2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第5讲　椭圆（一）Word版含解析

这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第9章第5讲　椭圆（一）Word版含解析，共26页。试卷主要包含了椭圆的概念，椭圆的标准方程和几何性质，设B是椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做eq \x(\s\up1(01))椭圆.这两个定点叫做椭圆的eq \x(\s\up1(02))焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的eq \x(\s\up1(03))焦距.
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若eq \x(\s\up1(04))a>c，则集合P表示椭圆；
(2)若eq \x(\s\up1(05))a＝c，则集合P表示线段；
(3)若eq \x(\s\up1(06))a0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．9
答案 B
解析 由4＝eq \r(25－m2)(m>0)⇒m＝3，故选B.
2．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
答案 D
解析 依椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.故选D．
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
答案 B
解析 因为椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B.
4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于eq \f(1,3)，则椭圆C的方程是( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,\r(3))＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
答案 D
解析 依题意，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(c＝1，,\f(c,a)＝\f(1,3)，,c2＝a2－b2，))解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.故选D．
5．(2022·河北邢台诊断考试)已知点P(x1，y1)是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是( )
A．eq \f(16\r(3),3) B．12
C．16(2＋eq \r(3)) D．16(2－eq \r(3))
答案 B
解析 ∵椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1，∴a＝5，b＝4，c＝eq \r(25－16)＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝eq \f(1,2)×2×3×4＝12，故选B.
6．若方程eq \f(x2,5－k)＋eq \f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________.
答案 (3,4)∪(4,5)
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－k＞0，,k－3＞0，,5－k≠k－3，))解得3＜k＜5且k≠4.
考向一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 B
解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆．
(2)如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \f(3\r(3),2)
C．eq \f(3\r(3),4) D．eq \f(4\r(3),3)
答案 D
解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝eq \f(16,3)，∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq \f(4\r(3),3)，故选D．

(1)椭圆定义的应用范围
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
②解决与焦点有关的距离问题．
(2)焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
1．(多选)(2021·济南模拟)已知P是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝2eq \r(2)
C．点P到x轴的距离为eq \f(2\r(10),5)
D．eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝2
答案 BCD
解析 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝eq \r(5)，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2eq \r(5)，故A错误；在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cs∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1|·|PF2|－eq \f(2,3)|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)×6×eq \f(2\r(2),3)＝2eq \r(2)，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)d＝2eq \r(2)，所以d＝eq \f(2\r(10),5)，故C正确；eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|cs∠F1PF2＝6×eq \f(1,3)＝2，故D正确．
2．与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析 设动圆的半径为r，圆心P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r，所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，即点P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，即点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
考向二 椭圆的标准方程
例2 (1)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
答案 B
解析 设椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝eq \f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(→))，∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(b,2))).将B点坐标代入椭圆方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，得eq \f(9,4a2)＋eq \f(b2,4b2)＝1，∴a2＝3，b2＝a2－c2＝2.∴椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选B.
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，则该椭圆的方程为________.
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法：根据椭圆的定义确定2a,2c，然后确定a2，b2的值，再结合焦点位置写出椭圆的标准方程．
(2)待定系数法：具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便，也可把椭圆方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．解题步骤如下：
3.(多选)已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为( )
A．eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,84)＝1 B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
C．eq \f(x2,84)＋eq \f(y2,100)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1
答案 BD
解析 因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝10，,c＝4，))解得a＝5，b2＝25－16＝9.所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,25)＝1.
