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2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第3讲 圆的方程Word版含解析
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这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第3讲 圆的方程Word版含解析，共20页。试卷主要包含了圆的定义、方程，点与圆的位置关系，圆x2＋y2－4x－1＝0等内容，欢迎下载使用。
1．圆的定义、方程
(1)平面上到eq \x(\s\up1(01))定点的距离等于eq \x(\s\up1(02))定长的点的集合是圆．
(2)确定一个圆的基本要素：eq \x(\s\up1(03))圆心和eq \x(\s\up1(04))半径.
(3)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
(4)圆的一般方程
①一般方程：eq \x(\s\up1(05))x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圆的充要条件：eq \x(\s\up1(06))D2＋E2－4F>0；
③圆心坐标：eq \x(\s\up1(07))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \x(\s\up1(08))eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
2．点与圆的位置关系
(1)理论依据
eq \x(\s\up1(09))点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．
①eq \x(\s\up1(10))(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；
②eq \x(\s\up1(11))(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；
③eq \x(\s\up1(12))(x0－a)2＋(y0－b)21．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．求圆的方程，如果借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋6y＝0化成标准形式为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)，半径r＝eq \r(13).故选D.
2．已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0
C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0
答案 A
解析 圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)×eq \r(12＋32)＝eq \f(\r(10),2)，故圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(5,2).整理得x2＋y2－x－3y＝0，故选A.
3．(多选)若k∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，\f(4,5)，1))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值可以是( )
A．－2 B．0
C．eq \f(4,5) D．1
答案 CD
解析 方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件是(k－1)2＋4k2－4k>0，解得k1，结合题意可知，若方程不表示圆，则k的取值可以是eq \f(4,5)，1.故选CD.
4．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－eq \r(3)，eq \r(3))
C．(－eq \r(2)，eq \r(2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
答案 C
解析 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq \r(2)5．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0( )
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
答案 ABC
解析 由x2＋y2－4x－1＝0，得(x－2)2＋y2＝5，所以该圆的圆心坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以A正确；圆是关于直径所在的直线对称的轴对称图形，直线y＝0，x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以B，C正确，D不正确．故选ABC.
6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________.
答案 x2＋y2－2x＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝0，))所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
考向一 求圆的方程
例1 (1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.
(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________.
答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析 解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝4，,F＝－5.))
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法三：∵A(2，－3)，B(－2，－5)，∴kAB＝eq \f(－3－－5,2－－2)＝eq \f(1,2)，又线段AB的中点为(0，－4)，∴线段AB的中垂线方程为y－(－4)＝－2(x－0)，即2x＋y＋4＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2.))
∴所求圆的圆心坐标为(－1，－2)，
半径r＝eq \r(－1－22＋－2＋32)＝eq \r(10).
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
1.已知圆E经过两点A(0,1)，B(2,0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
答案 C
解析 因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)).则圆E的半径为|EB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq \f(5,4)，所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).故选C.
2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________.
答案 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20， ①,3D－E＋F＝－10. ②))
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
考向二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设点M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，
当x≠3时，可得eq \f(y,x－3)·eq \f(y,x)＝－1，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，
与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y，得(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝eq \f(4,5)，此时方程为eq \f(9,5)x2－6x＋5＝0，解上式得x＝eq \f(5,3)，因此eq \f(5,3) 求与圆有关的轨迹方程的方法
3.(多选)(2022·浙江杭州模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2)，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
D．在C上存在点N，使得|NO|2＋|NA|2＝4
答案 ABD
解析 对于A，设点P(x，y)，由A(－2,0)，B(4，0)，eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2)，得eq \f(\r(x＋22＋y2),\r(x－42＋y2))＝eq \f(1,2)，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A正确；对于B，曲线C的方程表示圆心为(－4，0)，半径为4的圆，圆心与点(1,1)的距离为eq \r(－4－12＋0－12)＝eq \r(26)，则点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为eq \r(26)－4，最大值为eq \r(26)＋4，而3∈[eq \r(26)－4，eq \r(26)＋4]，故B正确；对于C，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，得eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))＝2eq \r(x0＋22＋y\\al(2,0))，又(x0＋4)2＋yeq \\al(2,0)＝16，联立方程消去y0得x0＝2，再代入(x0＋4)2＋yeq \\al(2,0)＝16得y0无解，故C错误；对于D，设N(x1，y1)，由|NO|2＋|NA|2＝4，得xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋(x1＋2)2＋yeq \\al(2,1)＝4，又(x1＋4)2＋yeq \\al(2,1)＝16，联立方程消去y1得x1＝0，再代入(x1＋4)2＋yeq \\al(2,1)＝16得y1＝0，故D正确．
多角度探究突破
考向三 与圆有关的最值问题
角度 借助几何性质求最值
例3 (1)(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 A
解析 设圆心为C(x，y)，则eq \r(x－32＋y－42)＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝eq \r(32＋42)＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.
