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数学人教版第十三章 轴对称综合与测试精练
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这是一份数学人教版第十三章 轴对称综合与测试精练，共24页。试卷主要包含了如图，已知，，则点O是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试
第十三章 轴对称（提升卷）
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．在如图所示的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是 （ ）
A．7 B．8 C．11 D．14
【解析】
解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，
∵AB＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，
答：△AED的周长为7．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、理解对应关系是解题的关键．
2．如图，将一张矩形纸片折叠，若，则的度数是 （ ）
A．51° B．56° C．61° D．76°
【解析】
解：如图
由平行可知∠3=∠1=28°，
由折叠可知∠4=∠2．
∵∠3+∠4+∠2=180°，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 （ ）．
A．100° B．40° C．40°或100° D．40°或70°
【解析】
当这个40°的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40°；
当这个40°的角是底角时，则顶角度数为：=100°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分类讨论思想．
4．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数为 （ ）
A．74° B．69° C．65° D．60°
【解析】
解：如图，连接AD，
∵边AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，
∴CD＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝74°，
∴∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
5．如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】
连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜2.6，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．
6．如图，已知，，则点O是 （ ）
A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【解析】
解：∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∴点O为△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
7．如图，在△ABC中，，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】
解：∵，
∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，
∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，
∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∵FG=2，ED=6，
∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
8．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交OB于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交OC于点，得第3条线段 ；……；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值为( )
A．9 B．21 C．35 D．100
【解析】
解：由题意可知：AO= A1A，A1A= A2A1, …；
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…；
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=2∠BOC= 18°，
同理可得∠A2A1C= 27°， ∠A3A2B = 36°， ∠A4A3C = 45°，∠A5A4B= 54°，
∠A6A5C=63°，∠A7A6B= 72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，
∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，
∴最多能画9条线段；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．若一个等腰三角形的周长是20，一边长是4，则另一边长是______．
【解析】
解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，
则有x+4×2=20，
解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以组成三角形；
若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，
则有2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以组成三角形；
∴三角形的另一边的长分别为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．
10．如图，在△中，，，点在边上，连接．若△为直角三角形，则的度数是____．
【解析】
∵在△ABC中，AB= AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
如图1，当∠BAD=90°时，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°-90°=30° ，
∵∠C=30°，
∴∠ADC=180°−(∠CAD+∠C)=120°，
如图2，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，
综上所述，∠ADC的度数是120° 或90° ，
故答案为120°或90°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
11．如图，在等边△ABC内，AD＝BE，BD＝CE，点D在BE上，若∠CBE＝15°，则∠CAD的度数为__________．
【解析】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，，
∵在△ABD和△BCE中，，
∴，
∴∠BAD=∠CBE＝15°，
∴．
故答案为：45°．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．
12．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°，点D在BC上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG当∠BAD=________时，△DFG为等腰三角形．
【解析】
解：∵AB=AC，∠BAC=140°，
∴∠B=∠C=20°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°．
①当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=40°．
∵∠ADG=20°+θ，
∴20°+40°+20°+θ+θ=180°，
∴θ=50°；
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=40°，
∴∠FDG=∠FGD=70°．
∴20°+70°+20°+2θ=180°，
∴θ=35°；
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=40°，
∴∠GDF=100°，
∴20°+100°+20°+2θ=180°，
∴θ=20°．
∴当θ=20°，35°或50°时，△DFG为等腰三角形．
故答案为：20°或35°或50°．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
13．若正多边形的一个外角是，则这个多边形对称轴的条数是________．
【解析】
解：∵正多边形的一个外角是，
∴正多边形的边数为＝5，
∴这个正多边形是正五边形，故其对称轴有5条．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查的是正多边形的外角和，掌握边数×一个外角＝360°是解题的关键．
14．如图，在中，，、、分别是边、、上的点，，且，，，则边的长是______．
【解析】
解：∵，
∴∠B=∠C，
∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°，∠CDF+∠C+∠CFD=180°，，
∴∠BDE=∠CFD，
在△EBD和△DCF中
，
∴△EBD≌△DCF（AAS），
∴CD=BE=8，BD=CF=5，
∴BC=BD+CD=5+8=13，
故答案为：13．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，此题难度不大，解题的关键是能证明△EBD≌△DCF．
15．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，则BE长为_________．
【解析】
解：平分，BD平分∠ABC，
，∠ABD=∠CBD，
，
，∠EDB=∠CBD，
，∠ABD=∠EDB，
，BE=DE，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
16．如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是______．
【解析】
作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．
∵，，
∴∠DCB=110°，
由对称可得：CF1=F1N，E1C=E1M，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当的周长最小时，的度数是40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出的周长最小时，E，F的位置是解题关键．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，两条公路，相交于点，在内部有两个村庄，．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在内部再启动一个方舱式接种点，要求同时满足：
（1）到两条公路，的距离相等．
（2）到两村庄，的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点的位置（保留作图痕迹）．
【解析】
如图，作线段CD的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线OF，OF交MN于点P，则点P即为所求．
【点睛】
本题考查作图—作线段垂直平分线，作图—作角平分线，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的性质并知道如何正确的作图．
18．如图，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长17，求的周长．
【解析】
