关于y轴对称；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；
③若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)函数图象自身的中心对称
①f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
②函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；
③函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
(3)两个函数图象之间的对称关系
①函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
②函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
③函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
④函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
1. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )
答案 A
解析 由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是匀速增长，所以只有A满足．故选A.
2．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
答案 D
解析 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，再向左平移1个单位，可得函数f(x)的图象，故f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
3．(2020·天津高考)函数y＝eq \f(4x,x2＋1)的图象大致为( )
答案 A
解析 因为f(－x)＝eq \f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x＝1时，y＝eq \f(4,1＋1)＝2＞0，排除B.故选A.
4．(2021·河源模拟)下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln (x＋1)的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (3－x)
C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (3＋x)
答案 B
解析 根据题意，设y＝g(x)的图象与函数f(x)＝ln (x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则有g(x)＝f(2－x)，即g(x)＝ln [(2－x)＋1]＝ln (3－x)．故选B.
5．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
答案 C
解析 由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；对于C，y＝f(－|x|)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－x，x≥0，,fx，x<0，))其图象关于y轴对称，在y轴左侧与f(x)的图象相同，符合题意，所以C正确．
6．设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为________.
答案 {x|x≤0或1
例1 作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|·(x＋2)；
(2)y＝|lg2(x＋1)|；
(3)y＝eq \f(2x－1,x－1)；
(4)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)原函数解析式可化为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4，x≥2，,－x2＋4，x<2，))
其图象如图①实线所示．
(2)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图②所示．
(3)原函数解析式可化为y＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由函数y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示．
(4)因为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，最后得函数图象如图④所示．
函数图象的常见画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征描出图象的关键点，进而直接作出函数图象．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图．
提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
1.作出下列各函数的图象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x2－4x＋3|；
(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x＋2|；(4)y＝sin|x|.
解 (1)根据绝对值的意义，可将函数解析式化为分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))图象如图①所示．
(2)函数解析式可化为
y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≤1或x≥3，,－x2＋4x－3，1
(3)作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，加上y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，再向左平移2个单位，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x＋2|的图象，如图③实线部分．
(4)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，故图象如图④所示．
考向二 识图与辨图
例2 (1)(2021·淄博二模)函数f(x)＝(ex＋e－x)tanx的部分图象大致为( )
答案 D
解析 因为f(x)＝(ex＋e－x)tanx，x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，定义域关于原点对称，且f(－x)＝(ex＋e－x)tan(－x)＝－f(x)，所以函数为奇函数，故排除C；当x＝0时，f(0)＝0，故排除B；当x＝1时，f(1)>0，故排除A.故选D.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
答案 B
解析 y＝f(x)eq \(――――――――――→,\s\up7(作关于y轴对称的图象))y＝f(－x)eq \(―――――――――→,\s\up7(向右平移2个单位))y＝f(2－x)
eq \(―――――――――→,\s\up7(作关于x轴对称的图象))y＝－f(2－x)．故选B.
(3)(2021·浙江高考)已知函数f(x)＝x2＋eq \f(1,4)，g(x)＝sinx，则图象如图的函数可能是( )
A．y＝f(x)＋g(x)－eq \f(1,4)
B．y＝f(x)－g(x)－eq \f(1,4)
C．y＝f(x)g(x)
D．y＝eq \f(gx,fx)
答案 D
解析 易知函数f(x)＝x2＋eq \f(1,4)是偶函数，g(x)＝sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数．对于A，y＝f(x)＋g(x)－eq \f(1,4)＝x2＋sinx为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；对于B，y＝f(x)－g(x)－eq \f(1,4)＝x2－sinx也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；对于C，因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，由图象可知所求函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上不单调，排除C.故选D.
函数图象的识辨
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
2.如图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1
B．y＝eq \f(2xsinx,4x＋1)
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝eq \f(x,ln x)
答案 C
解析 函数的定义域为R，排除D；当x<0时，y>0，A中，x＝－1时，y＝2－1－1－1＝－eq \f(3,2)<0，排除A；B中，当sinx＝0时，y＝0，∴y＝eq \f(2xsinx,4x＋1)有无数个零点，排除B.故选C.
3．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则g(x)＝ax＋b的图象是( )
答案 A
解析 由图可知b<－1,0
答案 A
解析 由知，f(x)为偶函数，f(1)＝0， <0，故排除B，C；
，易知此数是非常小的正数，由此排除D.故选A.
多角度探究突破
考向三 函数图象的应用
角度 研究函数的性质
例3 (多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x，则下列结论正确的是( )
A．2是函数f(x)的周期
B．函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增
C．函数f(x)的最大值是1，最小值是0
D．当x∈(3,4)时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－3
答案 ABD
解析 由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＋x，画出函数y＝f(x)的部分图象如图所示．由图象知B正确，C不正确；当3
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
5.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0，))画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．
角度 利用图象解决方程根的问题
例4 (2021·洛阳市第一次联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x≥2，))若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(0,3)
C．(0,2) D．(0,1)
答案 D
解析 画出函数f(x)的图象，如图所示，方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有三个不同的交点，由图可知，实数a的取值范围为(0,1)．故选D.