(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
①求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
②求y－x的最大值和最小值；
③求x2＋y2的最大值和最小值．
解 ①原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆，eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6).
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
③x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，
x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
角度 构建目标函数求最值
例4 设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________.
答案 12
解析 由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
角度 利用对称性求最值
例5 已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案 2eq \r(5)
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，eq \r(5)为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故
A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
4.(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
答案 A
解析 ∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2eq \r(2).∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线的距离d1＝eq \f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[eq \r(2)，3eq \r(2)]，则S△ABP＝eq \f(1,2)|AB|d2＝eq \r(2)d2∈[2,6]．故选A.
5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答案 B
解析 ∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴|OP|≤6，即m≤6.故选B.
6．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．6－2eq \r(2) B．eq \r(17)－1
C．5eq \r(2)－4 D．eq \r(17)
答案 C
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－2,1)，半径为1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心为(3,4)，半径为3.如图，圆C1关于x轴的对称圆为圆C1′：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.连接C1′C2，交x轴于P，则P为使|PM|＋|PN|最小的点，此时M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点，最小值为|C1′C2|－(3＋1)，而|C1′C2|＝eq \r(3＋22＋4＋12)＝5eq \r(2)，∴|PM|＋|PN|的最小值为5eq \r(2)－4.故选C.
7．(2022·宁夏银川模拟)设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________.
答案 10
解析 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2eq \r(x2＋y2).因为点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的点，所以点P的坐标(x，y)满足方程(x－3)2＋y2＝4,1≤x≤5，所以y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2eq \r(x2－x－32＋4)＝2eq \r(6x－5).因为1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.
1．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 A
解析 由圆的几何性质可知，圆的半径r＝eq \r(22＋－32)＝eq \r(13).故此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A.
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
答案 A
解析 已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.
3．(2022·保定质检)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 圆C与y轴相切于原点⇒圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a,0)，则半径r＝|a|.所以当E＝F＝0且D<0时，圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，0))，半径为|eq \f(D,2)|，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.
4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心为(a,0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D.
5．已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是( )
A．R B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，0))
答案 C
解析 圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq \f(3,4)k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4＋k＋4＋k2>0，,1－\f(3,4)k2>0，))解得－eq \f(2\r(3),3)6．已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a,2)，B(－4，a)，C(2a＋2,2)，则△ABC的外接圆的方程是( )
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
答案 D
解析 因为点A是直角三角形ABC的直角顶点，所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(－4－2a)2＋(a－2)2＋4，解得a＝－2，即A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2,2)，则△ABC的外接圆的圆心为(－3,0)，半径为eq \f(1,2)|BC|＝eq \r(5)，所以△ABC的外接圆的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故选D.
7．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \f(\r(2),2)＋1 D．eq \r(2)－1
答案 C
解析 因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为eq \r(2)＋1，最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离，为eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以a－b＝eq \r(2)＋1－eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2)＋1，故选C.
8．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A.eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
答案 B
解析 由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a，a)，a＞0，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.由题意可得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)．点(1,1)，(5,5)到直线2x－y－3＝0的距离均为d＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为eq \f(2\r(5),5).故选B.
9．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆(x－2)2＋(y－3)2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为( )
A．5－eq \r(3) B．5＋eq \r(3)
C．3＋2eq \r(3) D．3－2eq \r(3)
答案 B
解析 设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得eq \r(x＋22＋y2)＝2eq \r(x－12＋y2)，所以点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.如图，设P，Q所在圆的圆心分别为C1，C2，半径分别为r1，r2，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋eq \r(3)＝5＋eq \r(3).故选B.
10．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)的最小值是( )
A．2eq \r(3) B．eq \f(20,3)
C．eq \f(32,3) D．eq \f(16,3)
答案 C
解析 由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)＝eq \f(2,3)(a＋3b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3a,b)＋\f(3b,a)＋9))≥eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(3a,b)·\f(3b,a))))＝eq \f(32,3)，当且仅当eq \f(3b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝b＝eq \f(3,4)时取等号，故选C.