（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠A＝40，
∴∠ABC＝∠C＝×（180−40）＝70，
∵DE所在的直线是AB的垂直平分线
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD＝∠A＝40，
∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝70−40＝30；
（2）∵△ABD是等腰三角形
∴AD＝BD，
∵C△CBD＝BC＋CD＋BD＝17，
∴BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝17，
∵AE＝5
∴AB＝2AE＝10，
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝10＋17＝27．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．
19．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．
(1)求证：OC＝OD；
(2)求证：OP是CD的垂直平分线．
【解析】
(1)证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
(2)证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP ，
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO ，
∵∠CEO+∠DEO =180°，
∴∠CEO＝∠DEO= 90°，
∴OE⊥CD，
∴OP是CD的垂直平分线．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
【解析】
(1)证明：在和中，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明∶如图，
由（1）可知，，．
∴，
∴，
即，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
又∵，
∴点也在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：AF＝AE．
【解析】
证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EFAD，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．
【解析】
证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△BAD≌△BED，
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．
23．在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
(1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形；
(2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．
【解析】
(1)证明：是的一个外角，
又，
，
在和中，
，
，
是等腰三角形．
(2)解：由（1）得，，
，
DE平分∠ADC，
，
又∠BAD＝∠CDE，
，
，
，
所以图中与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质．
24．如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
(1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC．
①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为 ，数量关系为 ；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．
【解析】
（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又 BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即 CE⊥BD；
（2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键．
25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
【解析】
(1)解：证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
(2)如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
令AD与CE交于点G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°；
(3)∠A+∠BCD=180°．理由：
如图3，延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试
第十三章 轴对称（提升卷）
时间：100分钟 总分：120分
一、 选择题（每题3分，共24分）
1．在如图所示的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是 （ ）
A．7 B．8 C．11 D．14
【解析】
解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，
∵AB＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，
答：△AED的周长为7．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、理解对应关系是解题的关键．
2．如图，将一张矩形纸片折叠，若，则的度数是 （ ）
A．51° B．56° C．61° D．76°
【解析】
解：如图
由平行可知∠3=∠1=28°，
由折叠可知∠4=∠2．
∵∠3+∠4+∠2=180°，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为 （ ）．
A．100° B．40° C．40°或100° D．40°或70°
【解析】
当这个40°的角是顶角时，则这个等腰三角形的顶角为40°；
当这个40°的角是底角时，则顶角度数为：=100°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角为40°或100°，
故选C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论，注意考虑问题要全面，体现了数学中的分类讨论思想．
4．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB＋BD＝BC，则∠BAC的度数为 （ ）
A．74° B．69° C．65° D．60°
【解析】
解：如图，连接AD，
∵边AC的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，
∴CD＝AB，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB＝74°，
∴∠C＝37°，
∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
5．如图，直线m，l相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.3．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】
连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝1.3，OP＝OP2＝1.3，
∵OP1＋OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜2.6，
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质和三角形三边之间的关系，熟练掌握这两个性质是解题的关键．
6．如图，已知，，则点O是 （ ）
A．三条边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【解析】
解：∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴点O在线段BC的垂直平分线上，
∴点O为△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
7．如图，在△ABC中，，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】
解：∵，
∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，
∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，
∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，
∴BD=DF，CE=GE，
∵FG=2，ED=6，
∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．
8．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交OB于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交OC于点，得第3条线段 ；……；这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值为( )
A．9 B．21 C．35 D．100
【解析】
解：由题意可知：AO= A1A，A1A= A2A1, …；
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…；
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=2∠BOC= 18°，
同理可得∠A2A1C= 27°， ∠A3A2B = 36°， ∠A4A3C = 45°，∠A5A4B= 54°，
∠A6A5C=63°，∠A7A6B= 72°，∠A8A7C=81°，∠A9A8B=90°，
∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，
∴最多能画9条线段；
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等：三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；准确地找到规律是解决本题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．若一个等腰三角形的周长是20，一边长是4，则另一边长是______．
【解析】
解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x，
则有x+4×2=20，
解得：x=12，此时，三角形的三边长为4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以组成三角形；
若等腰三角形的底边为4，设腰长为x，
则有2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以组成三角形；
∴三角形的另一边的长分别为8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键．
10．如图，在△中，，，点在边上，连接．若△为直角三角形，则的度数是____．
【解析】
∵在△ABC中，AB= AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°−∠BAC)÷2=30°，
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，
如图1，当∠BAD=90°时，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=∠BAC−∠BAD=120°-90°=30° ，
