2021学年第十四章 整式的乘法与因式分解综合与测试综合训练题

2022-2023学年人教版八年级数学上册单元测试

第十四章 整式的乘法与因式分解（基础卷）

时间：100分钟    总分：120分

一、    选择题（每题3分，共24分）

1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是                        （   ）

A． B．

C． D．

【解析】

把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．

A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；

B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；

C、符合因式分解的形式，符合题意；

D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．

2．计算的结果是                                                （   ）．

A． B． C． D．

【解析】

解：(x2)3=x6，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

3．下列整式的运算中，正确的是                                     （  ）

A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．a3＋a2＝a5 D．（ab）4＝a4b4

【解析】

解：A．a2•a3＝a5，故此选项不合题意；

B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；

C．a3与a2不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；

D．（ab）4＝a4b4，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类型、积的乘方，掌握相应运算法则是解题的关键．

4．下列各式中，能用平方差公式计算的是                               （   ）

A． B．

C． D．

【解析】

A、，不满足平方差公式

不能用平方差公式计算，不符合题意；

B、，满足平方差公式

能用平方差公式计算，符合题意；

C、，不满足平方差公式

不能用平方差公式计算，不符合题意；

D、，不满足平方差公式

不能用平方差公式计算，不符合题意．

故选B．

【点睛】

本题主要考查知识点为：平方差公式，即．平方差公式的特点：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方与相反项的平方的差．熟练掌握平方差公式，是解决本题的关键．

5．如果是一个完全平方式，则的值为                           （  ）

A．－2 B．2 C．4 D．

【解析】

解：∵（x±1）2＝x2±2x，

∴m＝±2，

故选：D．

【点睛】

本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．

6．若， 则，的值分别是                     （   ）

A．， B．， C．， D．，

【解析】

解：∵

∴

∴

∴，

故选：D

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，本题的解题关键在熟练掌握运算法则．

7．如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为   （　　）

A．160 B．180 C．320 D．480

【解析】

解：根据题意可得，，即，

，

故选：A

【点睛】

此题考查了代数式求值，解题的关键是利用因式分解法求得．

8．的个位数字为            （    ）

A．5 B．1 C．2 D．4

【解析】

解：

，

∵ ，，，，……

可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，

∴的个位数为1，

∴的个位数为0，

∴的个位数可能是0或5，

∴的个位数可能是1或6，

观察选项可知，只有B选项为1，

故选B．

【点睛】

本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键．

二、填空题（每题3分，共24分）

9．化简：__________．

【解析】

解：(-a2b3)3=-a6b9，

故答案为：-a6b9．

【点睛】

本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．

10．已知，，则______．

【解析】

解：∵，，

∴．

故答案为：16．

【点睛】

本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的特点是解此题的关键，注意：（a＋b）（a−b）＝a2−b2．

11．计算 ×＝________．

【解析】

解：82020×

＝82020××（－0.125）

＝（－0.125×8）2020×（－0.125）

＝（－1）2020×（－0.125）

＝1×（－0.125）

＝－0.125．

故答案为：－0.125．

【点睛】

本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．

12．若ax＝4，ay＝3，则ax+y＝_____．

【解析】

解：∵ax＝4，ay＝3，

∴ax+y＝

＝4×3

＝12，

故答案为：12．

【点睛】

本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．

13．已知，则的值是___________．

【解析】

∵a2+b2＝4，ab＝3，

∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝4+2×3＝4+6＝10；

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．

14．若，则_________．

【解析】

解：∵，且，

∴ ．

故答案为：-5

【点睛】

此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．如图，边长为的正方形中放置两个长和宽分别为，的长方形，若长方形的周长为，面积为，则图中阴影部分面积______．

【解析】

解：由题知，，．

，

，

，

，，，

阴影部分面积

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出和的形式是本题的关键，由和，利用完全平方公式变形计算出，从而求出面积．

16．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝17，ab＝60，则阴影部分的面积为_____．

【解析】

∵a+b＝17，ab＝60，

∴

故答案为：

【点睛】

此题考查了完全平方公式变形应用，弄清图形中的关系是解本题的关键．

三、解答题（每题8分，共72分）

17．因式分解

(1)

(2)