二、多项选择题
11．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
D．(x＋eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
答案 AB
解析 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq \f(2π,3)，设圆心(0，a)，半径为r，则rsineq \f(π,3)＝1，rcseq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).故选AB.
12．(2022·烟台模拟)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.
三、填空题
13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.
答案 (－2，－4) 5
解析 由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
14. 如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是________.
答案 x2＋y2＝a2
解析 如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝－1(x≠±a)．化简，得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2.
15．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
答案 74
解析 设P(x0，y0)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＋2，xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
16．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为__________________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
答案 (1)(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2
(2)－eq \r(2)－1
解析 (1)记AB的中点为D，在Rt△BDC中，易得圆C的半径r＝BC＝eq \r(2)，则圆心C的坐标为(1，eq \r(2))，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2.
(2)因为点B的坐标为(0，eq \r(2)＋1)，点C的坐标为(1，eq \r(2))，所以直线BC的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y＝x＋eq \r(2)＋1，故切线在x轴上的截距为－eq \r(2)－1.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解 令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设点A(x1,0)，B(x2,0)，
则Δ＝m2－8m>0，
即m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，故点C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，
解得m＝0或m＝－eq \f(1,2).
因为m<0或m>8，所以m＝－eq \f(1,2)，
此时点C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))，半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))2＋y2＝eq \f(17,16).
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)的坐标代入，可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5).))
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).
18．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x,2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，
故△POM的面积为eq \f(16,5).
1．圆的定义、方程
(1)平面上到eq \x(\s\up1(01))定点的距离等于eq \x(\s\up1(02))定长的点的集合是圆．
(2)确定一个圆的基本要素：eq \x(\s\up1(03))圆心和eq \x(\s\up1(04))半径.
(3)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
(4)圆的一般方程
①一般方程：eq \x(\s\up1(05))x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圆的充要条件：eq \x(\s\up1(06))D2＋E2－4F>0；
③圆心坐标：eq \x(\s\up1(07))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
半径r＝eq \x(\s\up1(08))eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F).
2．点与圆的位置关系
(1)理论依据
eq \x(\s\up1(09))点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．
①eq \x(\s\up1(10))(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；
②eq \x(\s\up1(11))(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；
③eq \x(\s\up1(12))(x0－a)2＋(y0－b)2
2．求圆的方程，如果借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)
答案 D
解析 圆x2＋y2－4x＋6y＝0化成标准形式为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)，半径r＝eq \r(13).故选D.
2．已知A(1,0)，B(0,3)，则以AB为直径的圆的方程是( )
A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0
C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0
答案 A
解析 圆的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，半径r＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)×eq \r(12＋32)＝eq \f(\r(10),2)，故圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(5,2).整理得x2＋y2－x－3y＝0，故选A.
3．(多选)若k∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，\f(4,5)，1))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圆，则k的取值可以是( )
A．－2 B．0
C．eq \f(4,5) D．1
答案 CD
解析 方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件是(k－1)2＋4k2－4k>0，解得k
4．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－eq \r(3)，eq \r(3))
C．(－eq \r(2)，eq \r(2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))
答案 C
解析 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq \r(2)
A．关于点(2,0)对称
B．关于直线y＝0对称
C．关于直线x＋3y－2＝0对称
D．关于直线x－y＋2＝0对称
答案 ABC
解析 由x2＋y2－4x－1＝0，得(x－2)2＋y2＝5，所以该圆的圆心坐标为(2,0)．圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以A正确；圆是关于直径所在的直线对称的轴对称图形，直线y＝0，x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以B，C正确，D不正确．故选ABC.
6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________.
答案 x2＋y2－2x＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝0，,F＝0，))所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
考向一 求圆的方程
例1 (1)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.
(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________.
答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析 解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)))－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝2，,E＝4，,F＝－5.))
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法三：∵A(2，－3)，B(－2，－5)，∴kAB＝eq \f(－3－－5,2－－2)＝eq \f(1,2)，又线段AB的中点为(0，－4)，∴线段AB的中垂线方程为y－(－4)＝－2(x－0)，即2x＋y＋4＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－2.))
∴所求圆的圆心坐标为(－1，－2)，
半径r＝eq \r(－1－22＋－2＋32)＝eq \r(10).
