2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析，共18页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系式，六组诱导公式，在△ABC中，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：eq \x(\s\up1(01))sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \x(\s\up1(02))eq \f(sinα,csα)＝tanα.
2．六组诱导公式

同角三角函数基本关系式的常用变形
(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα；
(sinα＋csα)2＋(sinα－csα)2＝2；
(sinα＋csα)2－(sinα－csα)2＝4sinαcsα；
sinα＝tanαcsαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；
sin2α＝eq \f(sin2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α,tan2α＋1)；
cs2α＝eq \f(cs2α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1,tan2α＋1).
1．若csα＝eq \f(1,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则tanα等于( )
A．－eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),4)
C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 C
解析 由已知得sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\f(1,9))＝－eq \f(2\r(2),3)，所以tanα＝eq \f(sinα,csα)＝－2eq \r(2)，故选C．
2．(2021·大同模拟)若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．－4eq \r(3) B．±4eq \r(3)
C．eq \r(3) D．4eq \r(3)
答案 A
解析 ∵tan600°＝eq \f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝eq \r(3)，∴a＝－4eq \r(3).故选A．
3．已知sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，|θ|＜eq \f(π,2)，则θ等于( )
A．－eq \f(π,6) B．－eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,3)
答案 D
解析 ∵sin(π＋θ)＝－eq \r(3)cs(2π－θ)，∴－sinθ＝－eq \r(3)csθ，∴tanθ＝eq \r(3).∵|θ|＜eq \f(π,2)，∴θ＝eq \f(π,3).
4．已知cs31°＝a，则sin239°tan149°的值为( )
A．eq \f(1－a2,a) B．eq \r(1－a2)
C．eq \f(a2－1,a) D．－eq \r(1－a2)
答案 B
解析 sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cs31°(－tan31°)＝sin31°＝eq \r(1－a2).
5．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))sin(α－π)cs(2π－α)的结果为________.
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sinα,csα)(－sinα)csα＝－sin2α.
6．若sinθcsθ＝eq \f(1,2)，则tanθ＋eq \f(csθ,sinθ)＝________.
答案 2
解析 tanθ＋eq \f(csθ,sinθ)＝eq \f(sinθ,csθ)＋eq \f(csθ,sinθ)＝eq \f(1,csθsinθ)＝2.
考向一 诱导公式的应用
例1 (1)(2021·青岛一模)已知角θ终边上有一点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan\f(4π,3)，2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))))，则csθ的值为( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 因为taneq \f(4π,3)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2π－π＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π＋\f(π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－sineq \f(π,6)＝－eq \f(1,2)，即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))＝－1，所以P(eq \r(3)，－1)，所以csθ＝eq \f(\r(3),\r(\r(3)2＋－12))＝eq \f(\r(3),2).故选D.
(2)化简：eq \f(tanπ＋αcs2π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2))),cs－α－3πsin－3π－α)＝________.
答案 －1
解析 原式＝eq \f(tanαcsαsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))),cs3π＋α[－sin3π＋α])
＝eq \f(tanαcsαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),－csαsinα)＝eq \f(tanαcsαcsα,－csαsinα)
＝－eq \f(tanαcsα,sinα)＝－eq \f(sinα,csα)·eq \f(csα,sinα)＝－1.
(3)已知cs(75°＋α)＝eq \f(5,13)，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cs(α－15°)的值为________.
答案 －eq \f(17,13)
解析 因为cs(75°＋α)＝eq \f(5,13)>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，
sin(75°＋α)＝－eq \r(1－cs275°＋α)＝－eq \f(12,13).
所以sin(195°－α)＋cs(α－15°)
＝sin[180°＋(15°－α)]＋cs(15°－α)
＝－sin(15°－α)＋cs(15°－α)
＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cs[90°－(75°＋α)]
＝－cs(75°＋α)＋sin(75°＋α)
＝－eq \f(5,13)－eq \f(12,13)＝－eq \f(17,13).

1．诱导公式的两个应用方向与原则
(1)求值．化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简．化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－csα.
1.(2022·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值为( )
A．eq \f(2\r(2),3) B．eq \f(\r(2),3)
C．eq \f(\r(2),6) D．eq \f(5\r(2),6)
答案 A
解析 ∵0