2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换Word版含解析

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这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换Word版含解析，共23页。试卷主要包含了化简，求值，故选D，所以…＝222等内容，欢迎下载使用。

考向一三角函数式的化简
例1 (1)已知0<θ<π，则
eq \f(1＋sinθ＋csθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2))),\r(2＋2csθ))＝________.
答案－csθ
解析由θ∈(0，π)得00，
所以eq \r(2＋2csθ)＝eq \r(4cs2\f(θ,2))＝2cseq \f(θ,2).
又(1＋sinθ＋csθ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2)＋2cs2\f(θ,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))
＝2cseq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(θ,2)－cs2\f(θ,2)))＝－2cseq \f(θ,2)csθ.
故原式＝eq \f(－2cs\f(θ,2)csθ,2cs\f(θ,2))＝－csθ.
(2)化简：eq \a\vs4\al\c1()eq \f(1,tan\f(α,2))－taneq \f(α,2) eq \a\vs4\al\c1()eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tanαtan\f(α,2)))＝________.
答案 eq \f(2,sinα)
解析原式＝eq \a\vs4\al\c1()eq \f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)) eq \a\vs4\al\c1()eq \a\vs4\al\c1()1＋eq \f(sinα,csα)·eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)) eq \a\vs4\al\c1()
＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2))·eq \f(csαcs\f(α,2)＋sinαsin\f(α,2),csαcs\f(α,2))
＝eq \f(2csα,sinα)·eq \f(cs\f(α,2),csαcs\f(α,2))＝eq \f(2,sinα).
(3)化简：eq \f(sin2α＋β,sinα)－2cs(α＋β)．
解原式＝eq \f(sin2α＋β－2sinαcsα＋β,sinα)
＝eq \f(sin[α＋α＋β]－2sinαcsα＋β,sinα)
＝eq \f(sinαcsα＋β＋csαsinα＋β－2sinαcsα＋β,sinα)
＝eq \f(csαsinα＋β－sinαcsα＋β,sinα)
＝eq \f(sin[α＋β－α],sinα)＝eq \f(sinβ,sinα).
三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．
(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．
(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次．
1.化简：eq \f(2tan45°－α,1－tan245°－α)·
eq \f(sinαcsα,cs2α－sin2α)＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析原式＝tan(90°－2α)·eq \f(\f(1,2)sin2α,cs2α)＝eq \f(sin90°－2α,cs90°－2α)·eq \f(\f(1,2)sin2α,cs2α)＝eq \f(cs2α,sin2α)·eq \f(\f(1,2)sin2α,cs2α)＝eq \f(1,2).
2．化简：eq \f(2cs4x－2cs2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝________.
答案 eq \f(1,2)cs2x
解析原式＝eq \f(\f(1,2)4cs4x－4cs2x＋1,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(2cs2x－12,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))＝eq \f(cs22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x)))＝eq \f(cs22x,2cs2x)＝eq \f(1,2)cs2x.
多角度探究突破
考向二三角函数式的求值
角度给角求值
例2 (1)求值：eq \f(cs20°,cs35°\r(1－sin20°))＝( )
A．1 B．2
C．eq \r(2) D．eq \r(3)
答案 C
解析原式＝eq \f(cs20°,cs35°|sin10°－cs10°|)
＝eq \f(cs210°－sin210°,cs35°cs10°－sin10°)＝eq \f(cs10°＋sin10°,cs35°)
＝eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs10°＋\f(\r(2),2)sin10°)),cs35°)＝eq \f(\r(2)cs45°－10°,cs35°)
＝eq \f(\r(2)cs35°,cs35°)＝eq \r(2).
(2)求值：eq \f(\r(3)tan12°－3,sin12°4cs212°－2)＝________.
答案－4eq \r(3)
解析原式＝eq \f(\f(\r(3)sin12°,cs12°)－3,22cs212°－1sin12°)
＝eq \f(\r(3)sin12°－3cs12°,2sin12°cs12°cs24°)
＝eq \f(2\r(3)sin12°cs60°－cs12°sin60°,sin24°cs24°)
＝eq \f(4\r(3)sin12°－60°,sin48°)＝－4eq \r(3).