4．(2021·苏州模拟)已知椭圆的两个焦点为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是( )
A．eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,7)＝1
C．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq \r(5)，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝eq \r(5)，所以b＝eq \r(a2－c2)＝2.所以椭圆的方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
多角度探究突破
考向三 椭圆的几何性质
角度 离心率问题
例3 (1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(5,9) D．eq \f(\r(5),3)
答案 D
解析 设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位线，
∴|OM|＝eq \f(1,2)|PF2|＝b，
∴|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.又|MF1|＝eq \f(1,2)|PF1|＝eq \f(1,2)(2a－2b)＝a－b，|OF1|＝c，在Rt△OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，故选D．
(2)(2022·泰安模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ace3>e2.故选A．
6．(2022·苏州摸底)如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(2)－1,2) B．eq \f(\r(3)－1,2)
C．eq \r(2)－1 D．eq \r(3)－1
答案 B
解析 由题意，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，eq \r(3)c)，将点P的坐标代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，可得eq \f(4c2,a2)＋eq \f(3c2,b2)＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，因为00)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A．eq \f(\r(2),2) B．2－eq \r(3)
C．eq \r(5)－2 D．eq \r(6)－eq \r(3)
答案 D
解析 设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝eq \r(2)m.由椭圆的定义可得△F1AB的周长为4a，即有4a＝2m＋eq \r(2)m，即m＝(4－2eq \r(2))a，则|AF2|＝2a－m＝(2eq \r(2)－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4×(2－eq \r(2))2a2＋4×(eq \r(2)－1)2a2，即有c2＝(9－6eq \r(2))a2，即c＝(eq \r(6)－eq \r(3))a，即e＝eq \f(c,a)＝eq \r(6)－eq \r(3)，故选D．
9．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1
C．eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
答案 C
解析 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|＝eq \f(1,2)|FF′|，知∠FPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝ eq \r(102－62)＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，于是b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1，故选C．
10．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
答案 C
解析 依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，可得xeq \\al(2,0)＝a2－eq \f(a2,b2)yeq \\al(2,0)，则|PB|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－b)2＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－2by0＋b2＝－eq \f(c2,b2)yeq \\al(2,0)－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－eq \f(b3,c2)≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝eq \f(c,a)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))，故选C．
二、多项选择题
11．(2021·汕头二模)2021年2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米、远火点n千米，火星半径为r千米，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列结论正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为2eq \r(m＋rn＋r)
D．a2c1a2，b1>b2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A错误；|PF|＝a1－c1＝a2－c2，故B正确；轨道Ⅱ的短轴长为2b2＝2eq \r(a\\al(2,2)－c\\al(2,2))＝2eq \r(a2－c2a2＋c2)＝2eq \r(m＋rn＋r)，故C正确；由a1－c1＝a2－c2得a1＋c2＝a2＋c1，两边平方得aeq \\al(2,1)＋ceq \\al(2,2)＋2a1c2＝aeq \\al(2,2)＋ceq \\al(2,1)＋2a2c1，即beq \\al(2,1)＋2a1c2＝beq \\al(2,2)＋2a2c1，由于b1>b2>0，故beq \\al(2,1)>beq \\al(2,2)，∴a1c2b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________.
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 设|PF2|＝m，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，∴2a＝3m,2c＝eq \r(3)m，
∴C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
14．(2019·全国Ⅲ卷)设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.
答案 (3，eq \r(15))
解析 设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1上，所以联立方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋42＋y2＝64，,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝±\r(15).))又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，eq \r(15))．
15．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为eq \r(3)，则这个椭圆的方程为________，离心率为________.
答案 eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1 eq \f(1,2)
解析 焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝eq \r(3)，又a＝2c，∴c＝eq \r(3)，a＝2eq \r(3)，b＝3，∴椭圆的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
16．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.
答案 8
解析 由|PQ|＝|F1F2|，得|OP|＝eq \f(1,2)|F1F2|(O为坐标原点)，所以PF1⊥PF2，又由椭圆的对称性，知四边形PF1QF2为平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
四、解答题
17．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关．
解 (1)设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncs60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，∴eq \f(c2,a2)≥eq \f(1,4)，
即e≥eq \f(1,2).又00)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq \r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq \r(3)＋1)c，
故C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当eq \f(1,2)|y|·2c＝16，eq \f(y,x＋c)·eq \f(y,x－c)＝－1，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq \f(b4,c2).
又由①知y2＝eq \f(162,c2)，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq \f(a2,c2)(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq \r(2).当b＝4，a≥4eq \r(2)时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4eq \r(2)，＋∞)．
19．(2022·武汉高三预测)已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
解 (1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得c＝eq \r(3).
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．
由题设知m≠±2，且n≠0.
直线AM的斜率kAM＝eq \f(n,m＋2)，
故直线DE的斜率kDE＝－eq \f(m＋2,n).
