【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第02讲 整除问题综合 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

一、数论综合提高一（六上）

1、整除

  （1）整除定义：

       如果整数a除以整数b（b不等于0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a．

  （2） 特殊数的整除特征

       （a）尾数判断法

            能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；

            能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；

            能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．

       （b）截断求和法

            能被9、99、999及其约数整除的数的特征．

       （c）截断求差法

            能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．

       （d）分解判定法

            一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．

         特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

  （3）常用整除性质

       性质1：如果c|a，c|b，那么c|(a+b)、c|(a-b)．

       性质2：如果bc|a，那么b|a，c|a．

       性质3：如果b|a，c|a，且（b，c）=1那么bc|a．

       性质4：如果c|b，b|a，那么c|a．

  （4）整除的一些基本方法

      （a）分解法

           分解得到的数有整除特性．

           两两互质．

      （b）数字谜法

           被除数的末位已知

           除数变为乘法数字谜的第一个乘数．

      （c）试除法

           除数比较大．

           被除数的首位已知．

      （d）同除法

           被除数与除数同时除以相同的数．

           简化后的除数有整除特征．

2、质数合数

  （1）质数与合数的定义

       质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他数整除的数．

  （2）分解质因数

       分解质因数是把一个数写成质因数相乘的形式．

典型题型

1、整除

  （1）基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字．

      （a）9的考点：乱切法；

      （b）11的考点：

           奇位和减偶位和；

           两位截断求和；

           三位截断，奇段和减偶段和．

  （2）整除的性质和使用；

  （3） 整除与位值原理

  （4）整除方法在数字迷中的应用

2、质数合数

  （1）质数合数填数字：注意2和5的特殊性；

  （2）判断大数是否为质数：逐一试除法；

  （3）末尾0的个数问题：层除法．

本讲主要包括与整除、分解质因数相关的内容，需要熟练掌握所有相关知识点，大部分题型之前已经接触过．一些题目可能涉及多个知识点，或者利用代数式、方程求解．

一、 整除性判断

1、（1）五位数没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？

（2）如果六位数能被624整除，则三个方格中的数是多少？

（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？

【答案】
（1）30675、38625或39675（2）504（3）26999

【解析】
（1），故某两位为25的倍数，原数只能为或．再结合数字和为3的倍数且无重复数字，进而得到五位数为38625、30675或39675．

（2），故末三位与120的和为624的倍数，只能为．

（3）将问题转化为乘法竖式形式的数字谜：，解得最小为．

2、（龙校六年级秋季）将自然数1、2、3、…、N依次写下去组成一个数“12345678910111213…”，该数恰好能被36整数，N最小是________，如果N小于200，共有_______种这样的情况．

【答案】
10

【解析】
．由4和9的整除特征，时均不满足要求．故，化简得或，即或，最小值为，在2015内共10个．

二、 最值问题

3、一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？

【答案】
13806；94365

【解析】
前三位满足被23整除且各位数字互不相同的最小、最大三位数分别是138、943，易知13806即为最小数，94365即为最大数．

4、（龙校五年级春季）六位数中各位数字互不相同，它能被11整除，那么这样的六位数最小是多少？

【答案】
470129

【解析】
最小为470123，而其被11除余5，故加6即可．而无重复数字，符合要求，因此470129即为所求．

三、 乘积的整除性或分解形式

5、已知是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数是多少？

【答案】
865

【解析】
由，得：要同时能被5、9、11整除．由个位数字可以推断，不能被5整除；又由11的整除性质可以推断，不能被11整除．所以既是5的倍数，又是11的倍数，只能是605．由于605不能被9整除，所以必须能被9整除．由是9的倍数，推出，所以．