利用函数的图象解决方程根的问题的思路
当方程与基本初等函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
6.已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时，斜率为eq \f(1,2)，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
角度 利用函数图象解决不等式问题
例5 若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．
解 不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1
当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；
当0
当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．
7.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
答案 D
解析 因为f(x)为奇函数，所以不等式eq \f(fx－f－x,x)<0可化为eq \f(fx,x)<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．
求解函数图象问题的常用技巧
[特殊点法]
1．(2021·嘉兴二模)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(1,x＋1)))·csx的图象可能是( )
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(1,x＋1)))csx，∴f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,－x－1)＋\f(1,－x＋1)))cs(－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋1)＋\f(1,x－1)))csx＝－f(x)，∴函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－1)＋\f(1,x＋1)))csx为奇函数，关于原点对称，排除B；当x＝eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \a\vs4\al\c1()eq \f(1,\f(1,2)－1)＋eq \f(1,1＋\f(1,2))eq \a\vs4\al\c1()×cseq \f(1,2)＝－eq \f(4,3)×cseq \f(1,2)<0，排除A，D.故选C.
答题启示
使用特殊点法排除一些不符合要求的选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．
对点训练
函数f(x)＝2csx(x∈[－π，π])的图象大致为( )
答案 C
解析 因为函数y＝csx(x∈[－π，π])是偶函数，所以函数f(x)＝2csx(x∈[－π，π])也是偶函数，故可排除A，D；又f(π)＝2csπ＝2－1＝eq \f(1,2)，故排除B.故选C.
[性质检验法]
2．(2021·哈尔滨三模)函数f(x)＝eq \f(9,ex－x－1)＋1的大致图象为( )
答案 A
解析 根据题意，设g(x)＝ex－x－1，其导数g′(x)＝ex－1，在区间(－∞，0)上，g′(x)<0，则g(x)为减函数，在区间(0，＋∞)上，g′(x)>0，则g(x)为增函数，则g(x)min＝g(0)＝0，故f(x)＝eq \f(9,ex－x－1)＋1的定义域为{x|x≠0}，且f(x)>1恒成立，其图象在直线y＝1上方，排除B，C，D.故选A.
答题启示
利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域，函数整体的奇偶性，函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．
对点训练
函数f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))的图象是( )
答案 B
解析 因为f(x)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))，所以x－eq \f(1,x)＝eq \f(x＋1x－1,x)>0，解得－1
[图象变换法]
3．(多选)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0
解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝eq \r(x)，相应这部分图象不是一条线段，因此D不正确．故选ABC.
答题启示
有关函数y＝f(x)与函数y＝af(bx＋c)＋h的图象问题的判断，熟练掌握图象的平移变换(左加右减，上加下减)、对称变换、伸缩变换等，便可破解此类问题．
对点训练
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3xx≤1，,lg\f(1,3)xx>1，))则函数y＝f(1－x)的大致图象是( )
答案 D
解析 解法一：先画出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3xx≤1，,lg\f(1,3)xx>1))的草图，作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象．故选D.
解法二：由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(31－xx≥0，,lg\f(1,3)1－xx<0，))故该函数的图象过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.故选D.
一、单项选择题
1．(2021·山东师范大学附属中学月考)函数y＝－ex的图象( )
A．与y＝ex的图象关于y轴对称
B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C．与y＝e－x的图象关于y轴对称
D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
答案 D
解析 由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．
2．(2021·济南市质量评估)函数y＝eq \f(x2,8)－ln |x|的图象大致为( )
答案 D
解析 令f(x)＝y＝eq \f(x2,8)－ln |x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除B；当x>0且x→0时，y→＋∞，排除A；当x＝2eq \r(2)时，y＝1－ln 2eq \r(2)<1－ln e＝0，排除C.故选D.
3．若函数f(x)＝lg2(x＋1)，且a>b>c>0，则eq \f(fa,a)，eq \f(fb,b)，eq \f(fc,c)的大小关系是( )
A.eq \f(fa,a)>eq \f(fb,b)>eq \f(fc,c)
B.eq \f(fc,c)>eq \f(fb,b)>eq \f(fa,a)
C.eq \f(fb,b)>eq \f(fa,a)>eq \f(fc,c)
D.eq \f(fa,a)>eq \f(fc,c)>eq \f(fb,b)
答案 B
解析 由已知得，eq \f(fa,a)，eq \f(fb,b)，eq \f(fc,c)可以分别看作函数f(x)＝lg2(x＋1)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与原点连线的斜率，结合图象(如图)可知，当a>b>c时，eq \f(fc,c)>eq \f(fb,b)>eq \f(fa,a).故选B.
4．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋b，x<－1，,ln x＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－eq \f(1,2)
B．－eq \f(5,4)
C．－1
D．－2
答案 C
解析 由图象可得a×(－1)＋b＝3，ln (－1＋a)＝0，解得a＝2，b＝5，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋5，x<－1，,ln x＋2，x≥－1，))故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.