所以直线DE的方程为y＝－eq \f(m＋2,n)(x－m)．
直线BN的方程为y＝eq \f(n,2－m)(x－2)．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(m＋2,n)x－m，,y＝\f(n,2－m)x－2，))
解得点E的纵坐标为yE＝－eq \f(n4－m2,4－m2＋n2).
由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，
所以yE＝－eq \f(4,5)n.
又S△BDE＝eq \f(1,2)|BD|·|yE|＝eq \f(2,5)|BD|·|n|，
S△BDN＝eq \f(1,2)|BD|·|n|，
所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.
20．(2020·全国Ⅲ卷)已知椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0＜m＜5)的离心率为eq \f(\r(15),4)，A，B分别为C的左、右顶点．
(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
解 (1)∵C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(0＜m＜5)，
∴a＝5，b＝m，
根据离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,5)))2)＝eq \f(\r(15),4)，
解得m＝eq \f(5,4)或m＝－eq \f(5,4)(舍去)，
∴C的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))2)＝1，
即eq \f(x2,25)＋eq \f(16y2,25)＝1.
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为M，设直线x＝6与x轴的交点为N，
根据题意画出图象，如图．
∵|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，
∠PMB＝∠BNQ＝90°，
∴∠PBM＋∠QBN＝90°，
∠BQN＋∠QBN＝90°，∴∠PBM＝∠BQN.
∴△PMB≌△BNQ.
∵eq \f(x2,25)＋eq \f(16y2,25)＝1.∴B(5,0)，
∴|PM|＝|BN|＝6－5＝1.
设P点坐标为(xP，yP)，不妨设yP>0，
可得P点纵坐标为yP＝1，将其代入eq \f(x2,25)＋eq \f(16y2,25)＝1，可得eq \f(x\\al(2,P),25)＋eq \f(16,25)＝1，
解得xP＝3或xP＝－3，
∴P点坐标为(3,1)或(－3,1)．
①当P点坐标为(3,1)时，|MB|＝5－3＝2，
∵△PMB≌△BNQ，∴|MB|＝|NQ|＝2，
∴Q点坐标为(6,2)，
画出图象，如图．
由A(－5,0)，Q(6,2)，
可求得直线AQ的方程为2x－11y＋10＝0，
点P到直线AQ的距离为
d＝eq \f(|2×3－11×1＋10|,\r(22＋112))＝eq \f(|5|,\r(125))＝eq \f(\r(5),5)，|AQ|＝eq \r(6＋52＋2－02)＝5eq \r(5)，
∴△APQ面积为eq \f(1,2)×5eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝eq \f(5,2).
②当P点坐标为(－3,1)时，
|MB|＝5＋3＝8，
∵△PMB≌△BNQ，∴|MB|＝|NQ|＝8，
∴Q点坐标为(6,8)．
画出图象，如图．
由A(－5,0)，Q(6,8)，
可求得直线AQ的方程为8x－11y＋40＝0，
点P到直线AQ的距离为
d＝eq \f(|8×－3－11×1＋40|,\r(82＋112))＝eq \f(5,\r(185))，
|AQ|＝eq \r(6＋52＋8－02)＝eq \r(185)，
∴△APQ面积为eq \f(1,2)×eq \r(185)×eq \f(5,\r(185))＝eq \f(5,2).
综上所述，△APQ的面积为eq \f(5,2). 标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
eq \x(\s\up1(07))－a≤x≤eq \x(\s\up1(08))a
eq \x(\s\up1(09))－b≤y≤eq \x(\s\up1(10))b
eq \x(\s\up1(11))－b≤x≤eq \x(\s\up1(12))b
eq \x(\s\up1(13))－a≤y≤eq \x(\s\up1(14))a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为eq \x(\s\up1(15))2a；短轴B1B2的长为eq \x(\s\up1(16))2b
焦距
|F1F2|＝eq \x(\s\up1(17))2c
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率
e＝eq \x(\s\up1(18))eq \f(c,a)∈eq \x(\s\up1(19))(0,1)
a，b，c的关系
c2＝eq \x(\s\up1(20))a2－b2