【奥数】四年级下册数学奥数课件-第18讲《整数裂项》 全国通用

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知识精讲有些较长的复杂数列求和，单靠硬算是很难计算得到结果的，同时也没有公式可以直接用来计算结果，例如计算1×2+2×3+3×4+…+9×10，这时就可以用“裂项”的方法进行求解，裂项的本质是“凑、抵、消”，通过把每一项分拆成两项的差，使得相邻两项有共同可以抵消的部分，相加抵消运算；例如上题，可以如下操作：1×2=(1×2×3-0×1×2)÷32×3=(2×3×4-1×2×3)÷33×4=(3×4×5-2×3×4)÷3……8×9=(8×9×10-7×8×9)÷39×10=(9×10×11-8×9×10)÷3将上述所有算式相加后提取公除数，括号内前后一加一减会相互抵消，最后得到原式=1×2+2×3+3×4+…+8×9+9×10=(9×10×11-0×1×2)÷3；所以1×2+2×3+…+9×10=9×10×11+3=330.
例题1：计算：1×2+2×3+…+19×20分析：乘数是连续自然数，用前面课文中的方法进行裂项分析吧！答案：2660
练习1：计算：1×2+2×3+…+49×50答案：41650
例题2：计算：11×12+12×13+…+99×100分析：乘数依然是连续自然数，仍然是裂项分析！答案：332860
练习2：计算：7×8+8×9+…+49×50答案：41538
例题3：计算：(1)2×4+4×6+…+28×30；(2)1×3+3×5+…+27×29；分析：与例1、2不同，乘数不是连续的自然数，但是连续的偶数、奇数，能否裂项分析呢？答案：（1）4480；（2）4046
练习3：计算：(1)2×4+4×6+…+22×24；(2)1×3+3×5+…+9×11.答案：（1）2288；（2）215
通过前面几道例题，我们来简单地总结一下什么样的算式可以使用“整数裂项”的方法.这个算式应该是由多个整数项相加组成的，每个整数项又分别由多个整数相乘得到；每个整数项中乘数的个数应该是一样的，并且第一个乘数可以组成等差数列，第二个乘数也可以组成等差数列；前一项的最后一个乘数和后一项的第一个乘数是一样的.
例题4：计算：(1)4×7+7×10+…+40×43；(2)2×5+5×8+…+50×53. 分析：乘数构成了等差数列，同样是可以裂项分析的!答案：（1）8788；（2）16490
练习4：计算：(1)5×10+10×15+…+50×55;(2)4×9+9×14+…+49×54.答案：（1）11000；（2）10410
例题5：计算：(1)1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+18×19×20；(2)2×4×6+4×6×8+…+26×28×30.分析：每个乘法算式都有三个乘数，裂项的方法与两个乘数的算式是一样的哦！答案：（1）35910；（2）87360
前面几道例题中，每个整数项中乘数的个数都是2，现在我们看一下更为复杂的题目
整数裂项的方法不单单可以应用于上述形式的数列计算中，在斐波那契数列的计算中也有非常广泛的应用，接下来我们来看一道这样的题目.
例题6：已知斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…的第20项是6765，那么它的前18项的和是多少?分析：如果把前18项全写出来相加，计算量会很大，能否裂项分析呢？题目所给的第20项有什么用呢？哪一项裂项会出现第20项呢？答案：6764
作业1：计算：1×2+2×3+3×4+…+10×11答案：440
作业2：计算：2×4+4×6+6×8+…+20×22答案：1760
作业3：计算：1×3+3×5+5×7+…+11×13答案：358
作业4：计算：4×7+7×10+10×13+…+22×25答案：1708
作业5：计算：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12答案：4290