5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
答案 C
解析 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先作出y＝f(x)的图象关于x轴对称的图象y＝－f(x)，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．
6．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1
C．{x|－1
解析 令g(x)＝y＝lg2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图．
易知线段CB的解析式为x＋y＝2(0≤x≤2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝lg2x＋1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))∴结合图象知不等式f(x)≥lg2(x＋1)的解集为{x|－1
答案 D
解析 由题意可知直线l的斜率为2，设其方程为y＝2(x－a)，0
A．0 B．0或－eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,4)或eq \f(1,2) D．0或－eq \f(1,4)
答案 D
解析 因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，如图所示，由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0,2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1,1)或与曲线f(x)＝x2(0≤x≤1)相切于点A，则1＝1＋a或方程x2＝x＋a只有一个实数根．所以a＝0或Δ＝1＋4a＝0，即a＝0或a＝－eq \f(1,4).
二、多项选择题
9. (2021·潍坊二模)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
答案 ABD
解析 由图可得a1＝2，即a＝2，y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x单调递减过点(－1,2)，故A正确；y＝x－a＝x－2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确；y＝a|x|＝2|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≥0，,2－x，x<0))为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y＝|lgax|＝|lg2x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确．故选ABD.
10．(2021·烟台模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数．给出四个函数：f1(x)＝lg2(x＋1)，f2(x)＝lg2(x＋2)，f3(x)＝lg2x2，f4(x)＝lg2(2x)，其中“同形”函数是( )
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
答案 AC
解析 f3(x)＝lg2x2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f3(x)的图象重合，故排除B，D；f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x，将f2(x)＝lg2(x＋2)的图象沿着x轴先向右平移两个单位得到y＝lg2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x的图象，可知选项A是“同形”函数；将f1(x)＝lg2(x＋1)的图象沿着x轴向右平移一个单位得到y＝lg2x的图象，再沿着y轴向上平移一个单位可得到f4(x)＝lg2(2x)＝1＋lg2x的图象，可知选项C是“同形”函数．故选AC.
11．对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案 AC
解析 f(x＋2)＝lg (|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误；作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，C正确；由图象可知f(x)存在最小值0，D错误．故选AC.
12．(2021·湖南郴州11月质检)定义：若函数f(x)的图象经过变换Γ后所得图象对应的函数的值域与f(x)的值域相同，则称Γ是f(x)的“同值变换”．下面给出四个函数及其对应的变换Γ，其中Γ属于f(x)的“同值变换”的是( )
A．f(x)＝x2－2x，Γ：将函数f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)＝2x－1，Γ：将函数f(x)的图象关于x轴对称
C．f(x)＝lg2x，Γ：将函数f(x)的图象关于直线y＝x对称
D．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，Γ：将函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称
答案 AD
解析 对于A，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，将函数f(x)的图象关于y轴对称可得y＝x2＋2x的图象，易知y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，符合题意；对于B，f(x)＝2x－1>－1，将函数f(x)的图象关于x轴对称可得y＝1－2x的图象，易知y＝1－2x<1，不符合题意；对于C，f(x)＝lg2x的值域为R，将函数f(x)的图象关于直线y＝x对称可得y＝2x的图象，易知y＝2x>0，不符合题意；对于D，f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，将函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称后得到的图象对应的函数的值域仍为[－1,1]，符合题意．故选AD.
三、填空题
13．若函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
答案 1
解析 因为f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)＝eq \f(ax－1＋a－2,x－1)＝a＋eq \f(a－2,x－1)，所以函数f(x)的图象关于点(1，a)对称，结合已知条件得a＝1.
14．已知函数f(x)＝|lg3x|，实数m，n满足0
解析
如图，作出函数f(x)＝|lg3x|的图象，观察可知0
则f(f(0))＝________；若f(m)>1，则实数m的取值范围是________.
答案 0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
解析 f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x，x≥1，,1－x，x<1))的图象与直线y＝1的交点分别为(0,1)，(e,1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
16．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|ln x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________.
答案 5
解析 由2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．
由图象知y＝eq \f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．
因此函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点有5个．
四、解答题
17．画出下列函数的图象．
(1)y＝eln x；(2)y＝eq \f(x＋2,x－1).
解 (1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x，所以其图象如图所示．
(2)y＝eq \f(x＋2,x－1)＝1＋eq \f(3,x－1)，先作出y＝eq \f(3,x)的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝eq \f(x＋2,x－1)的图象，如图．
18．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))
(1)在如图所示的平面直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出，当x取什么值时f(x)取得最值？
解 (1)函数f(x)的图象如图所示．
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，(2,5]．
(3)由图象知当x＝2时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)＝3，当x＝5时，f(x)＝2.
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(0)＝3.
19．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[0,1]时，由图象写出f(x)的最小值．
解 (1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－a，x≥0，,－xx－a，x<0，))其图象如图所示．
(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，＋∞))；单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2))).
(3)由图象知，当eq \f(a,2)>1，即a>2时，
f(x)min＝f(1)＝1－a；
当0
综上，f(x)min＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a2,4)，0
20．(2021·济南模拟)设a为实数，且1
当a＝eq \f(13,4)或1
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