∵∠C=30°，
∴∠ADC=180°−(∠CAD+∠C)=120°，
如图2，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，
综上所述，∠ADC的度数是120° 或90° ，
故答案为120°或90°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
11．如图，在等边△ABC内，AD＝BE，BD＝CE，点D在BE上，若∠CBE＝15°，则∠CAD的度数为__________．
【解析】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，，
∵在△ABD和△BCE中，，
∴，
∴∠BAD=∠CBE＝15°，
∴．
故答案为：45°．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．
12．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°，点D在BC上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG当∠BAD=________时，△DFG为等腰三角形．
【解析】
解：∵AB=AC，∠BAC=140°，
∴∠B=∠C=20°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°．
①当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=40°．
∵∠ADG=20°+θ，
∴20°+40°+20°+θ+θ=180°，
∴θ=50°；
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=40°，
∴∠FDG=∠FGD=70°．
∴20°+70°+20°+2θ=180°，
∴θ=35°；
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=40°，
∴∠GDF=100°，
∴20°+100°+20°+2θ=180°，
∴θ=20°．
∴当θ=20°，35°或50°时，△DFG为等腰三角形．
故答案为：20°或35°或50°．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
13．若正多边形的一个外角是，则这个多边形对称轴的条数是________．
【解析】
解：∵正多边形的一个外角是，
∴正多边形的边数为＝5，
∴这个正多边形是正五边形，故其对称轴有5条．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查的是正多边形的外角和，掌握边数×一个外角＝360°是解题的关键．
14．如图，在中，，、、分别是边、、上的点，，且，，，则边的长是______．
【解析】
解：∵，
∴∠B=∠C，
∵∠CDF+∠EDF+∠BDE=180°，∠CDF+∠C+∠CFD=180°，，
∴∠BDE=∠CFD，
在△EBD和△DCF中
，
∴△EBD≌△DCF（AAS），
∴CD=BE=8，BD=CF=5，
∴BC=BD+CD=5+8=13，
故答案为：13．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，此题难度不大，解题的关键是能证明△EBD≌△DCF．
15．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG=2，且GC=6，则BE长为_________．
【解析】
解：平分，BD平分∠ABC，
，∠ABD=∠CBD，
，
，∠EDB=∠CBD，
，∠ABD=∠EDB，
，BE=DE，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
16．如图，四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、AB上的动点，当的周长最小时，的度数是______．
【解析】
作C关于BA和AD的对称点N，M，连接MN，交AD于E1，交AB于F1，则MN即为△CEF的周长最小值．
∵，，
∴∠DCB=110°，
由对称可得：CF1=F1N，E1C=E1M，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当的周长最小时，的度数是40°，
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质、等边对等角等知识，根据已知得出的周长最小时，E，F的位置是解题关键．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，两条公路，相交于点，在内部有两个村庄，．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在内部再启动一个方舱式接种点，要求同时满足：
（1）到两条公路，的距离相等．
（2）到两村庄，的距离相等．请你用直尺和圆规作出接种点的位置（保留作图痕迹）．
【解析】
如图，作线段CD的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线OF，OF交MN于点P，则点P即为所求．
【点睛】
本题考查作图—作线段垂直平分线，作图—作角平分线，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的性质并知道如何正确的作图．
18．如图，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长17，求的周长．
【解析】
（1）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠A＝40，
∴∠ABC＝∠C＝×（180−40）＝70，
∵DE所在的直线是AB的垂直平分线
∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD＝∠A＝40，
∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝70−40＝30；
（2）∵△ABD是等腰三角形
∴AD＝BD，
∵C△CBD＝BC＋CD＋BD＝17，
∴BC＋CD＋AD＝BC＋AC＝17，
∵AE＝5
∴AB＝2AE＝10，
∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝10＋17＝27．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．
19．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．
(1)求证：OC＝OD；
(2)求证：OP是CD的垂直平分线．
【解析】
(1)证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
(2)证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP ，
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEO ，
∵∠CEO+∠DEO =180°，
∴∠CEO＝∠DEO= 90°，
∴OE⊥CD，
∴OP是CD的垂直平分线．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
20．如图，，，，．
(1)求证：；
(2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC．
【解析】
(1)证明：在和中，
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)证明∶如图，
由（1）可知，，．
∴，
∴，
即，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
又∵，
∴点也在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：AF＝AE．
【解析】
证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EFAD，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上．
【解析】
证：如图，在BC上截取BE＝BA，连接DE，
∵BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△BAD≌△BED，
∴∠A＝∠DEB，AD＝DE，
∵∠A+∠C＝180°，∠BED+∠DEC＝180°，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴AD＝CD，
∴点D在线段AC的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．
23．在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
(1)如图①，求证：△ADE是等腰三角形；
(2)如图②，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE除外）．
【解析】
(1)证明：是的一个外角，
又，
，
在和中，
，
，
是等腰三角形．
(2)解：由（1）得，，
，
DE平分∠ADC，
，
又∠BAD＝∠CDE，
，
，
，
所以图中与∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE和∠BAD．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，解题关键在于熟练掌握其相关证明的判定及性质．
24．如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
(1)如果∠BAC＝90°，AB＝AC．
①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为 ，数量关系为 ；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；
(2)如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．
【解析】
（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又 BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B，CE＝BD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD．故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，又AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即 CE⊥BD；
（2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，∴∠AGC＝45°，∴AC＝AG，即△ACG是等腰直角三角形，∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，∴∠GAD＝∠CAE，又∵DA＝EA，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGD＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键．
25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
【解析】
(1)解：证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
(2)如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
令AD与CE交于点G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°；
(3)∠A+∠BCD=180°．理由：
如图3，延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
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