【奥数】四年级下册数学奥数课件-第4讲《格点图形面积计算》 全国通用

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知识精讲在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一，我们已经学过了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式，你还记得这些公式吗？这一讲我们将学习格点图形的面积，用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形.虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法，常见的格点有正方形格点和三角形格点.
例题1：图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 分析：这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形.答案：7平方厘米；5平方厘米；11平方厘米
练习1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米?答案：3平方厘米；10平方厘米
通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”，但是不一定每个图形都很容易分割；第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积,这种方法称为“添补法”.分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形.添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算.使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质.接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积.
割补法是求解不规则图形面积最常用的方法！
例题2：下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米，那么这五个图形的面积分别为多少平方厘米? 分析：前三个图是可以直接计算的，④、⑤是无法直接计算的，试着用分割、添补的方法解决吧！答案：6平方厘米；12平方厘米；4平方厘米；7平方厘米；9平方厘米.
如果一个三角形的两边都沿三角形格线方向，并且分别是最短线段的m倍和n倍，那么这个三角形的面积就是最小等边三角形面积的m×n倍！
这样就可以直接求一些三角形的面积啦！
练习2：下图是一个三角形点阵，其中能连出的最小等边三角形的面积为1平方厘米，那么这四个图形的面积分别为多少平方厘米?答案：12平方厘米；20平方厘米；5平方厘米；18平方厘米.
要计算格点图形的面积，我们只需要应用合适的方法，数一下要求的图形占了几个单位面积即可；当单位面积不为1时，我们就要格外小心了，务必要在数完后再乘单位面积！对于所有的格点图形，都可以使用割补法计算面识，但是对于复杂的格点图形，使用割补法会非常繁琐，有没有更简单明了的方法呢？那么我们接下来看一个简单快捷的方法.例如，我们要计算如右图的格点多边形的面积(假设最小的正方形面积是1)，我们可以用割补的方法求出图形的面积，现在还有另一种方法，从格点数入手.围成阴影部分的边线，经过了一些格点，这些边界上的格点叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点叫做内部格点，一共有1个.在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：正方形格点多边形面积=边界格点数÷2+内部格点数－1这样，按公式计算：12+2+1-1=6，我们就得出图中阴影部分的面积了.
例题3：如图，相邻两格点间的距离均为1厘米，求阴影部分的面积.分析：尝试着用格点图形面积公式计算一下吧！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢? 答案：6.5平方厘米
练习3：如图，每一个最小正方形的面积都是2，阴影部分的面积是多少?答案：13
类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式:三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-2仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍，大家想一下，为什么是这样呢？
这种方法我们也称为毕克定理！
例题4：如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?分析：尝试着用格点图形面积公式计算一下吧！先数数边界格点、内部格点分别有多少个呢?答案：34平方厘米
练习4：如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?答案：17平方厘米
例题5：如图，每一个最小正方形的面积都是3平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?分析：试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢?答案：19.5平方厘米；31.5平方厘米
例题6：（1）左图中每个最小正三角形的面积是2平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?（2）右图中每个最小正三角形的面积是4平方厘米，阴影部分面积是多少平方厘米?分析：试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适呢?答案：（1）28平方厘米；（2）56平方厘米
对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积，对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补，如果不易添补，可以试试分割，如果用分割法和添补法都不易解决，那么格点公式就派上用场了！在使用格点公式时，有以下几点需要注意：注意是正方形格点还是三角形格点；按照顺序来数边界格点和内部格点；用格点公式计算出来的不是面积，而是最小的正方形或正三角形的面积的倍数；看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下，如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算，用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了.
准确数出边界点和内部点的个数是解题的关键！
作业1：如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么两个阴影图形的面积分别是__________、__________.答案：6；6.5
作业2：下图中三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，图中两个图形的面积分别是__________、__________.答案：7；12
作业3：如图，最小正三角形的面积是4平方厘米，那么阴影部分的面积是__________平方厘米.答案：56
作业4：右图中，每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是__________.答案：29
作业5：下图三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为2，图形的面积是__________.答案：44