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
1.已知圆E经过两点A(0,1)，B(2,0)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
答案 C
解析 因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)).则圆E的半径为|EB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq \f(5,4)，所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).故选C.
2．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的一般方程为________________.
答案 x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2D－4E－F＝20， ①,3D－E＋F＝－10. ②))
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
联立①②④得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
考向二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
解 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．
(2)设点M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，
当x≠3时，可得eq \f(y,x－3)·eq \f(y,x)＝－1，
整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(9,4)，
又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，
与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y，得(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝eq \f(4,5)，此时方程为eq \f(9,5)x2－6x＋5＝0，解上式得x＝eq \f(5,3)，因此eq \f(5,3)
3.(多选)(2022·浙江杭州模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2)，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
D．在C上存在点N，使得|NO|2＋|NA|2＝4
答案 ABD
解析 对于A，设点P(x，y)，由A(－2,0)，B(4，0)，eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2)，得eq \f(\r(x＋22＋y2),\r(x－42＋y2))＝eq \f(1,2)，化简得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A正确；对于B，曲线C的方程表示圆心为(－4，0)，半径为4的圆，圆心与点(1,1)的距离为eq \r(－4－12＋0－12)＝eq \r(26)，则点(1,1)与圆上的点的距离的最小值为eq \r(26)－4，最大值为eq \r(26)＋4，而3∈[eq \r(26)－4，eq \r(26)＋4]，故B正确；对于C，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|，得eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0))＝2eq \r(x0＋22＋y\\al(2,0))，又(x0＋4)2＋yeq \\al(2,0)＝16，联立方程消去y0得x0＝2，再代入(x0＋4)2＋yeq \\al(2,0)＝16得y0无解，故C错误；对于D，设N(x1，y1)，由|NO|2＋|NA|2＝4，得xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＋(x1＋2)2＋yeq \\al(2,1)＝4，又(x1＋4)2＋yeq \\al(2,1)＝16，联立方程消去y1得x1＝0，再代入(x1＋4)2＋yeq \\al(2,1)＝16得y1＝0，故D正确．
多角度探究突破
考向三 与圆有关的最值问题
角度 借助几何性质求最值
例3 (1)(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案 A
解析 设圆心为C(x，y)，则eq \r(x－32＋y－42)＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，如图．所以|OC|＋1≥|OM|＝eq \r(32＋42)＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.
(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
①求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
②求y－x的最大值和最小值；
③求x2＋y2的最大值和最小值．
解 ①原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆，eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).
所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).
②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6).
所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).
③x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，
x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
角度 构建目标函数求最值
例4 设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________.
答案 12
解析 由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
角度 利用对称性求最值
例5 已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案 2eq \r(5)
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，eq \r(5)为半径的圆．设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故
A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路
①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
4.(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
答案 A
解析 ∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于点A，B，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2eq \r(2).∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线的距离d1＝eq \f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq \r(2)，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[eq \r(2)，3eq \r(2)]，则S△ABP＝eq \f(1,2)|AB|d2＝eq \r(2)d2∈[2,6]．故选A.
5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
答案 B
解析 ∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴|OP|≤6，即m≤6.故选B.
6．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．6－2eq \r(2) B．eq \r(17)－1
C．5eq \r(2)－4 D．eq \r(17)
答案 C
解析 圆C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－2,1)，半径为1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心为(3,4)，半径为3.如图，圆C1关于x轴的对称圆为圆C1′：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.连接C1′C2，交x轴于P，则P为使|PM|＋|PN|最小的点，此时M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点，最小值为|C1′C2|－(3＋1)，而|C1′C2|＝eq \r(3＋22＋4＋12)＝5eq \r(2)，∴|PM|＋|PN|的最小值为5eq \r(2)－4.故选C.
7．(2022·宁夏银川模拟)设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________.
答案 10
解析 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2eq \r(x2＋y2).因为点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的点，所以点P的坐标(x，y)满足方程(x－3)2＋y2＝4,1≤x≤5，所以y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝2eq \r(x2－x－32＋4)＝2eq \r(6x－5).因为1≤x≤5，所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.
1．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 A
解析 由圆的几何性质可知，圆的半径r＝eq \r(22＋－32)＝eq \r(13).故此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A.
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
答案 A
解析 已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.
3．(2022·保定质检)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 圆C与y轴相切于原点⇒圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a,0)，则半径r＝|a|.所以当E＝F＝0且D<0时，圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，0))，半径为|eq \f(D,2)|，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.
4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心为(a,0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D.