【解析】

 (1)解：

=

=．

(2)解：

=

=．

【点睛】

本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．

18．计算：

(1)（x＋2）（x－1）；

(2)（2x+y）2．

【解析】

 (1)解：原式= x2－x＋2x－2

= x2＋x－2

(2)解：原式=4x2＋2·2x·y ＋y2

=4x2＋4xy＋y2

【点睛】

本题主要考查了多项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则进行计算是解决本题的关键．

19．已知(a+b)2＝17，(a﹣b)2＝13，求：

(1)a2+b2的值；

(2)ab的值．

【解析】

 (1)∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，

（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，

∴①+②得：2（a2+b2）＝30，

解得：a2+b2＝15；

(2)

（1）问中①﹣②得：

4ab＝17-13，

解得ab＝1．

【点睛】

此题考查了完全平方公式，熟练运用完全平方公式是解本题的关键．

20．先化简，再求值：，其中，．

【解析】

解：，

，

，

，

当，时，

原式，

，

．

【点睛】

题目主要考查整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运用完全平方公式及平方差公式是解题关键．

21．（1）请用含x和y的代数式来表示阴影部分的面积．

（2）当x＝2022，y＝2021时，阴影部分的面积是多少？

【解析】

解：（1）如图，阴影部分的面积=

（2）当x=2022，y=2021时，

．

【点睛】

本题考查了列代数式的知识，解题的关键是了解矩形的面积计算方法及图形的构成，难度不大．

22．已知m（4x－3）＝x²－x＋1，m为多项式．

(1)求m所代表的多项式；

(2)若x＝，求m的值．

【解析】

 (1)解：设m=ax+b，

根据题意，（ax+b）（4x-3）= 4ax²+（4b-3a）x-3b=x²－x+1．

所以4a=1，-3b=1，即a=

答：m代表的式子是 ；

(2)解：将x=2代入，

m= = ．

【点睛】

本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法运算法则是解题的关键．

23．在计算两个两位数相乘的运算时：

……

我们发现：

(1)两个两位数的十位数字________（选填“相同”或“不相同”），两个两位数的个位数字的特征是________；

(2)根据以上规律，设其中一个乘数的十位数字为，个位数字为（，表示1~9的整数），完成下列等式：________________．

【解析】

(1)解：观察所给算式可得，两个两位数的十位数字相同，两个两位数的个位数字的特征是数字之和为10，

故答案为：相同，数字之和为10；

(2)解：由（1）的结论可得，第二个乘数与第一个乘数的十位数字相同，个数数字之和为10，

第一个乘数为，则第二个乘数为，

，

故答案为：，．

【点睛】

本题考查列代数式、多项式的乘法，认真观察所给算式，得出两个乘数十位数字、个位数字的关系是解题的关键．

24．已知的结果中不含的一次项，则的值为多少？

【解析】

(x+a)(x-)

=x2-x+ax-a

= x2+(-+a)x-a

∵(x+a)(x-)

∴-+a=0，

(a+2)2-(1-a)(-a-1)

=a2+4a+4+a+1- a2-a

=4a+5

当a=时，原式=4×+5=6+5=11，

答：值为11．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，整式的混合运算与求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解答此题的关键．

25．【背景知识】用两种方法计算同一个图形的面积，就可以得到一个等式．例如：图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到．

(1)【能力提升】请你根据背景知识和图2推导等式______；

(2)【能力提升】请你根据背景知识和图3推导等式______；

(3)【拓展应用】若，，利用（2）得到的结论，求图3中阴影部分的面积．

【解析】

（1）解：从整体来看，它的面积可以表示为，从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有2块，面积为的正方形有2块，面积为ab的长方形有5块，∴该正方形的面积还可以表示为，∴；故答案为：；

（2）解：从整体来看，它的面积可以表示为；从分块来看，这个正方形有九块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为ab的长方形有2块，面积为ac的长方形有2块，面积为bc的长方形有2块，∴该正方形的面积还可以表示为；∴；故答案为：

（3）解：根据题意得：，由（2）得：，当，时，，解得：，即阴影部分的面积为25．

【点睛】

本题考查的是多项式乘多项式，用两种方法计算同一个图形的面积得到一个等式，从而将多项式乘多项式变形为多项式是解题的关键．