该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
3.求值：eq \f(\r(3),cs10°)－eq \f(1,sin170°)＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
答案 D
解析 eq \f(\r(3),cs10°)－eq \f(1,sin170°)＝eq \f(\r(3),cs10°)－eq \f(1,sin10°)
＝eq \f(\r(3)sin10°－cs10°,sin10°cs10°)＝eq \f(2sin10°－30°,\f(1,2)sin20°)
＝eq \f(－2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝－4.故选D.
4．(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)的值为( )
A．222 B．223
C．211 D．212
答案 A
解析由结论知tan1°＋tan44°＝1－tan1°·tan44°，(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2.所以(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)＝222.故选A．
角度给值求值

例3 (1)(2021·赣州模拟)若cs78°＝m，则sin(－51°)＝( )
A．－eq \r(\f(m＋1,2)) B．－eq \f(\r(1－m),2)
C． eq \r(\f(m＋1,2)) D． eq \r(\f(1－m,2))
答案 A
解析 ∵cs78°＝m，∴cs(180°－78°)＝cs102°＝－cs78°＝－m，可得1－2sin251°＝cs102°＝－m，∴sin251°＝eq \f(1＋m,2)，解得sin51°＝ eq \r(\f(1＋m,2))，∴sin(－51°)＝－ eq \r(\f(1＋m,2)).故选A．
(2)(2022·辽宁沈阳摸底)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(10),10)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,3)))＝________.
答案 eq \f(4－3\r(3),10)
解析由题意可得cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1,10)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,2)))＝－sin2θ＝－eq \f(4,5)，即sin2θ＝eq \f(4,5).因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(10),10)>0，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以0<θ 给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．
5.若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,10)))＝eq \f(1,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(3π,10)))＝( )
A．－eq \f(3,5) B．eq \f(3,5)
C．－eq \f(23,25) D．eq \f(23,25)
答案 D
解析设β＝α＋eq \f(π,10)，则α＝β－eq \f(π,10)，所以2α－eq \f(3π,10)＝2β－eq \f(π,2).因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,10)))＝eq \f(1,5)，所以csβ＝eq \f(1,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(3π,10)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2β－\f(π,2)))＝－cs2β＝1－2cs2β＝1－2×eq \f(1,25)＝eq \f(23,25).故选D.
6．(2021·辽宁省本溪满族自治县高级中学模拟)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝eq \f(\r(5)－1,2)的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则eq \f(m\r(4－m2),2cs227°－1)等于( )
A．4 B．eq \r(5)＋1
C．2 D．eq \r(5)－1
答案 C
解析由题意可知2sin18°＝m＝eq \f(\r(5)－1,2)，
所以m2＝4sin218°.
则eq \f(m\r(4－m2),2cs227°－1)＝eq \f(2sin18°\r(4－4sin218°),2cs227°－1)
＝eq \f(2sin18°·2cs18°,cs54°)＝eq \f(2sin36°,cs54°)＝2.
角度给值求角
例4 (1)若sin2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A．eq \f(7π,4) B．eq \f(9π,4)
C．eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D．eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
答案 A
解析因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))，又因为sin2α＝eq \f(\r(5),5)，所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以cs2α＝－eq \f(2\r(5),5).又因为β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cs(β－α)＝－eq \f(3\r(10),10)，所以cs(α＋β)＝cs[2α＋(β－α)]＝cs2αcs(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，又因为α＋β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，故α＋β＝eq \f(7π,4).故选A．
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tanβ＝－eq \f(1,7)，则2α－β的值为________.
答案－eq \f(3π,4)
解析 ∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝eq \f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq \f(1,3)>0，
∴0<α又tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(3,4)>0，
∴0<2α∴tan(2α－β)＝eq \f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.
∵tanβ＝－eq \f(1,7)<0，∴eq \f(π,2)<β<π，
∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq \f(3π,4).
