2023广西省高三上学期9月西部联考试题数学（理）含解析

2023届高三年级西部联考卷

理科数学

注意事项:

1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。

2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.回答选考题时,考生须按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合, 则

A.          B.

C.         D.

2. 已知复数满足, 则复数的虚部是

A.      B.      C. I     D. 1

3. 4个人排成一排, 则甲不站两边的概率为

A.      B.      C.      D.

4. 在前项和为的等差数列中, 若, 则

A. 39     B. 40     C. 41     D. 42

5. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关, 满足函数关系（为保鲜时间,为储存温度), 若该食品在冰箱中的保鲜时间是144 小时,在常温的保鲜时间是48 小时, 则该食品在高温的保鲜时间是

A. 16 小时    B. 18 小时    C. 20 小时    D. 24 小时

6. 右图是战国时期的一个铜镞,其由两部分组成,前段是高为、底面边长为1cm的正三棱锥, 后段是高为0.6cm的圆柱, 圆柱底面圆周与正三棱锥底面的正三角形内切, 则此铜镞的体积约为

A.     B.     C.     D.

7. 已知圆经过点, 半径为 2 , 若圆上存在两点关于直线对称, 则的最大值为

A. 1     B.      C.      D.

8. 执行如图所示的程序框图, 则输出的值为

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

9. 如图, 在平面四边形中, , 现将沿折起, 并连接, 使得平面平面, 若所得三棱锥的外接球的表面积为, 则三棱锥的体积为

A.      B.      C.      D.

10. 已知当时, 函数的图象与函数的图象有且只有两个交点, 则实数的取值范围是

A.    B.     C.     D.

11. 如图 1 所示, 双曲线具有光学性质: 从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反 射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 若双曲线的左、右焦点分别为 , 从发出的光线经过图 2 中的两点反射后, 分别经过点和, 且, 则双曲线的离心率为

A.      B.     C.     D.

12. 已知函数, 则下列结论正确的是

A. 是奇函数        B. 的最大值为 2

C.       D.

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13. 已知非零向量满足,且,则与的夹角为_____.

14. 在等比数列中, 若, 则_____.

15. 已知, 则_____.

16. 椭圆的左、右焦点分别为, 离心率为为椭圆的左顶点, 且, 过原点的直线交椭圆于两点, 则的取值范围为_____.

三、解答题: 共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 题为必考题, 每个 试题考生都必须作答. 第 22、23题为选考题, 考生根据要求作答.

(一) 必考题:共 60 分.

17. (本小题满分 12 分)

在中, 内角所对的边分别为, 且.

(1) 若, 求 ;

(2) 若为边上一点, 且, 求的面积.

18. (本小题满分 12 分)

如图, 在三棱柱中, 平面平面, 四边形是菱形, 是的中点.

(1) 证明: 平面;

(2) 求二面角的正弦值.

19. (本小题满分 12 分)

我国出现了新冠疫情后, 医护人员一直在探索治疗新冠的有效药, 并对确诊患者进行积极救治. 现有6位症状相同的确诊患者,分成两组,组3人, 服用甲种中药,组3人, 服用乙种中药. 服药一个疗程后,组中每人康复的概率都为, 组3人康复的概率分别为.

(1) 设事件表示组中恰好有 1 人康复,事件表示组中恰好有 1 人康复, 求;

(2) 求组康复人数比组康复人数多的概率.

20. (本小题满分 12 分)

已知函数, 其中为非零实数.

(1)讨论的单调性;

(2)若有两个极值点, 且, 证明:.

21. (本小题满分 12 分)

已知抛物线(为正常数) 的焦点为是抛物线上任意一点, 圆的方程为 的最小值为 4 .

(1) 求的值;

(2) 过点作圆的两条切线分别与抛物线相交于点 (异于点), 证明: 直线也始终与圆相切.

(二)选考题: 共10分.请考生在第 22 、23题中任选一题作答. 如果多做,则按所做的第一题计分.

22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中, 曲线的参数方程为 ( 为参数). 以坐标原为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 则曲线的极坐标方程为.

(1) 分别求曲线和曲线在平面直角坐标系中的标准方程;

(2) 若曲线和曲线相交于两点, 求.

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲

已知均为正数, 且满足. 证明:

(1) ;

(2) .