5．已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是( )
A．R B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，0))
答案 C
解析 圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq \f(3,4)k2，因为过点P有两条切线，所以点P在圆外，从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4＋k＋4＋k2>0，,1－\f(3,4)k2>0，))解得－eq \f(2\r(3),3)
A．x2＋(y－3)2＝5 B．x2＋(y＋3)2＝5
C．(x－3)2＋y2＝5 D．(x＋3)2＋y2＝5
答案 D
解析 因为点A是直角三角形ABC的直角顶点，所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，即(2a＋6)2＋(2－a)2＝(－4－2a)2＋(a－2)2＋4，解得a＝－2，即A(－4,2)，B(－4，－2)，C(－2,2)，则△ABC的外接圆的圆心为(－3,0)，半径为eq \f(1,2)|BC|＝eq \r(5)，所以△ABC的外接圆的方程是(x＋3)2＋y2＝5，故选D.
7．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \f(\r(2),2)＋1 D．eq \r(2)－1
答案 C
解析 因为圆心(0,1)到直线x－y－1＝0的距离为eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为eq \r(2)＋1，最小值为点(0,0)到直线x－y－1＝0的距离，为eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以a－b＝eq \r(2)＋1－eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2)＋1，故选C.
8．(2020·全国Ⅱ卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )
A.eq \f(\r(5),5) B．eq \f(2\r(5),5)
C.eq \f(3\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
答案 B
解析 由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不符合题意，所以圆心必在第一象限．设圆心的坐标为(a，a)，a＞0，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.由题意可得(2－a)2＋(1－a)2＝a2，可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)．点(1,1)，(5,5)到直线2x－y－3＝0的距离均为d＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为eq \f(2\r(5),5).故选B.
9．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，点Q是圆(x－2)2＋(y－3)2＝3上的动点，则|PQ|的最大值为( )
A．5－eq \r(3) B．5＋eq \r(3)
C．3＋2eq \r(3) D．3－2eq \r(3)
答案 B
解析 设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得eq \r(x＋22＋y2)＝2eq \r(x－12＋y2)，所以点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.如图，设P，Q所在圆的圆心分别为C1，C2，半径分别为r1，r2，则|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋eq \r(3)＝5＋eq \r(3).故选B.
10．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)的最小值是( )
A．2eq \r(3) B．eq \f(20,3)
C．eq \f(32,3) D．eq \f(16,3)
答案 C
解析 由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，∴eq \f(2,a)＋eq \f(6,b)＝eq \f(2,3)(a＋3b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3a,b)＋\f(3b,a)＋9))≥eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋2\r(\f(3a,b)·\f(3b,a))))＝eq \f(32,3)，当且仅当eq \f(3b,a)＝eq \f(3a,b)，即a＝b＝eq \f(3,4)时取等号，故选C.
二、多项选择题
11．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3)
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
D．(x＋eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
答案 AB
解析 由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq \f(2π,3)，设圆心(0，a)，半径为r，则rsineq \f(π,3)＝1，rcseq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq \f(4,3).故选AB.
12．(2022·烟台模拟)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．故选ABD.
三、填空题
13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.
答案 (－2，－4) 5
解析 由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示圆，舍去．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
14. 如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是________.
答案 x2＋y2＝a2
解析 如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝－1(x≠±a)．化简，得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2.
15．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
答案 74
解析 设P(x0，y0)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq \\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))＋2，xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
16．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为__________________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.
答案 (1)(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2
(2)－eq \r(2)－1
解析 (1)记AB的中点为D，在Rt△BDC中，易得圆C的半径r＝BC＝eq \r(2)，则圆心C的坐标为(1，eq \r(2))，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2.
(2)因为点B的坐标为(0，eq \r(2)＋1)，点C的坐标为(1，eq \r(2))，所以直线BC的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y＝x＋eq \r(2)＋1，故切线在x轴上的截距为－eq \r(2)－1.
四、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解 令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设点A(x1,0)，B(x2,0)，
则Δ＝m2－8m>0，
即m<0或m>8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，故点C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，
解得m＝0或m＝－eq \f(1,2).
因为m<0或m>8，所以m＝－eq \f(1,2)，
此时点C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))，半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))2＋y2＝eq \f(17,16).
(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)的坐标代入，可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5).))
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).
18．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x,2－y)．
由题设知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－eq \f(1,3)，故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距离为eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，
故△POM的面积为eq \f(16,5).
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