通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则
(1)已知正切函数值，则选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦函数较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则选正弦函数较好．
7.(2021·福建漳州八校联考)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cs40°)，则α等于( )
A．10° B．20°
C．70° D．80°
答案 C
解析由题意，得tanα＝eq \f(1＋cs40°,sin40°)＝eq \f(2cs220°,2cs20°sin20°)＝eq \f(cs20°,sin20°)＝eq \f(sin70°,cs70°)＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选C．
8．已知csα＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α答案 eq \f(π,3)
解析 ∵0<β<α考向三三角恒等变换的综合应用
例5 (1)(多选)(2022·江苏南京月考)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,12)))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,12))) (0<ω<6)的图象关于直线x＝1对称，则满足条件的ω的值为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(4π,3) D．eq \f(7π,3)
答案 BC
解析 f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(5π,12)－\f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6))).因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以ω＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得ω＝kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，因为0<ω<6，所以ω＝eq \f(π,3)或ω＝eq \f(4π,3)，故选BC．
(2) (2021·海口调研)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为eq \f(π,3)的扇形，点A在弧PQ上(异于点P，Q)，过点A作AB⊥OP，AC⊥OQ，垂足分别为B，C，记∠AOB＝θ，四边形ACOB的周长为l.
①求l关于θ的函数关系式；
②当θ为何值时，l有最大值？并求出l的最大值．
解 ①AB＝OA·sinθ＝sinθ，OB＝OA·csθ＝csθ，
AC＝OA·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))，
OC＝OA·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))，
所以l＝sinθ＋csθ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))
＝sinθ＋csθ＋eq \f(\r(3),2)csθ－eq \f(1,2)sinθ＋eq \f(1,2)csθ＋eq \f(\r(3),2)sinθ
＝eq \f(1＋\r(3),2)sinθ＋eq \f(3＋\r(3),2)csθ
＝eq \f(\r(3)＋1,2)(sinθ＋eq \r(3)csθ)
＝(eq \r(3)＋1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,3))).
②由0<θ当θ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,6)时，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，
lmax＝eq \r(3)＋1，
所以当θ＝eq \f(π,6)时，lmax＝eq \r(3)＋1.
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)把形如y＝asinx＋bcsx化为y＝eq \r(a2＋b2)·sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
9.(2022·湖南岳阳摸底)若函数f(x)＝5csx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则csθ等于( )
A．eq \f(5,13) B．－eq \f(5,13)
C．eq \f(12,13) D．－eq \f(12,13)
答案 B
解析 f(x)＝5csx＋12sinx＝13eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)csx＋\f(12,13)sinx))＝13sin(x＋α)，其中sinα＝eq \f(5,13)，csα＝eq \f(12,13)，由题意知θ＋α＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，得θ＝2kπ－eq \f(π,2)－α(k∈Z)，所以csθ＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq \f(5,13).
10.
(2021·太原市高三联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道著名的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与池岸齐接(如图所示)，问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设θ＝∠BAC，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝________.
答案 5
解析设BC＝x，则AC＝x＋1，又AB＝5，∴52＋x2＝(x＋1)2，∴x＝12，tanθ＝eq \f(12,5)＝eq \f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))，∴taneq \f(θ,2)＝eq \f(2,3)(负根舍去)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(θ,2)＋\f(π,4)))＝5.
拼凑法在三角恒等变换中的妙用
1．(多选)(2021·湖北荆州模拟)已知α为第一象限角，β为第三象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,3)))＝－eq \f(12,13)，则cs(α＋β)可以为( )
A．－eq \f(33,65) B．－eq \f(63,65)
C．eq \f(33,65) D．eq \f(63,65)
答案 CD
解析 ∵α为第一象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)2．(2021·聊城二模)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(3π,5)))＝________.
答案－eq \f(24,25)
解析因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则α＋eq \f(π,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,5)，\f(7π,10)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))＝eq \f(4,5)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(3π,5)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2π,5)))－π))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2π,5)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5)))＝－2×eq \f(4,5)×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25).