6、72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数．这个三位数最大是多少？

【答案】
648

【解析】
，故三位数形式为．由可知．，故三位数最大为．

四、 乘积末尾0的个数

7、设，请问：

（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？

（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？

【答案】
（1）426个（2）850次

【解析】
（1）明显中质因数2的个数比质因数5的个数多，所以末尾有多少个连续的数字“0”由质因数5的个数决定．

先求出的乘积中质因数5的个数，再减去的乘积中质因数5的个数，就是N中质因数5的个数．

用层数法计算的乘积中质因数5的个数：（算式中的余数略去不写）

，，，，个；

用层数法计算的乘积中质因数5的个数：（算式中的余数略去不写）

，，，个；

所以N中质因数5的个数是个，故N的末尾一共会出现426个连续的数字“0”．

（2），所以分别看N中质因数2和3的个数即可．

用层数法计算的乘积中质因数2的个数：（算式中的余数略去不写）

，，，，，，，，，，

个；

用层数法计算的乘积中质因数2的个数：（算式中的余数略去不写）

，，，，，，，，个；

用层数法计算的乘积中质因数3的个数：（算式中的余数略去不写）

，，，，，，个；

用层数法计算的乘积中质因数3的个数：（算式中的余数略去不写）

，，，，，个；

所以N中有个2，有个3．

因为，所以一共可以除以850次12．

8、在数列1，4，7，10，13，16，19，……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？

【答案】
83

【解析】
易知乘积分解质因数必然是“2多5少”，故第个数位125的倍数且不为625的倍数，即，k最小为2，进而n最小为．

五、 分解质因数

9、两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制．每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜．结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过20分，把每人每局得分乘在一起恰为480480．请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）

【答案】
16:14，15:13，11:1

【解析】
由于480480能被13整除，而单局的比分又不能超过20分，因此6个得分中一定有一个是13，那么这场比赛的得分可能是15:13，或13:11．

情况1：如果一场比赛的比分是15:13，那么另外四个得分乘积就是．11一定是其中的一个得分，而另外三个得分中一定有7或者14．

①如果7是其中一个得分，那么这场比赛的比分就是11:7，而第三场比赛的比分乘积是，这种情况下凑不出满足比赛规则的比分．

②如果14是其中一个得分，那么这场比赛的比分只能是16:14，此时第三场比赛比分是11:1，满足要求．

情况2：如果一场比赛的比分是13:11，那么另外四个得分乘积就是．由于11已经在13:11中出现，那么剩下的两场比赛的得分中就没有11，只能从20:18，19:17，……，12:10中选择．因此余下的四个得分都要不小于10．

但是注意到这四个得分的乘积是，而已经超过3360，因此这种情况下也没有满足要求的结果．

综合以上分析，得到了唯一满足要求的答案——3局比赛的比分为16:14，15:13，11:1．

10、（2008年金帆六秋）101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是__________．

【答案】
6666

【解析】
设中间数（即第51个数）为，则，且101个数总和为，所以可表示为四个不同质数乘积．由于101为质数，故能表示为3个不同质数乘积．从51向上逐一试验，得最小的为66，总和为6666．

六、 其它

11、在6和15之间插入30，可以得到6、30、15这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积．请你在3与4之间插入两个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的乘积．

【答案】
6、12

【解析】
设插入的非零自然数为a、b．为整数，故；为整数，故或12．经验证，不是整数，是整数．因此，应插入6、12．

12、（2012高思杯六年级）小羊的手机密码是一个四位数，其中每个数字都是1到5中的数字，已知这个四位数满足以下条件：

（1）没有重复数字；

（2）是3的倍数；

（3）是5的倍数；

（4）相邻两数之差不超过2．

根据以上条件，可以算出小羊的密码是__________．

【答案】
1425

【解析】
首先，因为没有重复数字，且是3的倍数，可知这四位数由1、2、4、5这四个数字组成．又因为是5的倍数，因此末位是5．根据“相邻两数之差不超过2”，可知十位只能是4，所以百位是2，千位是1．

13、（龙校六年级秋季）某商店仅有红蓝两种不同的笔，同种颜色的笔的单价相同，两种笔的单价均是整数元，且两种笔的单价之和为19元．又知若用65元钱去该店买笔，无论怎样买都不可能把钱恰好花光．求两种笔的单价之差．

【答案】
5元

【解析】
每种单价均不为的约数，因为若某种单价a元满足，则两种各买k支，剩下的钱全买单价a元的必能将前花光．这样，65、46、27、8的所有约数均不为单价，可排除1、5、13、2、3、9、4、8，只可能为，价差为元．

1、（1）六位数没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？

（2）如果六位数能被324整除，则三个方格中的数是多少？

（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？

【答案】
（1）105372（2）220、544或868（3）20999

【解析】
（1），故原数为4的倍数，个位可能为2或6．再考虑其为9的倍数，若个位为2，则千位5；若个位为6，则千位为1，矛盾．因此，为102375．

（2），故即满足要求，进而、也满足要求．

（3）将问题转化为乘法竖式形式的数字谜：，解得最小为．

2、（龙校六年级秋季）将自然数1、2、3、…、N依次写下去，形成一个多位数“12345678910111213…”，该数能被45整数，N最小是________；如果N小于2012，共有________种这样的情况．