答题启示
角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．
对点训练
1．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9)))＝2csαsineq \f(π,9)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,18))))＝( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．2 D．4
答案 B
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9)))＝2csαsineq \f(π,9)，∴sinαcseq \f(π,9)－csαsineq \f(π,9)＝2csαsineq \f(π,9)，即sinαcseq \f(π,9)＝3csαsineq \f(π,9)，∴tanα＝3taneq \f(π,9)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(7π,18))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,9))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,9))))＝eq \f(sinαcs\f(π,9)－csαsin\f(π,9),sinαcs\f(π,9)＋csαsin\f(π,9))＝eq \f(tanα－tan\f(π,9),tanα＋tan\f(π,9))＝eq \f(2tan\f(π,9),4tan\f(π,9))＝eq \f(1,2).故选B.
2．(2021·郑州三模)在平面直角坐标系xOy中，α为第四象限角，α的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),3)，则x0＝( )
A．eq \f(\r(3)＋3\r(2),6) B．eq \f(\r(3)－3\r(2),6)
C．eq \f(\r(6)＋3,6) D．eq \f(\r(6)－3,6)
答案 A
解析由题意得csα＝x0，因为α为第四象限角，即－eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－eq \f(5π,6)＋2kπ<α－eq \f(π,3)<－eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z，因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),3)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(6),3)，则x0＝csα＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),3)－eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)))＝eq \f(\r(3)＋3\r(2),6).故选A．
一、单项选择题
1．eq \f(2cs58°＋sin28°,cs28°)＝( )
A．－eq \r(3) B．1
C．eq \r(3) D．2
答案 C
解析原式＝eq \f(2cs30°＋28°＋sin28°,cs28°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs28°－\f(1,2)sin28°))＋sin28°,cs28°)＝eq \f(\r(3)cs28°,cs28°)＝eq \r(3).
2．函数y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的最小正周期为( )
A．2π B．π
C．eq \f(π,2) D．eq \f(π,4)
答案 B
解析 ∵y＝cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x，∴函数的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π.
3．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小值为( )
A．eq \r(2) B．－2
C．－eq \r(2) D．eq \r(3)
答案 C
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝sin2xcseq \f(π,4)＋cs2xsineq \f(π,4)＋sin2xcseq \f(π,4)－cs2xsineq \f(π,4)＝eq \r(2)sin2x，所以y的最小值为－eq \r(2).
4．(2021·烟台模拟)直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cs2α的值为( )
A．eq \f(8＋\r(10),10) B．eq \f(8－\r(10),10)
C．－eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)
答案 D
解析设直线y＝2x的倾斜角为β，则tanβ＝2，α＝β－45°，所以tanα＝tan(β－45°)＝eq \f(tanβ－tan45°,1＋tan45°tanβ)＝eq \f(1,3)，cs2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(4,5).故选D.
5．(2021·六盘水市一模)在直角坐标系xOy中，角α的顶点为O，始边为x轴非负半轴．若点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs\f(π,9)，sin\f(π,9)))是角α终边上的一点，则角α的值是( )
A．eq \f(π,18) B．2kπ＋eq \f(π,18)，k∈Z
C．2kπ＋eq \f(π,12)，k∈Z D．2kπ±eq \f(π,12)，k∈Z
答案 B
解析由1＋cseq \f(π,9)>0，sineq \f(π,9)>0，可得点P在第一象限，又tanα＝eq \f(sin\f(π,9),1＋cs\f(π,9))＝eq \f(2sin\f(π,18)cs\f(π,18),2cs2\f(π,18))＝taneq \f(π,18)，所以α＝2kπ＋eq \f(π,18)，k∈Z.故选B.
6．(2022·广东茂名月考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(4,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝( )
A．－eq \f(24,25) B．eq \f(12,25)
C．－eq \f(12,25) D．eq \f(24,25)
答案 A
解析由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(4,5)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(3,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)＋\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝－eq \f(24,25).故选A．
7. 已知在区间[0，π]上，函数y＝3sineq \f(x,2)与函数y＝eq \r(1＋sinx)的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P′，P′的横坐标为x0，则tanx0的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(8,15)
答案 B
解析依题意得3sineq \f(x0,2)＝eq \r(1＋sinx0)＝sineq \f(x0,2)＋cseq \f(x0,2)，即2sineq \f(x0,2)＝cseq \f(x0,2)，则taneq \f(x0,2)＝eq \f(1,2)，所以tanx0＝eq \f(2tan\f(x0,2),1－tan2\f(x0,2))＝eq \f(4,3).故选B.
8．(2021·郑州模拟)设α＝eq \f(7π,18)，若β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq \f(1＋sinβ,csβ)，则β＝( )
A．eq \f(5π,18) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(7π,18) D．eq \f(4π,9)
答案 A
解析由tanα＝eq \f(1＋sinβ,csβ)得sinαcsβ＝csα＋csαsinβ，即sin(α－β)＝csα＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α＝eq \f(7π,18)，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，由sin(α－β)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，得α－β＝eq \f(π,2)－α，所以2α－β＝eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(5π,18).故选A．
二、多项选择题
9．当taneq \f(α,2)有意义时，下列等式成立的是( )
A．taneq \f(α,2)＝eq \f(sinα,1＋csα) B．taneq \f(α,2)＝eq \f(1＋csα,sinα)
C．sinα＝eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2)) D．csα＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))
答案 ACD
解析 taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(2sin\f(α,2)cs\f(α,2),2cs2\f(α,2))
＝eq \f(sinα,1＋csα)，A成立；taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))
＝eq \f(2sin2\f(α,2),2sin\f(α,2)cs\f(α,2))＝eq \f(1－csα,sinα)，B不成立；sinα＝eq \f(2sin\f(α,2)cs\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))＝eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，C成立；csα＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))，D成立．
10．给出下列四个关系式，其中正确的是( )
A．sinαsinβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]
B．sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
C．csαcsβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]
D．csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]
答案 BD
解析由sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ，sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ，两式相加可得sinαcsβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，故B正确；两式相减可得csαsinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]，故D正确；由cs(α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ，cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ，两式相减可得sinαsinβ＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]，两式相加可得csαcsβ＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]，故A，C错误．故选BD.
11．(2022·福建期末)已知函数f(x)＝sinx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \f(1,4)，则f(x)的值不可能是( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－2 D．2
答案 CD
解析 f(x)＝sinx·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx))－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(\r(3),2)sinx·csx－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)·eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),4)sin2x－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cs2x))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，故选CD.
12．(2021·长沙质检)已知函数f(x)＝4cs2x，则下列说法中正确的是( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)的最小正周期为π
C．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称
D．f(x)的值域为[0,4]
答案 BD
解析 f(x)＝4cs2x＝2cs2x＋2，该函数的定义域为R.∵f(－x)＝2cs(－2x)＋2＝2cs2x＋2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，A错误；函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，B正确；∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,4)))＋2＝2，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))既不是函数f(x)的最大值，也不是该函数的最小值，C错误；∵－1≤cs2x≤1，∴f(x)＝2cs2x＋2∈[0,4]，D正确．
三、填空题
13．(2020·江苏高考)已知sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2,3)，则sin2α的值是________.
答案 eq \f(1,3)
解析 ∵sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csα＋\f(\r(2),2)sinα))2＝eq \f(1,2)(1＋sin2α)，∴eq \f(1,2)(1＋sin2α)＝eq \f(2,3)，∴sin2α＝eq \f(1,3).
14．求值：sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝________.
答案 1
解析 sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)＝sin50°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)·\f(sin10°,cs10°)))＝sin50°·eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)＝sin50°·eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),cs10°)＝eq \f(2sin50°·cs50°,cs10°)＝eq \f(sin100°,cs10°)＝eq \f(cs10°,cs10°)＝1.
15．定义运算|eq \(\s\up7(a),\s\d5(c)) eq \(\s\up7(b),\s\d5(d))|＝ad－bc.若csα＝eq \f(1,7)，|eq \(\s\up7(sinα),\s\d5(csα)) eq \(\s\up7(sinβ),\s\d5(csβ))|＝eq \f(3\r(3),14)，0<β<α答案 eq \f(π,3)
解析由题意有sinαcsβ－csαsinβ＝sin(α－β)＝eq \f(3\r(3),14)，又0<β<α16．(2022·龙岩质检)若α∈(0，π)，且3sinα＋2csα＝2，则taneq \f(α,2)＝________.