【答案】
35；88

【解析】
．由5和9的整除特征，有，化简得或，即或，最小值为．从1开始每45个数有2个符合要求，在2015内共个（最后剩余的部分没有满足要求的数）．

3、2011年，海淀区，某顶级大学附中）已知是396的倍数，其中、、分别代表不同的数字．请问：三位数是．

【答案】
22

【解析】
是396的倍数，也就是说可被4、9、11整除．首先能判断被4整除的只能是．其次，若被9整除，则，且不能被11整除，则除被4整除外还需被11整除，可以发现为，与题目要求的“、、分别代表不同的数字”相互矛盾，不可行；所以考虑若被11整除，则，且不能被9整除，则除被4整除外还需被9整除，所以可以为5004或9000．所以为548或908．

4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？

【答案】
8793

【解析】
前两位最大为，百位最大为9，进而个位为，满足要求，故最大值为8793；前两位最小为29，百位最小为0，进而个位为，满足要求，故最小值为2907．

5、（2014年金帆五秋）在2009后面补上三个数字，组成一个七位数，使得这个七位数能被2，3，4，5，6整除，那么当补上的三个数字的和最大时，所补的三个数字是__________．

【答案】
940

【解析】
易知七位数为10的倍数，末尾为0，此时只需七位数是3和4的倍数即可．根据3的整除特征，易知补充的另外两个数之和被3除余1，理论上最大为16，且880即满足要求．因此，所填三个数的数字之和最大为16．

6、（金帆六年级秋季）有8个盒子，各盒中分别装有奶糖9，13，24，28，30，31，37，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走．已知乙、丙取走的糖的块数相同且为丁的两倍，问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？

【答案】
31

【解析】
设丙取走1份，则乙、丙各取2份，三人总和为5份，即块数为5的倍数．8盒总数被5除余1，因此甲的块数被5除也余1，只可能为31块．

1、五位数没有重复数字，如果它能被225整除，那么这个五位数是选项（  ）．

A．38025

B．37025

C．38075

【答案】
A
 

【解析】
，只有38025是9的倍数．

2、已知六位数是99的倍数，那么这个六位数是______．

A．260172

B．250173

C．200102

【答案】
A
 

【解析】
B个位不是2，A、C中只有A两位截断求和为99的倍数．

3、的末尾有________个连续的0．

【答案】
75

【解析】
显然只需要统计5的次数即可．，，，故含个5；，，，故含个5．因此，原式含5的次数为，即乘积末尾有75个连续的0．

4、两个连续自然数的乘积是1190，则这两个数中较小的是___________________．

【答案】
34

【解析】
将1190分解质因数，，易得，．

5、太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼________仙丹．

【答案】
900

【解析】
．，故，进而，即n为30的倍数，显然只有符合要求．

6、在等差数列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？

【答案】
107

【解析】
末尾0是由因子2和因子5的乘积得到的．数列中因子2的个数足够多，因此第个数应为的倍数，并且除以7余1．满足条件的最小数为750．，因此最小是107．

7、51个连续的非零自然数的和恰好是三个不同的质数的积，那么这个最小的和是________．

【答案】
1479

【解析】
设中间数为n，则，且和为，即三个不同的质数为3、17、n，显然n最小为29，和最小为．

8、由1、2、3、4、5、6各一个组成的六位数使它是37的倍数，这个六位数最大的是______．

A．654123

B．654321

C．645321

【答案】
A
 

【解析】
三位截断求和应为37的倍数，只有A符合要求．

9、请你在5与6之间插入两个非零自然数，使得其中任意相邻两个数的和可以整除它们的乘积，则插入的两数之和是________．

【答案】
50

【解析】
设插入的非零自然数为a、b．为整数，故；为整数，故、6、12或30．经验证，只有为整数，插入的两数之和为50．

10、由8个不同的数字组成的最小的72的倍数是多少？最大的是多少？

【答案】
10237896；98763120

【解析】
，故8个不同的数字的和为9的倍数．而为9的倍数，故未用的两个数之和也为9的倍数．若考虑最小值，应让小数尽量多用，故未用的两个为4、5．考虑，则个位为8，但此数一定不是4的倍数，舍．考虑，试验可知最小为10237896；若考虑最大值，应让大数尽量多用，故未用的两个为4、5．考虑，则易知，最大值为98763120．