答案 eq \f(3,2)
解析解法一：3sinα＋2csα
＝eq \f(6sin\f(α,2)cs\f(α,2)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))
＝eq \f(6tan\f(α,2)＋2－2tan2\f(α,2),tan2\f(α,2)＋1)＝2，
∴3taneq \f(α,2)＋1－tan2eq \f(α,2)＝tan2eq \f(α,2)＋1，
解得taneq \f(α,2)＝0或eq \f(3,2)，又α∈(0，π)，
∴taneq \f(α,2)≠0，∴taneq \f(α,2)＝eq \f(3,2).
解法二：∵3sinα＋2csα＝2，∴3sinα＝2(1－csα)，∴6sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝4sin2eq \f(α,2)，∴sineq \f(α,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(α,2)－3cs\f(α,2)))＝0，又0<α<π，∴0四、解答题
17．(2021·昆明市高考三诊一模)已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3).
(1)求证：sinαcsβ＝5csαsinβ；
(2)若已知0<α＋β解 (1)证明：∵sin(α＋β)＝sinαcsβ＋csαsinβ＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ＝eq \f(1,3)，
∴2sinαcsβ＋2csαsinβ＝1，①
3sinαcsβ－3csαsinβ＝1，②
②－①得sinαcsβ－5csαsinβ＝0，
则sinαcsβ＝5csαsinβ.
(2)∵sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α－β)＝eq \f(1,3)，
0<α＋β∴cs(α＋β)＝eq \f(\r(3),2)，cs(α－β)＝eq \f(2\r(2),3)，
则cs2α＝cs[(α＋β)＋(α－β)]
＝cs(α＋β)cs(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(2\r(2),3)－eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2\r(6)－1,6).
18．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最小正周期为π，且cs2φ＋csφ＝0.
(1)求ω和feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))的值；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝eq \f(3,5)(0<α<π)，求sinα.
解 (1)∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的最小正周期为eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.
再根据cs2φ＋csφ＝2cs2φ－1＋csφ＝0，
得csφ＝－1(舍去)或csφ＝eq \f(1,2)，
∴φ＝eq \f(π,3)，故f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2).
(2)∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))))＝－eq \f(4,5)，
故sinα＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))cseq \f(π,3)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))sineq \f(π,3)＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3＋4\r(3),10).
19. (2021·威海高三上学期期中)某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧PMQ(M为此圆弧的中点)和线段PQ构成．已知圆O的半径为12千米，M到PQ的距离为16千米．现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域R1为矩形ABCD，养殖区域R2为△AMB，且A，B均在圆弧上，C，D均在线段PQ上，设∠AOM＝α.
(1)用α分别表示矩形ABCD和△AMB的面积，并确定csα的范围；
(2)根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在R1内养殖鱼类，在R2内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为3∶2.求当α为何值时，能使年总产值最大．
解 (1)设矩形ABCD和△AMB的面积分别为S1，S2，由题意可得，矩形ABCD的边长分别为24sinα，4＋12csα，所以S1＝96sinα(1＋3csα)，
等腰三角形AMB的底与高分别为24sinα，12－12csα，
所以S2＝144sinα(1－csα)．
过P作PN∥OM交圆弧于点N，连接ON.
设∠MON＝α0，α0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，易得csα0＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，
因为C，D均在线段PQ上，所以0<α≤α0，
所以csα0≤csα即eq \f(1,3)≤csα<1.
(2)因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为3∶2，
所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为3k,2k(k>0)，设年总产值为S，
则年总产值为S＝3k·96sinα(1＋3csα)＋2k·144sinα(1－csα)＝576k(sinα＋sinαcsα)．
设f(α)＝sinα＋sinαcsα，且0<α≤α0，
f′(α)＝csα＋cs2α－sin2α
＝2cs2α＋csα－1＝(2csα－1)(csα＋1)，
令f′(α)＝0，得α＝eq \f(π,3)，
因为csα0＝eq \f(1,3)当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，csα>eq \f(1,2)，f′(α)>0，f(α)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增；
当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，α0))时，csα所以当α＝eq \f(π,3)时，能使年总产值最大．